2020-2021:teams:farmer_john:2sozx:数学:知识点
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2020-2021:teams:farmer_john:2sozx:数学:知识点 [2020/06/12 21:14] 2sozx [CF813C] |
2020-2021:teams:farmer_john:2sozx:数学:知识点 [2020/06/12 22:13] (当前版本) 2sozx [NOI2012骑行川藏] |
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| ====CF813C==== | ====CF813C==== | ||
| * 题意：给定整数 $a,b,c,s$ ，求使得 $x^ay^bz^c$ 最大的实数 $x,y,z$ ，其中 $x+y+z\le s(1\le s \le 10^3,0\le a,b,c \le 10^3)$ | * 题意：给定整数 $a,b,c,s$ ，求使得 $x^ay^bz^c$ 最大的实数 $x,y,z$ ，其中 $x+y+z\le s(1\le s \le 10^3,0\le a,b,c \le 10^3)$ | ||
| - | * 题解:对于 $x,y,z > 0$ 时显然取 $x+y+z=s$ 时会比 $x+y+z<s$ 时更优；对于 $xyz=0$ 时取 $x+y+z=s$ 不会比 $x+y+z<s$ 劣。因此可以将限制条件改为 $x+y+z=s$ 即可。套用拉格朗日乘子法即可得到 $$x=\frac{as}{a+b+c},y=\frac{bs}{a+b+c},z=\frac{cs}{a+b+c}$$ 注意 $a+b+c=0$ 时需要特判。 | + | * 题解:对于 $x,y,z > 0$ 时显然取 $x+y+z=s$ 时会比 $x+y+z<s$ 时更优；对于 $xyz=0$ 时取 $x+y+z=s$ 不会比 $x+y+z<s$ 劣。因此可以将限制条件改为 $x+y+z=s$ 即可。令 $G(x,y,z)=x+y+z-s，F(x,y,z)=a\ln x+b\ln y+c\ln z，H(x,y,z)=F(x,y,z)+\lambda G(x,y,z)$ 套用拉格朗日乘子法即可得到 $$x=\frac{as}{a+b+c},y=\frac{bs}{a+b+c},z=\frac{cs}{a+b+c}$$ 注意 $a+b+c=0$ 时需要特判。 |
| - | * 对于所求表达式为乘积的形式时，如上题，可以令 $F(x,y,z)=a\ln x+b\ln y+c\ln z$ ，此时求出的极值点依旧为原表达式的极值点，具体问题需要具体分析。 | + | * 对于所求表达式为乘积的形式时，可以取对数，如上题中 $F(x,y,z)=a\ln x+b\ln y+c\ln z$ ，此时求出的极值点依旧为原表达式的极值点，具体问题需要具体分析。 |
| * 一般来说使用拉格朗日乘子法时需要注意边界条件，此题 $x,y,z$ 为边界条件时表达式值一定不会优于最大值，所以可以不考虑边界。注意边界值并不是 $0$。 | * 一般来说使用拉格朗日乘子法时需要注意边界条件，此题 $x,y,z$ 为边界条件时表达式值一定不会优于最大值，所以可以不考虑边界。注意边界值并不是 $0$。 | ||
| ====一道没有来源的题目==== | ====一道没有来源的题目==== | ||
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| * 注：其实枚举点在凸包上时这些点并非一定会构成凸包，但是这样的面积一定不会是最大的，对于答案并没有影响。 | * 注：其实枚举点在凸包上时这些点并非一定会构成凸包，但是这样的面积一定不会是最大的，对于答案并没有影响。 | ||
| * 这道题是同学出的，并没有具体数据。 | * 这道题是同学出的，并没有具体数据。 | ||
| + | ====NOI2012骑行川藏==== | ||
| + | * 题意：$n$ 段路，每段路有三个参数 $s_i,k_i,v_i'$,其中 $s_i $ ，表示这段路的长度，$k_i$ ，表示这段路的风阻系数，$v_i'$ 表示这段路上的风速。若在一段路上的速度为 $v_i$ ，消耗的能量为 $E_i=k_i(v_i-v_i')^2s_i$。初始有体能值 $E_U$ 问在有限的体力内到达目的地的最短时间是多少。 | ||
| + | * 题解：显然体能值要尽量用光会更优。若 $v_i<v_i'$ 则取 $V=2v_i'-v_i$ ，两个速度消耗的能量是相同的，而且 $V$ 优于 $v_i$ ，因此我们可以默认一段路的 $v_i\ge v_i'$。题目即求在 $\sum_{i=1}^{n}E_i=E_U$ 的条件下 $T=\sum_{i=1}^{n}\frac{s_i}{v_i}$ 的最小值。套用拉格朗日乘子法可知 $$\lambda=\frac{1}{2k_i v_i (v_i-v_i')^2}$$ 根据假设 $v_i\ge v_i'$ 可知 $\frac{1}{2k_i v_i (v_i-v_i')^2}$ 单调，因此可以通过二分 $\lambda$ 来求解答案。 | ||
2020-2021/teams/farmer_john/2sozx/数学/知识点.1591967697.txt.gz · 最后更改: 2020/06/12 21:14 由 2sozx
