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jxm2001
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jxm2001
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-===== B. discount =====
+===== H. travel =====
 ==== 题意 ====
-给定 $n$ 种商品，对于每个商品 $i$，有两种策略，一种是花费 $a_i$ 购买同时赠送商品 $j$，一种是花费 $b_i$ 购买。$(b_i\le a_i)$
+给定一棵点权树，从树上选三条不相交的路径，每条路径的权值定义为路径上的点权和，要求最大化三条路径权值和。
-问至少获得所有商品各一种的最小费用。
 ==== 题解 ====
-假定花费 $a_i$ 购买商品 $i$ 可以赠送商品 $j$，则连边 $j\to i$，其中 $i$ 是 $j$ 的儿子结点。
+设 $\text{dp}(u,0/1/2,i)$ 表示只考虑 $u$ 的子树，结点 $u$ 的状态为 $0/1/2$ 时，已经选中了 $i$ 条链此时的最大路径权值和。
-于是可以得到基环树森林，定义每个结点的状态 $0/1/2$ 表示不购买该结点/以 $b_i$ 购买该结点/以 $a_i$ 购买该结点。
+我们需要维护一条正在生成的链，这条链不包含在已经选中的 $i$ 条链当中，如果 $u$ 状态为 $0$ 表示 $u$ 不在生成链中。
-于是原问题等价于使得每个结点的状态如果为 $0$ 则至少有一个儿子状态为 $2$ 的最小费用。
+如果 $u$ 状态为 $1$ 表示 $u$ 在生成链中且 $u$ 只有一个儿子在生成链中， $u$ 状态为 $2$ 表示 $u$ 在生成链中且 $u$ 有两个儿子在生成链中。
-先考虑树的解法，设 $\text{dp}(u,0/1/2)$ 为只考虑子树 $u$ 的情况下的最小费用，不难得到状态转移方程。
+考虑状态转移，利用生成链的合并，不难有
-接下来考虑每个基环树上的环，任取一个点，枚举该点在环上的子节点状态是否为 $2$，然后进行线性 $\text{dp}$。
+$$
+\text{dp}(u,0,i+j)\gets \text{dp}(u,0,i)+\text{dp}(v,0,j)\\
+\text{dp}(u,1,i+j)\gets \text{dp}(u,0,i)+\text{dp}(v,1,j)+a_u\\
+\text{dp}(u,1,i+j)\gets \text{dp}(u,1,i)+\text{dp}(v,0,j)\\
+\text{dp}(u,2,i+j)\gets \text{dp}(u,1,i)+\text{dp}(v,1,j)\\
+\text{dp}(u,2,i+j)\gets \text{dp}(u,2,i)+\text{dp}(v,0,j)
+$$
+注意上式的 $\gets$ 表示取最大值，另外为了防止选中复数条从 $v$ 生成的链，需要开一个临时数组存储中间量。
+初始状态为 $\text{dp}(u,1,0)=a_u$，最后转移完要考虑将正在生成的链转化为已经选中的链，于是有
+$$
+\text{dp}(u,0,i)\gets \max(\text{dp}(u,1,i-1),\text{dp}(u,2,i-1))
+$$
+最终答案为 $\text{dp}(1,0,3)$，时间复杂度 $O(nk^2)$，其中 $k$ 表示最多能选中的链的个数。
+[[http://tokitsukaze.live/2018/07/24/2018niuke2.H/|参考资料]]
 <hidden 查看代码>
 <code cpp>
-const int MAXN=1e5+5;
+const int MAXN=4e5+5,MAXK=4;
-const LL inf=1e18;
 struct Edge{
 	int to,next;
-}edge[MAXN];
+}edge[MAXN<<1];
-int head[MAXN],edge_cnt;
+int a[MAXN],head[MAXN],edge_cnt;
+LL dp[MAXN][3][MAXK],tmp[3][MAXK];
 void Insert(int u,int v){
 	edge[++edge_cnt]=Edge{v,head[u]};
 	head[u]=edge_cnt;
 }
-int fa[MAXN],a[MAXN],b[MAXN];
+void Max(LL &a,LL b){
-bool inque[MAXN],node_vis[MAXN],node_cyc[MAXN];
+	if(b>a)
-LL dp[MAXN][3];
+	a=b;
-vector<int> cyc;
+}
-void dfs(int u){
+void dfs(int u,int fa){
-	LL s1=0,s2=inf;
+	dp[u][1][0]=a[u];
-	node_vis[u]=true;
 	for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
 		int v=edge[i].to;
-		if(node_cyc[v])continue;
+		if(v==fa)continue;
-		dfs(v);
+		dfs(v,u);
-		LL w=min({dp[v][0],dp[v][1],dp[v][2]});
+		_for(i,0,3)_for(j,0,MAXK)
-		s1+=w;
+		tmp[i][j]=dp[u][i][j];
-		s2=min(s2,dp[v][2]-w);
+		_for(i,0,MAXK)_for(j,0,MAXK-i){
+			Max(tmp[0][i+j],dp[u][0][i]+dp[v][0][j]);
+			Max(tmp[1][i+j],dp[u][0][i]+dp[v][1][j]+a[u]);
+			Max(tmp[1][i+j],dp[u][1][i]+dp[v][0][j]);
+			Max(tmp[2][i+j],dp[u][1][i]+dp[v][1][j]);
+			Max(tmp[2][i+j],dp[u][2][i]+dp[v][0][j]);
+		}
+		_for(i,0,3)_for(j,0,MAXK)
+		dp[u][i][j]=tmp[i][j];
 	}
-	dp[u][0]=s1+s2;
+	_for(i,1,MAXK)
-	dp[u][1]=b[u]+s1;
+	Max(dp[u][0][i],max(dp[u][1][i-1],dp[u][2][i-1]));
-	dp[u][2]=a[u]+s1;
-}
-LL dp2[MAXN][3];
-LL cal1(){
-	int u=cyc[0];
-	dp2[u][0]=min({dp[u][0],dp[u][1]-b[u],dp[u][2]-a[u]});
-	dp2[u][1]=dp[u][1];
-	dp2[u][2]=dp[u][2];
-	_for(i,1,cyc.size()){
-		int u=cyc[i],p=cyc[i-1];
-		dp2[u][0]=dp2[p][2]+min({dp[u][0],dp[u][1]-b[u],dp[u][2]-a[u]});
-		dp2[u][0]=min(dp2[u][0],dp[u][0]+min(dp2[p][0],dp2[p][1]));
-		dp2[u][1]=dp[u][1]+min({dp2[p][0],dp2[p][1],dp2[p][2]});
-		dp2[u][2]=dp[u][2]+min({dp2[p][0],dp2[p][1],dp2[p][2]});
-	}
-	return dp2[*cyc.rbegin()][2];
-}
-LL cal2(){
-	int u=cyc[0];
-	dp2[u][0]=dp[u][0];
-	dp2[u][1]=dp[u][1];
-	dp2[u][2]=dp[u][2];
-	_for(i,1,cyc.size()){
-		int u=cyc[i],p=cyc[i-1];
-		dp2[u][0]=dp2[p][2]+min({dp[u][0],dp[u][1]-b[u],dp[u][2]-a[u]});
-		dp2[u][0]=min(dp2[u][0],dp[u][0]+min(dp2[p][0],dp2[p][1]));
-		dp2[u][1]=dp[u][1]+min({dp2[p][0],dp2[p][1],dp2[p][2]});
-		dp2[u][2]=dp[u][2]+min({dp2[p][0],dp2[p][1],dp2[p][2]});
-	}
-	return min({dp2[*cyc.rbegin()][0],dp2[*cyc.rbegin()][1],dp2[*cyc.rbegin()][2]});
-}
-LL solve(int u){
-	cyc.clear();
-	stack<int> st;
-	int pos=u;
-	while(!inque[pos]){
-		inque[pos]=true;
-		st.push(pos);
-		pos=fa[pos];
-	}
-	node_cyc[pos]=true;
-	cyc.push_back(pos);
-	while(st.top()!=pos){
-		int tmp=st.top();
-		node_cyc[tmp]=true;
-		cyc.push_back(tmp);
-		st.pop();
-	}
-	reverse(cyc.begin(),cyc.end());
-	for(int u:cyc)
-	dfs(u);
-	return min(cal1(),cal2());
 }
 int main()
@@ 行 106: / 行 77: @@
 	_rep(i,1,n)
 	a[i]=read_int();
-	_rep(i,1,n)
+	_for(i,1,n){
-	b[i]=a[i]-read_int();
+		int u=read_int(),v=read_int();
-	_rep(i,1,n){
+		Insert(u,v);
-		fa[i]=read_int();
+		Insert(v,u);
-		Insert(fa[i],i);
-	}
-	LL ans=0;
-	_rep(u,1,n){
-		if(!node_vis[u])
-		ans+=solve(u);
 	}
-	enter(ans);
+	dfs(1,0);
+	enter(dp[1][0][3]);
 	return 0;
 }
 </code>
 </hidden>

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