2020-2021:teams:legal_string:数论概论学习小结_lgwza
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2020-2021:teams:legal_string:数论概论学习小结_lgwza [2020/07/03 22:23] lgwza [第 20 章 欧拉\phi 函数与因数和] |
2020-2021:teams:legal_string:数论概论学习小结_lgwza [2020/07/03 22:25] (当前版本) lgwza [第 25 章 二次互反律] |
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| 行 376: | 行 376: | ||
| === 定理 25.1 (二次互反律) === | === 定理 25.1 (二次互反律) === | ||
| - | 设 $p$, $q$ 是不同的奇素数, 则 $$ ()={ | + | 设 $p$, $q$ 是不同的奇素数, 则 |
| + | $$ | ||
| + | \left(\frac{-1}{p}\right)=\left\{ | ||
| + | \begin{array}{rl} | ||
| + | 1 & if & p \equiv 1\pmod{4},\\ | ||
| + | -1 & if & p \equiv 3\pmod{4}. | ||
| + | \end{array} \right.\\ | ||
| - | .\ | + | \left(\frac{2}{p}\right)=\left\{ |
| + | \begin{array}{rl} | ||
| + | 1 & if & p\equiv 1 \ or\ 7\pmod{8}, \\ | ||
| + | -1 & if & p\equiv 3\ or\ 5\pmod{8}. | ||
| + | \end{array}\right.\\ | ||
| - | ()={ | + | \left(\frac{q}{p}\right)=\left\{ |
| - | + | \begin{array}{rl} | |
| - | .\ | + | \left(\frac{p}{q}\right) & if &p\equiv 1\pmod{4}&or&q\equiv1\pmod{4},\\ |
| - | + | -\left(\frac{p}{q}\right)&if&p\equiv3\pmod{4}&and&q\equiv3\pmod{4}. | |
| - | ()={ | + | \end{array}\right. |
| - | + | $$ | |
| - | . $$ | + | |
| === 定理 25.2 (广义二次互反律) === | === 定理 25.2 (广义二次互反律) === | ||
| - | 设 $a$, $b$ 为正奇数, 则 $$ ()={ | + | 设 $a$, $b$ 为正奇数, 则 |
| - | + | $$ | |
| - | .\ | + | \left(\frac{-1}{b}\right)=\left\{ |
| - | + | \begin{array}{rl} | |
| - | ()={ | + | 1 & if & b \equiv 1\pmod{4},\\ |
| - | + | -1 & if & b \equiv 3\pmod{4}. | |
| - | .\ | + | \end{array} \right.\\ |
| - | ()={ | + | \left(\frac{2}{b}\right)=\left\{ |
| + | \begin{array}{rl} | ||
| + | 1 & if & b\equiv 1 \ or\ 7\pmod{8}, \\ | ||
| + | -1 & if & b\equiv 3\ or\ 5\pmod{8}. | ||
| + | \end{array}\right.\\ | ||
| - | . $$ | + | \left(\frac{a}{b}\right)=\left\{ |
| + | \begin{array}{rl} | ||
| + | \left(\frac{b}{a}\right) & if &a\equiv 1\pmod{4}\ or\ b\equiv1\pmod{4},\\ | ||
| + | -\left(\frac{b}{a}\right)&if&a\equiv b\equiv 3\pmod{4}. | ||
| + | \end{array}\right. | ||
| + | $$ | ||
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