2020-2021:teams:i_dont_know_png:nikkukun:mobius_inversion
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2020-2021:teams:i_dont_know_png:nikkukun:mobius_inversion [2020/05/24 11:15] nikkukun convert dirichlet convolution mark to * instead of \times |
2020-2021:teams:i_dont_know_png:nikkukun:mobius_inversion [2020/05/26 10:20] (当前版本) nikkukun add some links |
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| 行 99: | 行 99: | ||
| * $\sum_{d \mid n} \mu(d) = [n = 1]$ | * $\sum_{d \mid n} \mu(d) = [n = 1]$ | ||
| - | 第一条性质说明 $\mu(n)$ 可以**线性筛**；第二条性质提供了我们一个**当且仅当** $n = 1$ 时计数的函数，因此在遇到对 $\gcd(i, j) = 1$ 的计数问题中通常会用到它。 | + | 第一条性质说明 $\mu(n)$ 可以**[[..:potassium:sieve#欧拉筛|线性筛]]**；第二条性质提供了我们一个**当且仅当** $n = 1$ 时计数的函数，因此在遇到对 $\gcd(i, j) = 1$ 的计数问题中通常会用到它。 |
| 直接给出代码。 | 直接给出代码。 | ||
| 行 257: | 行 257: | ||
| 以下给出一个简单的证明： | 以下给出一个简单的证明： | ||
| - | 上式显然先决定 $x$ 的取值，再决定 $y$ 的取值。对于一个因子 $p$，若 $p^a \mid i,\ p^b \mid j$，且 $p^{a+b} \mid ij$，则 | + | 上式显然先决定 $x$ 的取值，再决定 $y$ 的取值。对于一个质因子 $p$，若 $p^a \mid i,\ p^b \mid j$，且 $p^{a+b} \mid ij$，则由于 $(x, y) = 1$，一定有 $\min(a, b) = 0$，故 |
| - | * $p^0 \mid x$，则表示 $y$ 可以任意选 $p^1, \ldots, p^b$ 等因子，分别映射到因数 $d \mid p^{a+1}, d \mid p^{a+2}, \ldots, d \mid p^{a+b}$； | + | * $p^0 \mid x$，则表示 $y$ 可以任意选 $p^1, \ldots, p^b$ 等因子，分别映射到因数 $p^{a+1}, p^{a+2}, \ldots, p^{a+b}$； |
| - | * $p^1 \mid x, p^2 \mid x, \ldots, p^a \mid x$，则表示 $x$ 可以任意选 $p^1, \ldots, p^a$ 等因子，分别映射到因数 $d \mid p^{1}, d \mid p^{2}, \ldots, d \mid p^{a}$； | + | * $p^1 \mid x, p^2 \mid x, \ldots, p^a \mid x$，则表示 $x$ 可以任意选 $p^1, \ldots, p^a$ 等因子，分别映射到因数 $p^{1}, p^{2}, \ldots, p^{a}$； |
| - | * $p^0 \mid x$ 且 $q^0 \mid y$ 等因子，映射到因数 $d \mid p^0$； | + | * $p^0 \mid x$ 且 $q^0 \mid y$ 等因子，映射到因数 $p^0$； |
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| + | 综上，因子 $p^0, p^1, \ldots, p^{a+b}$ 都能被唯一地表示出来且一一对应（双射），因此等式成立。[[..:potassium:sieve | ||
| + | #约数之和|这里]] 提供了另一种关于约数个数和的类似形式证明，但是使用了更合理的映射使得式子易于证明。 | ||
| - | 综上，因子 $p^0, p^1, \ldots, p^{a+b}$ 都能被唯一地表示出来且一一对应（双射），因此等式成立。 | ||
| ===== 练习 ===== | ===== 练习 ===== | ||
2020-2021/teams/i_dont_know_png/nikkukun/mobius_inversion.1590290151.txt.gz · 最后更改: 2020/05/24 11:15 由 nikkukun
