2020-2021:teams:legal_string:数论概论学习小结_lgwza
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2020-2021:teams:legal_string:数论概论学习小结_lgwza [2020/07/03 22:17] lgwza [数论概论学习小结 by lgwza] |
2020-2021:teams:legal_string:数论概论学习小结_lgwza [2020/07/03 22:25] (当前版本) lgwza [第 25 章 二次互反律] |
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| 行 85: | 行 85: | ||
| $$ 相同, 尽管它们可能次序不同 | $$ 相同, 尽管它们可能次序不同 | ||
| - | ===== 第 11 章 欧拉 \phi 函数与中国剩余定理 ===== | + | ===== 第 11 章 欧拉 $\phi$ 函数与中国剩余定理 ===== |
| - | === 定理 11.1 ( \phi 函数公式) === | + | === 定理 11.1 ( $\phi$ 函数公式) === |
| - 如果 $p$ 是素数且 $k\ge1$, 则 $$ | - 如果 $p$ 是素数且 $k\ge1$, 则 $$ | ||
| 行 154: | 行 154: | ||
| $$ | $$ | ||
| - | === 定理 15.3 (\sigma函数公式) === | + | === 定理 15.3 ($\sigma$函数公式) === |
| - 如果 $p$ 是素数, $k \ge 1$, 则 $$ | - 如果 $p$ 是素数, $k \ge 1$, 则 $$ | ||
| 行 165: | 行 165: | ||
| ===== 第 16 章 幂模 m 与逐次平方法 ===== | ===== 第 16 章 幂模 m 与逐次平方法 ===== | ||
| - | === 算法 16.1 (逐次平方计算 a^k \pmod{m} ) === | + | === 算法 16.1 (逐次平方计算 $a^k \pmod{m}$ ) === |
| 用下述步骤计算 $a^k \pmod{m}$ 的值: | 用下述步骤计算 $a^k \pmod{m}$ 的值: | ||
| 行 252: | 行 252: | ||
| 换句话说, 每个合数有许多拉宾-米勒证据来说明它的合数性, 所以, 不存在拉宾-米勒测试的任何“卡米歇尔型数”. | 换句话说, 每个合数有许多拉宾-米勒证据来说明它的合数性, 所以, 不存在拉宾-米勒测试的任何“卡米歇尔型数”. | ||
| - | ===== 第 20 章 欧拉\phi 函数与因数和 ===== | + | ===== 第 20 章 欧拉 $\phi$ 函数与因数和 ===== |
| 对任意整数 $n$, 定义函数 $F(n)$: $$ | 对任意整数 $n$, 定义函数 $F(n)$: $$ | ||
| 行 262: | 行 262: | ||
| 如果 $gcd(m,n)=1$, 则 $F(mn)=F(m)F(n)$ | 如果 $gcd(m,n)=1$, 则 $F(mn)=F(m)F(n)$ | ||
| - | === 定理 20.2 (欧拉 \phi 函数求和公式) === | + | === 定理 20.2 (欧拉 $\phi$ 函数求和公式) === |
| 设 $d_1,d_2,\cdots,d_r$ 是 $n$ 的因数, 则 $$ | 设 $d_1,d_2,\cdots,d_r$ 是 $n$ 的因数, 则 $$ | ||
| 行 376: | 行 376: | ||
| === 定理 25.1 (二次互反律) === | === 定理 25.1 (二次互反律) === | ||
| - | 设 $p$, $q$ 是不同的奇素数, 则 $$ ()={ | + | 设 $p$, $q$ 是不同的奇素数, 则 |
| + | $$ | ||
| + | \left(\frac{-1}{p}\right)=\left\{ | ||
| + | \begin{array}{rl} | ||
| + | 1 & if & p \equiv 1\pmod{4},\\ | ||
| + | -1 & if & p \equiv 3\pmod{4}. | ||
| + | \end{array} \right.\\ | ||
| - | .\ | + | \left(\frac{2}{p}\right)=\left\{ |
| + | \begin{array}{rl} | ||
| + | 1 & if & p\equiv 1 \ or\ 7\pmod{8}, \\ | ||
| + | -1 & if & p\equiv 3\ or\ 5\pmod{8}. | ||
| + | \end{array}\right.\\ | ||
| - | ()={ | + | \left(\frac{q}{p}\right)=\left\{ |
| - | + | \begin{array}{rl} | |
| - | .\ | + | \left(\frac{p}{q}\right) & if &p\equiv 1\pmod{4}&or&q\equiv1\pmod{4},\\ |
| - | + | -\left(\frac{p}{q}\right)&if&p\equiv3\pmod{4}&and&q\equiv3\pmod{4}. | |
| - | ()={ | + | \end{array}\right. |
| - | + | $$ | |
| - | . $$ | + | |
| === 定理 25.2 (广义二次互反律) === | === 定理 25.2 (广义二次互反律) === | ||
| - | 设 $a$, $b$ 为正奇数, 则 $$ ()={ | + | 设 $a$, $b$ 为正奇数, 则 |
| + | $$ | ||
| + | \left(\frac{-1}{b}\right)=\left\{ | ||
| + | \begin{array}{rl} | ||
| + | 1 & if & b \equiv 1\pmod{4},\\ | ||
| + | -1 & if & b \equiv 3\pmod{4}. | ||
| + | \end{array} \right.\\ | ||
| - | .\ | + | \left(\frac{2}{b}\right)=\left\{ |
| + | \begin{array}{rl} | ||
| + | 1 & if & b\equiv 1 \ or\ 7\pmod{8}, \\ | ||
| + | -1 & if & b\equiv 3\ or\ 5\pmod{8}. | ||
| + | \end{array}\right.\\ | ||
| - | ()={ | + | \left(\frac{a}{b}\right)=\left\{ |
| - | + | \begin{array}{rl} | |
| - | .\ | + | \left(\frac{b}{a}\right) & if &a\equiv 1\pmod{4}\ or\ b\equiv1\pmod{4},\\ |
| - | + | -\left(\frac{b}{a}\right)&if&a\equiv b\equiv 3\pmod{4}. | |
| - | ()={ | + | \end{array}\right. |
| - | + | $$ | |
| - | . $$ | + | |
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