2020-2021:teams:farmer_john:week_14
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2020-2021:teams:farmer_john:week_14 [2020/08/07 17:46] jjleo [JJLeo] |
2020-2021:teams:farmer_john:week_14 [2020/08/07 18:10] (当前版本) jjleo [JJLeo] |
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| 行 25: | 行 25: | ||
| * comment：$dp$的转移式的推导比较巧妙，之后就变成裸题了，（为什么会放在$1E$啊草） | * comment：$dp$的转移式的推导比较巧妙，之后就变成裸题了，（为什么会放在$1E$啊草） | ||
| ====JJLeo=== | ====JJLeo=== | ||
| - | ===题目名称=== | + | ===2020牛客多校第七场I Valuable Forests=== |
| - | * 分类： | + | * 分类：prufer序列，组合计数。 |
| - | * 题意： | + | * 题意：$n$个不同的点的生成森林中，每个点权值为该点的度数和平方，问所有生成森林的所有点的权值和是多少，$T$组数据。$(n,T \le 5000)$ |
| * 题解：每个点都是对称的，因此只需固定一个点最后乘以$n$即可。首先设$h_i$为$i$个不同的点的生成森林数量，利用purfer序列可以得到$O(n^2)$递推式$$h_i=\sum_{j=0}^{i-1}\binom{i-1}{j}j^{(j-2)}$$接下来设$g_i$为我们所考虑的点所在的树大小为$i$时所有情况该点贡献的权值和，考虑将该点固定为根，然后枚举该点的度数，利用prufer序列算出方案数，再乘以度数的平方和，得到$O(n^2)$递推式$$g_i=\sum_{j=1}^{i-1}\binom{i-2}{j-1}{(i-1)}^{i-2-(j-1)}$$最后设$f_i$为节点数为$i$时一个固定节点对答案的贡献，考虑枚举该点所在树的大小，则剩下的节点组成森林，可以得到$O(n^2)$递推式$$f_i=\sum_{j=2}^{j=i}\binom{i-1}{j-1}g_jh_{i-j}$$对于每个询问，我们只需$O(1)$输出$nf_n$即可。 | * 题解：每个点都是对称的，因此只需固定一个点最后乘以$n$即可。首先设$h_i$为$i$个不同的点的生成森林数量，利用purfer序列可以得到$O(n^2)$递推式$$h_i=\sum_{j=0}^{i-1}\binom{i-1}{j}j^{(j-2)}$$接下来设$g_i$为我们所考虑的点所在的树大小为$i$时所有情况该点贡献的权值和，考虑将该点固定为根，然后枚举该点的度数，利用prufer序列算出方案数，再乘以度数的平方和，得到$O(n^2)$递推式$$g_i=\sum_{j=1}^{i-1}\binom{i-2}{j-1}{(i-1)}^{i-2-(j-1)}$$最后设$f_i$为节点数为$i$时一个固定节点对答案的贡献，考虑枚举该点所在树的大小，则剩下的节点组成森林，可以得到$O(n^2)$递推式$$f_i=\sum_{j=2}^{j=i}\binom{i-1}{j-1}g_jh_{i-j}$$对于每个询问，我们只需$O(1)$输出$nf_n$即可。 | ||
| - | * comment： | + | * comment：对prufer序列的高级应用，十分巧妙。 |
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| + | ===2020牛客多校第八场H Hard String Problem=== | ||
| + | * 分类：字符串。 | ||
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| + | * 题意：给出$n$个字符串，将每个字符串重复循环无限次，问得到的$n$个新字符串有多少个本质不同的公共子串，若有无限个输出$-1$。$(\sum|s_i| \le 3 \times 10^5)$ | ||
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| + | * 题解：首先求出每个字符串的最小表示法（使用Lyndon分解，C++自带rotate()也可以很好实现循环移位），将每个字符串用其最短循环节表示（求出next数组，设$x$为最后一个位置的next数组值，字符串长度为$len$，若$(len-x)|len$则最小循环节长度为$len-x$，否则最小循环节长度为$len$），如果此时出现了$n$个相同的字符串，显然有无穷多个公共子串；否则由弱周期引理可以证明，对于两个字符串来说公共子串长度不超过长串的三倍，对于多个字符串来说，只需考虑最短串和其它串的公共子串的交即可。 | ||
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| + | * 具体来说，将除最短串外的串扩大到四倍，将最短串扩大到最长串的四倍，然后求这些字符串的公共子串数目即可。使用SAM来求过于繁琐还容易写锅，对于多串问题可以使用更为简便的广义SAM。只需将所有串插入广义SAM，然后对于每个串，将所有能到达的点标记，然后考虑所有标记数为$n$的节点即可。标记时只需按照字符串走一遍，每走到一个点不断跳link直到跳到的点已经被该点标记为止，这样每个字符串相当于标记了属于自己的SAM，而SAM节点数量是线性的，因此总复杂度为$O(n)$。 | ||
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| + | * comment：如果不当作结论题，可以说是结合了多种字符串基础算法，非常综合。 | ||
| =====题目===== | =====题目===== | ||
| * [[2020.8.2|每日亿题2020.8.2]] | * [[2020.8.2|每日亿题2020.8.2]] | ||
2020-2021/teams/farmer_john/week_14.1596793588.txt.gz · 最后更改: 2020/08/07 17:46 由 jjleo
