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jxm2001
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jxm2001
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-===== K. Walking =====
+===== H. travel =====
 ==== 题意 ====
-给定一个 $n\times m$ 的网格和初始点 $(a,b)$，求从初始点出发移动 $t$ 步且始终不出界的情况下的所有走法。
+给定一棵点权树，从树上选三条不相交的路径，每条路径的权值定义为路径上的点权和，要求最大化三条路径权值和。
 ==== 题解 ====
-显然横轴坐标是独立的，可以分开考虑。
+设 $\text{dp}(u,0/1/2,i)$ 表示只考虑 $u$ 的子树，结点 $u$ 的状态为 $0/1/2$ 时，已经选中了 $i$ 条链此时的最大路径权值和。
-设 $f(s,n,a)$ 表示从一维坐标轴从 $a$ 点出发走 $s$ 步且始终处于 $[1,n]$ 范围内的情况下的所有走法。于是答案为
+我们需要维护一条正在生成的链，这条链不包含在已经选中的 $i$ 条链当中，如果 $u$ 状态为 $0$ 表示 $u$ 不在生成链中。
+如果 $u$ 状态为 $1$ 表示 $u$ 在生成链中且 $u$ 只有一个儿子在生成链中， $u$ 状态为 $2$ 表示 $u$ 在生成链中且 $u$ 有两个儿子在生成链中。
+考虑状态转移，利用生成链的合并，不难有
 $$
-\sum_{i=0}^t {t\choose i}f(i,n,a)f(t-i,m,b)
+\text{dp}(u,0,i+j)\gets \text{dp}(u,0,i)+\text{dp}(v,0,j)\\
+\text{dp}(u,1,i+j)\gets \text{dp}(u,0,i)+\text{dp}(v,1,j)+a_u\\
+\text{dp}(u,1,i+j)\gets \text{dp}(u,1,i)+\text{dp}(v,0,j)\\
+\text{dp}(u,2,i+j)\gets \text{dp}(u,1,i)+\text{dp}(v,1,j)\\
+\text{dp}(u,2,i+j)\gets \text{dp}(u,2,i)+\text{dp}(v,0,j)
 $$
-接下来考虑如何计算 $f(s,n,a)(s\in [0,t])$，$f(s,m,b)$ 的计算方式类同。
+注意上式的 $\gets$ 表示取最大值，另外为了防止选中复数条从 $v$ 生成的链，需要开一个临时数组存储中间量。
-方案一：设 $\text{dp}(i,j)$ 表示走 $i$ 步最后位于 $j$ 点且始终为出界的方案数，不难得到一个 $O(nt)$ 的暴力解法。
+初始状态为 $\text{dp}(u,1,0)=a_u$，最后转移完要考虑将正在生成的链转化为已经选中的链，于是有
-方案二：不难发现，有
 $$
-\begin{equation}\begin{split}
+\text{dp}(u,0,i)\gets \max(\text{dp}(u,1,i-1),\text{dp}(u,2,i-1))
-f(s,n,a)&=\sum_{i=1}^n \text{dp}(s,i) \\
-&=\text{dp}(s-1,1)+\sum_{i=2}^{n-1} (\text{dp}(s-1,i-1)+\text{dp}(s-1,i+1))+\text{dp}(s-1,n)\\
-& =2f(s-1,n,a)-\text{dp}(s-1,1)-\text{dp}(s-1,n)
-\end{split}\end{equation}
 $$
-于是问题转化为计算 $\text{dp}(s,1),\text{dp}(s,n)$。
+最终答案为 $\text{dp}(1,0,3)$，时间复杂度 $O(nk^2)$，其中 $k$ 表示最多能选中的链的个数。
+[[http://tokitsukaze.live/2018/07/24/2018niuke2.H/|参考资料]]
 <hidden 查看代码>
 <code cpp>
+const int MAXN=4e5+5,MAXK=4;
+struct Edge{
+	int to,next;
+}edge[MAXN<<1];
+int a[MAXN],head[MAXN],edge_cnt;
+LL dp[MAXN][3][MAXK],tmp[3][MAXK];
+void Insert(int u,int v){
+	edge[++edge_cnt]=Edge{v,head[u]};
+	head[u]=edge_cnt;
+}
+void Max(LL &a,LL b){
+	if(b>a)
+	a=b;
+}
+void dfs(int u,int fa){
+	dp[u][1][0]=a[u];
+	for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
+		int v=edge[i].to;
+		if(v==fa)continue;
+		dfs(v,u);
+		_for(i,0,3)_for(j,0,MAXK)
+		tmp[i][j]=dp[u][i][j];
+		_for(i,0,MAXK)_for(j,0,MAXK-i){
+			Max(tmp[0][i+j],dp[u][0][i]+dp[v][0][j]);
+			Max(tmp[1][i+j],dp[u][0][i]+dp[v][1][j]+a[u]);
+			Max(tmp[1][i+j],dp[u][1][i]+dp[v][0][j]);
+			Max(tmp[2][i+j],dp[u][1][i]+dp[v][1][j]);
+			Max(tmp[2][i+j],dp[u][2][i]+dp[v][0][j]);
+		}
+		_for(i,0,3)_for(j,0,MAXK)
+		dp[u][i][j]=tmp[i][j];
+	}
+	_for(i,1,MAXK)
+	Max(dp[u][0][i],max(dp[u][1][i-1],dp[u][2][i-1]));
+}
+int main()
+{
+	int n=read_int();
+	_rep(i,1,n)
+	a[i]=read_int();
+	_for(i,1,n){
+		int u=read_int(),v=read_int();
+		Insert(u,v);
+		Insert(v,u);
+	}
+	dfs(1,0);
+	enter(dp[1][0][3]);
+	return 0;
+}
 </code>
 </hidden>

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