2020-2021:teams:i_dont_know_png:nikkukun:mobius_inversion
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2020-2021:teams:i_dont_know_png:nikkukun:mobius_inversion [2020/05/22 20:04] potassium [SDOI2015 约数个数和] |
2020-2021:teams:i_dont_know_png:nikkukun:mobius_inversion [2020/05/26 10:20] (当前版本) nikkukun add some links |
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| $$ | $$ | ||
| - | (f \times g)(n) = \sum _{d \mid n} f(n) \cdot g \left(\dfrac nd \right) | + | (f * g)(n) = \sum _{d \mid n} f(n) \cdot g \left(\dfrac nd \right) |
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| * $\sum_{d \mid n} \mu(d) = [n = 1]$ | * $\sum_{d \mid n} \mu(d) = [n = 1]$ | ||
| - | 第一条性质说明 $\mu(n)$ 可以**线性筛**；第二条性质提供了我们一个**当且仅当** $n = 1$ 时计数的函数，因此在遇到对 $\gcd(i, j) = 1$ 的计数问题中通常会用到它。 | + | 第一条性质说明 $\mu(n)$ 可以**[[..:potassium:sieve#欧拉筛|线性筛]]**；第二条性质提供了我们一个**当且仅当** $n = 1$ 时计数的函数，因此在遇到对 $\gcd(i, j) = 1$ 的计数问题中通常会用到它。 |
| 直接给出代码。 | 直接给出代码。 | ||
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| $$ | $$ | ||
| - | g = f \times 1 | + | g = f * 1 |
| \Leftrightarrow | \Leftrightarrow | ||
| - | f = g \times \mu | + | f = g * \mu |
| $$ | $$ | ||
| 行 165: | 行 165: | ||
| 给出一些常用反演： | 给出一些常用反演： | ||
| - | * $\varepsilon = \mu \times 1$ | + | * $\varepsilon = \mu * 1$ |
| - | * $n = \varphi \times 1 \Leftrightarrow \varphi = n \times \mu$ | + | * $n = \varphi * 1 \Leftrightarrow \varphi = n * \mu$ |
| 行 177: | 行 177: | ||
| 对 $n$ 进行唯一分解 $n = \prod_{i = 1}^m p_i^{k_i}$，则 $n$ 代表了一个高维空间的点 $(k_1, k_2, \ldots, k_m)$，且 $n$ 的所有约数 $d$ 代表的点与 $(k_1, k_2, \ldots, k_m)$ 的关系都是一个高维偏序关系。因此若有 $f = g \times 1$，则 $f$ 实际是 $g$ 的一个高维前缀和。类似地，与 $\mu$ 的狄利克雷卷积可以将这个高维前缀和还原，因此 $\mu$ 实际上是与之相对的高维差分。 | 对 $n$ 进行唯一分解 $n = \prod_{i = 1}^m p_i^{k_i}$，则 $n$ 代表了一个高维空间的点 $(k_1, k_2, \ldots, k_m)$，且 $n$ 的所有约数 $d$ 代表的点与 $(k_1, k_2, \ldots, k_m)$ 的关系都是一个高维偏序关系。因此若有 $f = g \times 1$，则 $f$ 实际是 $g$ 的一个高维前缀和。类似地，与 $\mu$ 的狄利克雷卷积可以将这个高维前缀和还原，因此 $\mu$ 实际上是与之相对的高维差分。 | ||
| - | 利用这个性质，在计算类似 $g(n) = (f \times \mu)(n)$ 时可以不需要枚举每个 $n$ 的因数 $d$，而只用枚举其质因数 $p_i$，依次利用差分将每个 $p_i$ 对应的维度降下来，可以略微降低复杂度。 | + | 利用这个性质，在计算类似 $g(n) = (f * \mu)(n)$ 时可以不需要枚举每个 $n$ 的因数 $d$，而只用枚举其质因数 $p_i$，依次利用差分将每个 $p_i$ 对应的维度降下来，可以略微降低复杂度。 |
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| 令 $f(k)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m [(i,j)=k]$，$g(k)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m [k \mid (i,j)]$，则 $f(k)$ 就是我们要求的答案。很明显 $k \mid (i,j) \Leftrightarrow k \mid i\text{ 且 } k\mid j$，因此$g(k)=\left\lfloor \dfrac nk \right\rfloor \left\lfloor \dfrac mk \right\rfloor$。 | 令 $f(k)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m [(i,j)=k]$，$g(k)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m [k \mid (i,j)]$，则 $f(k)$ 就是我们要求的答案。很明显 $k \mid (i,j) \Leftrightarrow k \mid i\text{ 且 } k\mid j$，因此$g(k)=\left\lfloor \dfrac nk \right\rfloor \left\lfloor \dfrac mk \right\rfloor$。 | ||
| - | 发现 $g(k)=\sum_{d=1}^{\left\lfloor n/k \right\rfloor}f(d \times k)$，因此有： | + | 发现 $g(k)=\sum_{d=1}^{\left\lfloor n/k \right\rfloor}f(d * k)$，因此有： |
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| \begin{aligned} | \begin{aligned} | ||
| - | f(k)=&\sum_{d=1}^{\left\lfloor n/k \right\rfloor}g(d \times k)\mu(d) \\ | + | f(k)=&\sum_{d=1}^{\left\lfloor n/k \right\rfloor}g(d * k)\mu(d) \\ |
| =&\sum_{d=1}^{\left\lfloor n/k \right\rfloor}\left\lfloor \dfrac n{dk} \right\rfloor \left\lfloor \dfrac m{dk} \right\rfloor\mu(d) | =&\sum_{d=1}^{\left\lfloor n/k \right\rfloor}\left\lfloor \dfrac n{dk} \right\rfloor \left\lfloor \dfrac m{dk} \right\rfloor\mu(d) | ||
| \end{aligned} | \end{aligned} | ||
| 行 257: | 行 257: | ||
| 以下给出一个简单的证明： | 以下给出一个简单的证明： | ||
| - | 上式显然先决定 $x$ 的取值，再决定 $y$ 的取值。对于一个因子 $p$，若 $p^a \mid i,\ p^b \mid j$，且 $p^{a+b} \mid ij$，则 | + | 上式显然先决定 $x$ 的取值，再决定 $y$ 的取值。对于一个质因子 $p$，若 $p^a \mid i,\ p^b \mid j$，且 $p^{a+b} \mid ij$，则由于 $(x, y) = 1$，一定有 $\min(a, b) = 0$，故 |
| - | * $p^0 \mid x$，则表示 $y$ 可以任意选 $p^1, \ldots, p^b$ 等因子，分别映射到因数 $d \mid p^{a+1}, d \mid p^{a+2}, \ldots, d \mid p^{a+b}$； | + | * $p^0 \mid x$，则表示 $y$ 可以任意选 $p^1, \ldots, p^b$ 等因子，分别映射到因数 $p^{a+1}, p^{a+2}, \ldots, p^{a+b}$； |
| - | * $p^1 \mid x, p^2 \mid x, \ldots, p^a \mid x$，则表示 $x$ 可以任意选 $p^1, \ldots, p^a$ 等因子，分别映射到因数 $d \mid p^{1}, d \mid p^{2}, \ldots, d \mid p^{a}$； | + | * $p^1 \mid x, p^2 \mid x, \ldots, p^a \mid x$，则表示 $x$ 可以任意选 $p^1, \ldots, p^a$ 等因子，分别映射到因数 $p^{1}, p^{2}, \ldots, p^{a}$； |
| - | * $p^0 \mid x$ 且 $q^0 \mid y$ 等因子，映射到因数 $d \mid p^0$； | + | * $p^0 \mid x$ 且 $q^0 \mid y$ 等因子，映射到因数 $p^0$； |
| + | |||
| + | 综上，因子 $p^0, p^1, \ldots, p^{a+b}$ 都能被唯一地表示出来且一一对应（双射），因此等式成立。[[..:potassium:sieve | ||
| + | #约数之和|这里]] 提供了另一种关于约数个数和的类似形式证明，但是使用了更合理的映射使得式子易于证明。 | ||
| - | 综上，因子 $p^0, p^1, \ldots, p^{a+b}$ 都能被唯一地表示出来且一一对应（双射），因此等式成立。 | ||
| ===== 练习 ===== | ===== 练习 ===== | ||
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| 此时考虑简化对 $q$ 求和部分。我们发现这部分就是 $\varphi(p)-\sum_{i=1}^{\lceil p / \phi \rceil -1}[(i,p)=1]$ ，而 $\sum_{i=1}^{n}[(i,p)=1]$ 很容易反演为 $\sum_{d\mid p}\mu(d)\lfloor\dfrac nd\rfloor$ 。枚举 $p$ 以及 $p$ 的每个因数 $d$ ，由于 $1\sim n$ 约数个数和是 $O(n\log n)$ 的，故复杂度为 $O(\sqrt n \log n)$ 。 | 此时考虑简化对 $q$ 求和部分。我们发现这部分就是 $\varphi(p)-\sum_{i=1}^{\lceil p / \phi \rceil -1}[(i,p)=1]$ ，而 $\sum_{i=1}^{n}[(i,p)=1]$ 很容易反演为 $\sum_{d\mid p}\mu(d)\lfloor\dfrac nd\rfloor$ 。枚举 $p$ 以及 $p$ 的每个因数 $d$ ，由于 $1\sim n$ 约数个数和是 $O(n\log n)$ 的，故复杂度为 $O(\sqrt n \log n)$ 。 | ||
| - | [[https://loj.ac/article/1679|这里]] 提供了一个 $O(\sqrt n\log \log \sqrt n)$ 的做法，该做法基于莫比乌斯反演的前缀和和差分意义，使得计算 $g(n) = (f \times \mu)(n)$ 时不需要枚举每个 $n$ 的因数 $d$，而只用枚举质因数 $p_i$ 使复杂度略微下降。 | + | [[https://loj.ac/article/1679|这里]] 提供了一个 $O(\sqrt n\log \log \sqrt n)$ 的做法，该做法基于莫比乌斯反演的前缀和和差分意义，使得计算 $g(n) = (f * \mu)(n)$ 时不需要枚举每个 $n$ 的因数 $d$，而只用枚举质因数 $p_i$ 使复杂度略微下降。 |
| 行 345: | 行 347: | ||
| 莫比乌斯反演基本上离不开 GCD 和两个累和符号，而且通常通过将式子化为 $\varepsilon(n)$ 的形式，进而反演成 $\mu(n)$ 并提出相关变量的形式，简化式子进行计算。求解一般通过**数论分块**和预处理 $\mu(n)$ 前缀和的方式在 $O(\sqrt{n})$ 时间内求和。 | 莫比乌斯反演基本上离不开 GCD 和两个累和符号，而且通常通过将式子化为 $\varepsilon(n)$ 的形式，进而反演成 $\mu(n)$ 并提出相关变量的形式，简化式子进行计算。求解一般通过**数论分块**和预处理 $\mu(n)$ 前缀和的方式在 $O(\sqrt{n})$ 时间内求和。 | ||
| - | * $\varepsilon = \mu \times 1$，$n = \varphi \times 1$ | + | * $\varepsilon = \mu * 1$，$n = \varphi * 1$ |
| * 当待分块函数（如 $\mu$）可以单独提出**预处理**时，可以通过此降低时间复杂度。 | * 当待分块函数（如 $\mu$）可以单独提出**预处理**时，可以通过此降低时间复杂度。 | ||
| * 若多次询问中，分块区域下含有 GCD 的枚举值 $g$ 和 $i$ 或 $j$ 之一，可以通过更换枚举变量改为枚举 $ig$ 或 $jg$ 的值，再枚举 $g$ 加速。（说法很意识流，详见[[https://blog.sengxian.com/algorithms/mobius-inversion-formula|莫比乌斯反演简要笔记 - GCD的幂]]） | * 若多次询问中，分块区域下含有 GCD 的枚举值 $g$ 和 $i$ 或 $j$ 之一，可以通过更换枚举变量改为枚举 $ig$ 或 $jg$ 的值，再枚举 $g$ 加速。（说法很意识流，详见[[https://blog.sengxian.com/algorithms/mobius-inversion-formula|莫比乌斯反演简要笔记 - GCD的幂]]） | ||
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