2020-2021:teams:legal_string:王智彪:新计算几何总结
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2020-2021:teams:legal_string:王智彪:新计算几何总结 [2021/09/05 15:16] 王智彪 |
2020-2021:teams:legal_string:王智彪:新计算几何总结 [2021/09/10 21:25] (当前版本) 王智彪 |
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| 反三角函数有值域问题，比如 $acos(1.0000001)$ 会 $re$ 。 | 反三角函数有值域问题，比如 $acos(1.0000001)$ 会 $re$ 。 | ||
| - | 有的时候判断两个角相等需要看 $fabs(a1-a2)<eps||fabs(a1-a2)>2.0*pi-eps$ ，应该是用atan2判断 $180$ 度的时候，两边会相差 $2×pi$ 但其实是一个角。 | + | 有的时候判断两个角相等需要看 $fabs(a1-a2)<eps||fabs(a1-a2)>2.0*pi-eps$ ，应该是用 $atan2$ 判断 $180$ 度的时候，两边会相差 $2×pi$ 但其实是一个角。 |
| ===== 2.关于 $atan2$ ===== | ===== 2.关于 $atan2$ ===== | ||
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| $atan2(0,0)=0,atan2(1,0)=pi/2,atan2(-1,0)=-pi/2,atan2(0,1)=0,atan2(0,-1)=pi$ | $atan2(0,0)=0,atan2(1,0)=pi/2,atan2(-1,0)=-pi/2,atan2(0,1)=0,atan2(0,-1)=pi$ | ||
| - | 所以新学了个处理 $atan2$ 函数的手法： $double tmp=atan2(a1); if(sgn(tmp)<0) tmp+=2*pi;$ ，这样得到的角就是 $[0,2×pi)$ 的了。 | + | 所以新学了个处理 $atan2$ 函数的手法： $double\ tmp=atan2(a1);\ if(sgn(tmp)<0)\ tmp+=2*pi;$ ，这样得到的角就是 $[0,2×pi)$ 的了。 |
| ===== 3.关于叉积，总记不住 ===== | ===== 3.关于叉积，总记不住 ===== | ||
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| 也有 $r={\frac {S} {P}}={\sqrt {{\frac {(P-a)(P-b)(P-c)} {P}}}}$ ，又因为 ${\frac r {P-a}}=tan({\frac A 2})$ ，全换了就有 $r=Ptan({\frac A 2})tan({\frac B 2})tan({\frac C 2})$ | 也有 $r={\frac {S} {P}}={\sqrt {{\frac {(P-a)(P-b)(P-c)} {P}}}}$ ，又因为 ${\frac r {P-a}}=tan({\frac A 2})$ ，全换了就有 $r=Ptan({\frac A 2})tan({\frac B 2})tan({\frac C 2})$ | ||
| + | 已知三角形三点坐标求三角形内切圆圆心：设 $AB=c,AC=b,BC=a,A(x_{1},y_{1},z_{1}),B(x_{2},y_{2},z_{2}),C(x_{3},y_{3},z_{3})$ ，则内切圆圆心为 $({\frac {(ax_{1}+bx_{2}+cx_{3})} {(a+b+c)}},{\frac {ay_{1}+by_{2}+cy_{3}} {(a+b+c)}},{\frac {(az_{1}+bz_{2}+cz_{3})} {(a+b+c)}})$ | ||
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| + | ===== 5.关于四边形 ===== | ||
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| + | 圆内接四边形的海伦公式：半周长为 $P$ ，四边形的四边长为 $a,b,c,d$ ，则四边形的面积为 ${\sqrt {(P-a)(P-b)(P-c)(P-d)}}$ | ||
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| + | 托勒密定理：圆内接四边形对边乘积和等于对角线乘积。（大概是过一个点做边使得两对三角形相似，然后两个式子加起来就好了） | ||
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| + | 对于任意四边形：我们设四条边长为 $a,b,c,d$ ，对角线长度为 $d_{1},d_{2}$ ，对角线中点的连线长度为 $Ｍ$ 。则有 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+4M^{2}$ ，在一个三角形中做一条边的中线，然后有两条夹边的平方和等于二倍中线平方加底边平方的一半，然后反复套这个公式就好了。具体可以看这个链接： $http://m.1010jiajiao.com/czsx/shiti_id_416535c6bf26c87adf869805564d02b3$ 。 | ||
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| + | 弓形面积：设半径为 $r$ ，角为 $A$ ，则这个弓形的面积为 ${\frac {r^{2}(A-sinA)} {2}}$ | ||
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| + | ===== 6.关于圆 ===== | ||
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| + | 已知四面体的四个点坐标求四面体内切圆圆心： ${\frac {(S_{abc}x_{4}+S_{abd}x_{3}+S_{acd}x_{2}+S_{bcd}x_{1})} {S_{sum}}}$ ，其余维坐标以此类推。 | ||
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| + | ===== 7.棱台 ===== | ||
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| + | 棱台体积： ${\frac {(S_{1}+S_{2}+{\sqrt {S_{1}S_{2}}})h} {3}}$ ，其中， $S_{1},S_{2}$ 表示上下底边， $h$ 表示棱台的高。 | ||
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| + | ===== 8.圆锥 ===== | ||
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| + | 已知圆锥表面积 $S$ ，求最大体积 $V$ ，二次函数搞一下，得到结果为 ${\frac {S} {12}}{\sqrt {\frac {2S} {\pi}}}$ | ||
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| + | ===== 9.圆台 ===== | ||
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| + | 圆台的体积： ${\frac {{\pi}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{1}r_{2})h} {3}}$ | ||
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| + | ===== 10.球冠 ===== | ||
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| + | 球冠的表面积：设球冠的高为 $H$ ，球的半径为 $R$ ，则球冠的表面积为 $2{\pi}RH$ 。 | ||
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| + | 球冠的体积：参数同上，体积为 ${\frac {{\pi}H^{2}(3R-H)} {3}}$ 。 | ||
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| + | ===== 11.球扇形 ===== | ||
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| + | 当已知球半径和球冠部分的高时，参数同上，两部分加起来全约掉了，最后结果为 ${\frac {2{\pi}R^{2}H} {3}}$ 。表面积同理相加暴算即可，球冠部分搞定剩下就是底面圆周长乘总半径再对半就好了。 | ||
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| + | ===== 12.球面距离 ===== | ||
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| + | 给两个点的坐标，都在球面上，算出两个点的最短距离。算出两个点的夹角，然后走这个圆上的圆弧就行了。 | ||
2020-2021/teams/legal_string/王智彪/新计算几何总结.1630826166.txt.gz · 最后更改: 2021/09/05 15:16 由 王智彪
