2020-2021:teams:hotpot:burnside引理和polya定理
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2020-2021:teams:hotpot:burnside引理和polya定理 [2020/07/05 16:43] 喝西北风 |
2020-2021:teams:hotpot:burnside引理和polya定理 [2020/07/05 16:46] (当前版本) 喝西北风 |
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| 行 126: | 行 126: | ||
| ====定义8（“循环法”表示）==== | ====定义8（“循环法”表示）==== | ||
| - | 对于一个置换，除了用“两行法”，“一行法”表示，还有一种“循环法”。“循环法”描述一个置换所包含的全部循环。比如一个“一行法”表示的置换$(5,1,2,3,4)$，包含一个循环$5\rightarrow 1\rightarrow 2\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 5$，可以用一个括号，里面描述这个循环。“一行法”表示的$(5,1,2,3,4)$用“循环法”表示仍是$(5,1,2,3,4)$。再比如$(5,3,2,1,4)$，包含$5\rightarrow 1\rightarrow 4\rightarrow 5$，$3\rightarrow 2\rightarrow 3$，这两个循环。因此，$(5,3,2,1,4)用“循环法”可以记作(5,1,4)(3,2)$。 | + | 对于一个置换，除了用“两行法”，“一行法”表示，还有一种“循环法”。“循环法”描述一个置换所包含的全部循环。比如“一行法”表示的置换$(5,1,2,3,4)$，包含一个循环$5\rightarrow 1\rightarrow 2\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 5$，可以用一个括号，里面描述这个循环。“一行法”表示的$(5,1,2,3,4)$用“循环法”表示仍是$(5,1,2,3,4)$。再比如$(5,3,2,1,4)$，包含$5\rightarrow 1\rightarrow 4\rightarrow 5$和$3\rightarrow 2\rightarrow 3$，这两个循环。因此，$(5,3,2,1,4)用“循环法”可以记作(5,1,4)(3,2)$。 |
| 值得注意的是，仅改变括号顺序，并不改变置换。如$(1,2)(3,4)(5)$和$(3,4)(5)(1,2)$均表示$(2,1,4,3,5)$。每个括号内数字的轮换也不改变置换，如“循环法”表示的$(5,1,2,3,4)，(2,3,4,5,1)，(1,2,3,4,5)$均表示“一行法”下的$(5,1,2,3,4)$。但交换一个括号内的两个数，可能会改变置换。如$(5,1,4)(3,2)$表示$(5,3,2,1,4)$，而$(1,5,4)(3,2)$表示$(4,3,2,5,1)$。 | 值得注意的是，仅改变括号顺序，并不改变置换。如$(1,2)(3,4)(5)$和$(3,4)(5)(1,2)$均表示$(2,1,4,3,5)$。每个括号内数字的轮换也不改变置换，如“循环法”表示的$(5,1,2,3,4)，(2,3,4,5,1)，(1,2,3,4,5)$均表示“一行法”下的$(5,1,2,3,4)$。但交换一个括号内的两个数，可能会改变置换。如$(5,1,4)(3,2)$表示$(5,3,2,1,4)$，而$(1,5,4)(3,2)$表示$(4,3,2,5,1)$。 | ||
| + | |||
| + | 可以证明，任何一个置换均可用“循环法”唯一地表示。这里的唯一是指，每个循环都确定。 | ||
| ====定义9（循环数）==== | ====定义9（循环数）==== | ||
| 行 135: | 行 137: | ||
| 对于任意置换g，设c(g)表示其循环数。 | 对于任意置换g，设c(g)表示其循环数。 | ||
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| - | 可以证明，任何一个置换均可用“循环法”唯一地表示。这里的唯一是指，循环数唯一，且每个循环确定。 | ||
| ====结论4==== | ====结论4==== | ||
2020-2021/teams/hotpot/burnside引理和polya定理.1593938624.txt.gz · 最后更改: 2020/07/05 16:43 由 喝西北风
