2020-2021:teams:farmer_john:2020暑假精选题目:图论
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2020-2021:teams:farmer_john:2020暑假精选题目:图论 [2020/09/04 20:05] jjleo [题解] |
2020-2021:teams:farmer_john:2020暑假精选题目:图论 [2020/09/04 20:19] (当前版本) jjleo [题解] |
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| ====题意==== | ====题意==== | ||
| - | 给出一张$n$个点$m$条边的无向图，其中有$k$个点是关键点，每条边有一个权值$w_i$，每个点有一个权值$c_i$。你可以给每条边定向，也可以让它保持无向，设所有保持无向的边集为$U$，设所有至少可以到达一个关键点的点集为$S$，现在如果强制让第$1,2, \ldots , n$个点可以到达关键点，求$\sum \limits_{i \in S} c_i - \sum \limits_{j \in U} w_j$的最小值。$(2 \le n \le 3 \cdot 10^5, n - 1 \le m \le \min(3 \cdot 10^5, \frac{n(n-1)}{2}), 1 \le k \le n)$ | + | 给出一张$n$个点$m$条边的无向图，其中有$k$个点是关键点，每条边有一个权值$w_i$，每个点有一个权值$c_i$。你可以给每条边定向，也可以让它保持无向，设所有保持无向的边集为$U$，设所有关键点能都到达的点组成的点集为$S$，现在如果强制让第$1,2, \ldots , n$个点能被所有关键点到达，求$\sum \limits_{i \in S} c_i - \sum \limits_{j \in U} w_j$的最小值。$(2 \le n \le 3 \cdot 10^5, n - 1 \le m \le \min(3 \cdot 10^5, \frac{n(n-1)}{2}), 1 \le k \le n)$ |
| ====题解==== | ====题解==== | ||
| - | 首先找到所有边双联通分量将其缩点，可以证明每一个边双都可以给边定向从而形成强连通分量，因此每一个边双内部不用考虑边的定向问题。现在原图转化为了一棵树， | + | 首先找到所有边双联通分量将其缩点，可以证明每一个边双都可以给边定向从而形成强连通分量，因此每一个边双内部不用考虑边的定向问题。 |
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| + | 现在原图转化为了一棵树，下面所说的关键点指包含关键点的边双。以一个关键点为根，将所有叶子节点为非关键点的点都向上缩，权值进行叠加，因为它们显然定向为上才有意义，因此可以锁到距离最近的关键点，这样可以简化后续讨论。 | ||
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| + | 现在我们所有叶子节点均为关键点，那么能被所有关键点到达的点一定组成一个连通块，连通块内部所有边无向，其它边均被定向。因此我们可以使用树形dp解决下面的问题，设$f_i$为以$i$为根的子树中包含点$i$的连通块的最大权值，转移为$$f_i=C_i+\sum_{{j \in son_i}}\max(f_j-w,0)$$其中$w$为对应的边权，$C_i$为缩点后的总权值，那么单次dp中对于根节点最终所求的答案为$f_{root}$。 | ||
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| + | 我们最后再进行一次换根dp，即可以每个点为根求出最终的答案。注意到因为第一次我们选的关键点为根，所以换根过程中始终满足所有叶子节点均为关键点这一条件。 | ||
2020-2021/teams/farmer_john/2020暑假精选题目/图论.1599221100.txt.gz · 最后更改: 2020/09/04 20:05 由 jjleo
