2020-2021:teams:i_dont_know_png:week_summary_1:potassium
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| 无 | 无 | ||
| - | =====知识点===== | + | =====学习总结===== |
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| 莫比乌斯反演：$g(n)=\sum_{d|n}f(d)$，则$f(n)=\mu *g$ | 莫比乌斯反演：$g(n)=\sum_{d|n}f(d)$，则$f(n)=\mu *g$ | ||
| - | $\epsilon(i)=[i==1]$在积性函数里扮演了类似于自然数中$1$的角色，为什么让$\epsilon$扮演自然数中$1$的角色呢，因为$(f*\epsilon)(n)=\sum_{d|n}f(\frac nd)\epsilon(d)=f(n)$。 | + | $\epsilon(i)=[i=1]$在积性函数里扮演了类似于自然数中$1$的角色，为什么让$\epsilon$扮演自然数中$1$的角色呢，因为$(f*\epsilon)(n)=\sum_{d|n}f(\frac nd)\epsilon(d)=f(n)$。 |
| - | $id(i)=i$ | + | $$id(i)=i$$ |
| - | $1(i)=1$ | + | $$1(i)=1$$ |
| - | $\phi(i)=\text{多少个<i且与i互质}$ | + | $$\phi(i)=\text{多少个<i且与i互质}$$ |
| - | $d(i)=\text{i约数个数}$ | + | $$d(i)=i \text{约数个数}$$ |
| - | $\sigma(i)=\text{i约数个数和}$ | + | $$\sigma(i)=i \text{约数个数和}$$ |
| 设$n=\sum_{i=1}^{m}p_i^{k_i}$，则 | 设$n=\sum_{i=1}^{m}p_i^{k_i}$，则 | ||
| - | $\mu(n)=\left\{\begin{aligned}&1,&n=1\\&(-1)^m,&\forall _ik_i=1\\&0,&\exists_ik_i\geq2 \end{aligned}\right.$ | + | $$\mu(n)=\left\{\begin{aligned}&1,&n=1\\&(-1)^m,&\forall _ik_i=1\\&0,&\exists_ik_i\geq2 \end{aligned}\right.$$ |
| 狄利克雷卷积中，$1$的逆是$\mu$，即$1*\mu=\epsilon$。 | 狄利克雷卷积中，$1$的逆是$\mu$，即$1*\mu=\epsilon$。 | ||
| 行 32: | 行 32: | ||
| 对于$n$的质因数，如果$n$有$m\geq 1$个质因数，那它就有$m$个“一个质因数的积”，$C_{m}^{2}$个“两个质因数的积，…，他们卷起来的和是 | 对于$n$的质因数，如果$n$有$m\geq 1$个质因数，那它就有$m$个“一个质因数的积”，$C_{m}^{2}$个“两个质因数的积，…，他们卷起来的和是 | ||
| - | $C_m^1+(-1)\cdot C_m^2+(-1)^2\cdot C_m^3+...+(-1)^mC_m^{m}=(1+(-1))^m-1$ | + | $$C_m^1+(-1)\cdot C_m^2+(-1)^2\cdot C_m^3+...+(-1)^mC_m^{m}=(1+(-1))^m-1$$ |
| 加上$1$的贡献，即为$0$。 | 加上$1$的贡献，即为$0$。 | ||
| 行 58: | 行 58: | ||
| $\frac 1{4},\frac 3{4}$（$\phi(4)=2$） | $\frac 1{4},\frac 3{4}$（$\phi(4)=2$） | ||
| - | $\frac 1{3},\frac{2}{3}$（$(3)=$2） | + | $\frac 1{3},\frac{2}{3}$（$\phi(3)=2$） |
| $\frac 12$（$\phi(2)=1$） | $\frac 12$（$\phi(2)=1$） | ||
| 行 68: | 行 68: | ||
| 题目略（摸了，下次再补） | 题目略（摸了，下次再补） | ||
| - | 常用套路：$\sum_{i}\sum_{j}f(i,j)$变换为$\sum_{k}\sum_{i}\sum_{j}[f(i,j)==k]$这样拆出来，比如$f(i,j)=\gcd(i,j)$的时候拆出来比较容易进行反演之类的操作。 | + | 常用套路：$\sum_{i}\sum_{j}f(i,j)$变换为$\sum_{k}\sum_{i}\sum_{j}[f(i,j)=k]$这样拆出来，比如$f(i,j)=\gcd(i,j)$的时候拆出来比较容易进行反演之类的操作。 |
| ==== 组合数学 ==== | ==== 组合数学 ==== | ||
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