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--- 2020-2021:teams:legal_string:jxm2001:动态规划_1 [2020/08/02 19:25]
jxm2001
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jxm2001
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 == 题解 ==
+搜索函数中 $s$ 记录前一位状态即可。
 <hidden 查看代码>
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 === 习题五 ===
-[[https://ac.nowcoder.com/acm/contest/5671/H|洛谷p3413]]
+[[https://ac.nowcoder.com/acm/contest/5671/H|牛客暑期多校(第六场) H 题]]
 == 题意 ==
-求 $1\le A\le B\le N$ ,满足 $S(A)\gt S(B)$ 的 $(A,B)$ 个数，其中 $S(n)$ 代表 $n$ 的数码和。
+求 $0\le A\le B\le N$ ,满足 $S(A)\gt S(B)$ 的 $(A,B)$ 个数，其中 $S(n)$ 代表 $n$ 的数码和。
 == 题解 ==
+搜索函数为 $f(pos,d,eq1,eq2)$。其中 $d$ 表示 $S(B)-S(A)$，$eq1$ 表示 $B$ 前缀是否与查询上界相等，$eq2$ 表示 $A$ 前缀是否与 $B$ 前缀相等。
+接下来同时枚举 $B,A$ 在 $pos$ 位的数值即可，合法状态共 $O(18L^2)$ 个，每个状态递推时间复杂度 $O(100)$。
+于是总时间复杂度 $O(1800L^2)$，其中 $L$ 表示 $N$ 的长度。需要注意搜索过程中需要对 $eq1,eq2$ 进行记忆化。
+单个数搜索时不需要对 $eq$ 进行记忆化是因为单个数搜索时从 $eq=true$ 的状态只能走到下一个 $eq=true$ 的状态。
+而两个数搜索时，从 $eq1=true,eq2=false$ 的状态可以走到 $10$ 个 $eq1=true,eq2=false$ 的状态。
+所以存在某些 $eq1=true,eq2=false$ 的状态会被重复访问的可能，对 $eq1=false,eq2=true$ 的情况类似。
+<hidden 查看代码>
+<code cpp>
+const int MAXL=105,MAXV=905,Mod=1e9+7;
+int a[MAXL],dp[MAXL][MAXV<<1][2][2];
+int dfs(int pos,int d,bool eq1,bool eq2){
+	if(d>=MAXV+pos*9)return 0;
+	if(!pos)return 1;
+	if(~dp[pos][d][eq1][eq2])
+	return dp[pos][d][eq1][eq2];
+	int ans=0,v1=eq1?a[pos]:9,v2;
+	_rep(i,0,v1){
+		v2=eq2?i:9;
+		_rep(j,0,v2)
+		ans=(ans+dfs(pos-1,d+i-j,eq1&&i==v1,eq2&&j==v2))%Mod;
+	}
+	return dp[pos][d][eq1][eq2]=ans;
+}
+int solve(char *s){
+	int len=strlen(s);
+	mem(dp,-1);
+	_rep(i,1,len)
+	a[i]=s[len-i]-'0';
+	return dfs(len,MAXV,true,true);
+}
+char buf[MAXL];
+int main()
+{
+	scanf("%s",buf);
+	enter(solve(buf));
+	return 0;
+}
+</code>
+</hidden>
+=== 习题六 ===
+[[https://cometoj.com/contest/71/problem/D?problem_id=4019|Comet OJ-Contest #12 D题]]
+== 题意 ==
+求满足 $0\le x\le A,0\le y\le B,x\oplus y=n,|x-y|\le m$ 的 $(x,y)$ 个数。
+== 题解 ==
+不难想到按二进制 $\text{dp}$。但 $|x-y|$ 在 $\text{dp}$ 过程中可能上升，也可能下降，不方便处理。
+故不妨假设初始时 $x=0,y=n$，然后若 $n$ 的第 $i$ 位等于 $1$ 且将 $1$ 交给 $x$，则 $x-y$ 增加 $2^{i+1}$。这样可以保证 $x-y$ 在 $\text{dp}$ 过程中单增。
+$|x-y|\le m$ 等价于增量 $n-m\le d\le n+m$，考虑计算出 $d\le n+m$ 的值减去 $d\le n-m-1$ 的值即可。
+另外注意 $n-m\le 0$ 的情况需要特判防止 $\text{dp}$ 出错，由于 $|x-y|\le n$ 必成立，所以结果为 $0$。
+搜索函数为 $f(pos,eq1,eq2,eq3)$。其中 $eq1$ 表示 $x$ 前缀是否与 $A$ 前缀相等，$eq2$ 表示 $y$ 前缀是否与 $B$ 前缀相等。
+$eq3$ 表示 $d$ 前缀是否与上界相等，然后枚举每一位可能，使其满足约束 $x\oplus y=n$，直接转移即可。
+<hidden 查看代码>
+<code cpp>
+const int MAXL=64;
+int A[MAXL],B[MAXL],N[MAXL],M[MAXL];
+LL dp[MAXL][2][2][2];
+void cal(LL x,int *X){
+	_for(i,1,MAXL)
+	X[i]=0;
+	int pos=0;
+	while(x){
+		X[++pos]=x&1;
+		x>>=1;
+	}
+}
+LL dfs(int pos,bool eq1,bool eq2,bool eq3){
+	if(!pos)return 1;
+	if(~dp[pos][eq1][eq2][eq3])return dp[pos][eq1][eq2][eq3];
+	LL ans=0;
+	_for(i,0,2){
+		int x=i,y=i^N[pos];
+		if((eq1&&x>A[pos])||(eq2&&y>B[pos])||(eq3&&((x>y)>M[pos+1])))
+		continue;
+		ans+=dfs(pos-1,eq1&&x==A[pos],eq2&&y==B[pos],eq3&&(x>y)==M[pos+1]);
+	}
+	return dp[pos][eq1][eq2][eq3]=ans;
+}
+LL solve(LL m){
+	mem(dp,-1);
+	cal(m,M);
+	return dfs(62,true,true,true);
+}
+int main()
+{
+	int T=read_int();
+	while(T--){
+		LL a=read_LL(),b=read_LL(),n=read_LL(),m=read_LL();
+		cal(a,A);
+		cal(b,B);
+		cal(n,N);
+		enter(solve(n+m)-((n-m>0)?solve(n-m-1):0));
+	}
+	return 0;
+}
+</code>
+</hidden>
+=== 习题七 ===
+[[https://www.luogu.com.cn/problem/CF908G|CF908G]]
+== 题意 ==
+定义 $S(x)$ 表示将 $x$ 的每个位从小到大重排后的值，例如 $S(3190)=0139,S(4312)=1234$。
+给定 $1\le X\le 10^{700}$，求
+$$
+\sum_{i=1}^X S(i)
+$$
+== 题解 ==
+考虑按贡献计算，设 $f(i,j)$ 表示 $1\sim X$ 中满足 $S(x)$ 的第 $j$ 位等于 $i$ 的 $x$ 的个数，$n=\text{len}(X)$，于是
+$$
+ans=\sum_{i=1}^9i\sum_{j=1}^n f(i,j)10^{j-1}=\sum_{i=1}^{9}i\sum_{j=1}^n (g(i,j)-g(i+1,j))10^{j-1}
+$$
+其中 $g(i,j)=\sum_{k=i}^9f(i,k)$ 表示 $1\sim X$ 中满足 $S(x)$ 的第 $j$ 位大于等于 $i$ 的 $x$ 的个数。
+不难发现 $g(i,j)$ 也等于 $1\sim X$ 中满足 $x$ 中至少有 $j$ 位大于等于 $i$ 的 $x$ 的个数，于是
+$$
+g(i,j)=\sum_{k=j}^n \text{dp}(i,k)
+$$
+其中 $\text{dp}(i,j)$ 表示 $1\sim X$ 中满足 $x$ 中有 $j$ 位大于等于 $i$ 的 $x$ 的个数，显然该值通过数位 $\text{DP}$ 即可计算。
+时间复杂度 $O(100n^2)$。
+<hidden 查看代码>
+<code cpp>
+const int MAXL=705,Mod=1e9+7;
+char s[MAXL];
+int a[MAXL],dp[10][MAXL][MAXL][2],suf[11][MAXL];
+int dfs(int v,int pos,int cnt,bool eq){
+	if(!pos||cnt<0)return cnt==0;
+	if(~dp[v][pos][cnt][eq])return dp[v][pos][cnt][eq];
+	int ans=0,mv=eq?a[pos]:9;
+	_rep(i,0,mv)
+	ans=(ans+dfs(v,pos-1,cnt-(i>=v),eq&&(a[pos]==i)))%Mod;
+	return dp[v][pos][cnt][eq]=ans;
+}
+int main()
+{
+	mem(dp,-1);
+	scanf("%s",s+1);
+	int len=strlen(s+1);
+	for(int i=1,j=len;i<=len;i++,j--)a[i]=s[j]-'0';
+	int ans=0;
+	_for(i,1,10)for(int j=len;j>=1;j--)
+	suf[i][j]=(suf[i][j+1]+dfs(i,len,j,true))%Mod;
+	_for(i,1,10){
+		int p=1;
+		_rep(j,1,len){
+			ans=(ans+1LL*i*p%Mod*(suf[i][j]-suf[i+1][j]+Mod)%Mod)%Mod;
+			p=10LL*p%Mod;
+		}
+	}
+	enter(ans);
+	return 0;
+}
+</code>
+</hidden>

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