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--- 2020-2021:teams:legal_string:jxm2001:图论_3 [2020/07/19 22:35]
jxm2001
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 ===== 网络流经典例题 =====
+==== 方格取数问题 ====
+[[https://www.luogu.com.cn/problem/P2774|洛谷p2774]]
+=== 题意 ===
+给定一个 $n\times m$的方格图，每个方格中都有一个正整数。
+现要从方格中取数，使任意两个数所在方格没有公共边，且取出的数的总和最大，请求出最大的和。
+=== 题解 ===
+由于每个方格限制较少，故考虑利用限制建边。
+考虑先取所有方格，再删去权值和最小的一组方格，使得剩下的方格没有公共边。
+问题转化为建立一个模型，支持以下操作：
+  * 支持删除元素，且删除代价为元素点权
+  * 保证操作最优或者操作可逆
+  * 最终状态为剩余元素没有冲突
+发现可以将方格进行黑白二染色，显然同色方格间没有限制不连边，所以可以得到二分图。
+从源点向每个黑格连一条边，容量为黑格点权。如果删去该边，表示删除黑格。
+从白格向汇点连一条边，容量为白格点权。如果删去该边，表示删除白格。
+最后从黑格向有冲突的白格连一条边，容量待定。
+问题转化为最小割问题。
+事实上网络流图不连通等价于没有从源点到黑格，再经过冲突边到白格，最后到汇点的路径。
+这又等价于不会同时选择冲突的黑格和白格，即最终的目的。
+然后需要保证最小割只选择源点到黑格的边和白格到汇点的边，所以把黑格向有冲突的白格连的边容量设为 $\inf$。
+最后求最小割，答案为点权总和减去最小割。
+<hidden 查看代码>
+<code cpp>
+const int MAXS=105,MAXN=MAXS*MAXS,MAXM=6*MAXN,Inf=0x7fffffff;
+const int dir[][2]={{0,1},{0,-1},{1,0},{-1,0}};
+struct Edge{
+	int to,cap,next;
+	Edge(int to=0,int cap=0,int next=0){
+		this->to=to;
+		this->cap=cap;
+		this->next=next;
+	}
+}edge[MAXM<<1];
+int head[MAXN],edge_cnt;
+void Clear(){mem(head,-1);edge_cnt=0;}//边从0开始编号
+void Insert(int u,int v,int c){
+	edge[edge_cnt]=Edge(v,c,head[u]);
+	head[u]=edge_cnt++;
+	edge[edge_cnt]=Edge(u,0,head[v]);
+	head[v]=edge_cnt++;
+}
+struct Dinic{
+	int s,t;
+	int pos[MAXN],vis[MAXN],dis[MAXN];
+	bool bfs(int k){
+		queue<int>q;
+		q.push(s);
+		vis[s]=k,dis[s]=0,pos[s]=head[s];
+		while(!q.empty()){
+			int u=q.front();q.pop();
+			for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){
+				int v=edge[i].to;
+				if(vis[v]!=k&&edge[i].cap){
+					vis[v]=k,dis[v]=dis[u]+1,pos[v]=head[v];
+					q.push(v);
+					if(v==t)
+					return true;
+				}
+			}
+		}
+		return false;
+	}
+	int dfs(int u,int max_flow){
+		if(u==t||!max_flow)
+		return max_flow;
+		int flow=0,temp_flow;
+		for(int &i=pos[u];~i;i=edge[i].next){
+			int v=edge[i].to;
+			if(dis[u]+1==dis[v]&&(temp_flow=dfs(v,min(max_flow,edge[i].cap)))){
+				edge[i].cap-=temp_flow;
+				edge[i^1].cap+=temp_flow;
+				flow+=temp_flow;
+				max_flow-=temp_flow;
+				if(!max_flow)
+				break;
+			}
+		}
+		return flow;
+	}
+	int Maxflow(int s,int t){
+		this->s=s;this->t=t;
+		int ans=0,k=0;
+		mem(vis,0);
+		while(bfs(++k))
+		ans+=dfs(s,Inf);
+		return ans;
+	}
+}solver;
+int n,m,a[MAXS][MAXS];
+int Id(int r,int c){
+	return (r-1)*m+c;
+}
+bool in(int r,int c){return r>0&&r<=n&&c>0&&c<=m;}
+int main()
+{
+	n=read_int(),m=read_int();
+	int sum=0,s=Id(n,m)+1,t=s+1;
+	Clear();
+	_rep(i,1,n)
+	_rep(j,1,m){
+		a[i][j]=read_int(),sum+=a[i][j];
+		if((i+j)&1)
+		Insert(Id(i,j),t,a[i][j]);
+		else{
+			Insert(s,Id(i,j),a[i][j]);
+			_for(k,0,4){
+				int ti=i+dir[k][0],tj=j+dir[k][1];
+				if(in(ti,tj))
+				Insert(Id(i,j),Id(ti,tj),Inf);
+			}
+		}
+	}
+	sum-=solver.Maxflow(s,t);
+	enter(sum);
+	return 0;
+}
+</code>
+</hidden>
+=== 练习题 ===
+[[https://www.luogu.com.cn/problem/P2762|洛谷p2762]]
+== 题意 ==
+给定 $n$ 个可选择实验，$m$ 个实验器材。完成第 $i$ 个实验可以得到 $p_i$ 元奖金，购买第 $j$ 个实验器材需要花费 $c_j$ 元。
+完成每个实验需要若干个器材(允许多个实验共用一个器材)，问最大利益及购买方案。
+== 题解 ==
+先收取所有实验的奖金。然后考虑要么舍弃实验奖金，要么购买相应器材。
+剩下思路类似方格取数。
+<hidden 查看代码>
+<code cpp>
+const int MAXN=200,MAXM=3000,Inf=0x7fffffff;
+struct Edge{
+	int to,cap,next;
+	Edge(int to=0,int cap=0,int next=0){
+		this->to=to;
+		this->cap=cap;
+		this->next=next;
+	}
+}edge[MAXM<<1];
+int head[MAXN],edge_cnt;
+void Clear(){mem(head,-1);edge_cnt=0;}//边从0开始编号
+void Insert(int u,int v,int c){
+	edge[edge_cnt]=Edge(v,c,head[u]);
+	head[u]=edge_cnt++;
+	edge[edge_cnt]=Edge(u,0,head[v]);
+	head[v]=edge_cnt++;
+}
+struct Dinic{
+	int s,t;
+	int pos[MAXN],vis[MAXN],dis[MAXN];
+	bool bfs(int k){
+		queue<int>q;
+		q.push(s);
+		vis[s]=k,dis[s]=0,pos[s]=head[s];
+		while(!q.empty()){
+			int u=q.front();q.pop();
+			for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){
+				int v=edge[i].to;
+				if(vis[v]!=k&&edge[i].cap){
+					vis[v]=k,dis[v]=dis[u]+1,pos[v]=head[v];
+					q.push(v);
+					if(v==t)
+					return true;
+				}
+			}
+		}
+		return false;
+	}
+	int dfs(int u,int max_flow){
+		if(u==t||!max_flow)
+		return max_flow;
+		int flow=0,temp_flow;
+		for(int &i=pos[u];~i;i=edge[i].next){
+			int v=edge[i].to;
+			if(dis[u]+1==dis[v]&&(temp_flow=dfs(v,min(max_flow,edge[i].cap)))){
+				edge[i].cap-=temp_flow;
+				edge[i^1].cap+=temp_flow;
+				flow+=temp_flow;
+				max_flow-=temp_flow;
+				if(!max_flow)
+				break;
+			}
+		}
+		return flow;
+	}
+	int Maxflow(int s,int t){
+		this->s=s;this->t=t;
+		int ans=0,k=0;
+		mem(vis,0);
+		while(bfs(++k))
+		ans+=dfs(s,Inf);
+		return ans;
+	}
+}solver;
+char buf[MAXN];
+bool vis[MAXN];
+void dfs(int u){
+	vis[u]=true;
+	for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){
+		int v=edge[i].to;
+		if(vis[v]||edge[i].cap==0)
+		continue;
+		dfs(v);
+	}
+}
+int main()
+{
+	Clear();
+	int n=read_int(),m=read_int(),s=n+m+1,t=s+1;
+	int c,pos,p,sum=0;
+	_rep(i,1,n){
+		sum+=c=read_int();
+		Insert(s,i,c);
+		gets(buf);
+		pos=0;
+		while(sscanf(buf+pos,"%d",&p)==1){
+			Insert(i,p+n,Inf);
+			if(p==0)
+			pos++;
+			else{
+				while(p){
+					p/=10;
+					pos++;
+				}
+			}
+			while(buf[pos]==' ')
+			pos++;
+		}
+	}
+	_rep(i,1,m)
+	Insert(i+n,t,read_int());
+	int flow=solver.Maxflow(s,t);
+	dfs(s);
+	_rep(i,1,n) if(vis[i])
+	space(i);
+	puts("");
+	_rep(i,1,m) if(vis[i+n])
+	space(i);
+	puts("");
+	enter(sum-flow);
+	return 0;
+}
+</code>
+</hidden>
+=== 最大权闭合子图 ===
+== 定义 ==
+给定一个有向图，取图中的一些点构成点集 $V$，若对 $V$ 中的任意一个节点其后继节点均属于 $V$，则称 $V$ 及其相关边为闭合子图。
+如果每个点拥有一个点权，则称 $V$ 点权和最大的闭合子图为最大权闭合子图。
+== 性质 ==
+按如下规则构图：
+  * 若某点点权为正，则从源点连一条容量等于点权的边到该点
+  * 若某点点权为负，则从该点连一条容量等于点权绝对值的边到汇点
+  * 如某条边属于原图，则将其容量改为 $\inf$
+在该图中跑最大流，则最大权闭合子图点权和 $=$ 所有正点权之和 $-$ 最小割。
+== 证明 ==
+简单割定义：割 $(S,T)$ 中每一条割边都与 $s$ 或者 $t$ 相连。
+**任意闭合子图一定对应一个简单割**，否则取闭合子图和源点构成 $S$，其余点构成 $T$。
+如果有 $(u,v)\subset E,u\in S,v\in T$，则表示选择 $u$但不选择 $v$，与闭合子图定义矛盾。
+**任意一个简单割对应一个闭合子图**，因为对 $(u,v)\subset E,u\in S$，根据简单割定义，有 $v\in S$，满足闭合子图定义。
+记 $T$ 中所有正权点的权值之和为 $T_1$，$S$ 中所有正权点的权值之和为 $S_1$，$T$ 中所有负权点的权值绝对值之和为 $S_2$。
+则割的容量 $C(S,T)=T_1+S_2$，闭合子图的权值 $W=S_1-S_2$。
+则有 $C(S,T)+W=T_1+S_1$，即 $W=T_1+S_1-C(S,T)$。
+$T_1+S_1$ 即为所有正点权之和，是定值。剩下只需要考虑令 $C(S,T)$ 尽量小。
+而按上述方法构建的网络流图的最小割一定为简单割，因为非简单割容量大于 $\inf$，一定不是最小割。
+所以直接求最小割即可，证毕。
+====  最小路径覆盖问题 ====
+[[https://www.luogu.com.cn/problem/P2764|洛谷p2764]]
+=== 题意 ===
+给定一个 $\text{DAG}$，求最小的不相交路径集，使得每个点恰好属于其中一条路径。(允许路径长度为 $0$，此时路径仅覆盖一个点)
+=== 题解 ===
+先用 $n$ 条长度为 $0$ 的路径覆盖 $n$ 个点，然后考虑合并路径。
+将每个点拆成入点和出点，易知每个入点/出点最多被合并一次，否则有两条路径相交。
+从源点连一条容量为 $1$ 的边到每个入点，从每个出点连一条容量为 $1$ 的边到汇点，则可以满足上述的合并次数限制。
+最后，对每条边，从入点连一条容量为 $1$ 的边到出点，表示以入点结束的路径可与以出点开始的路径合并一次。
+最后需要合并次数最多，跑最大流即可。最小路径覆盖为节点数减去最大流。
+关于路径打印，只要在求完最大流后跑残量网络即可。
+<hidden 查看代码>
+<code cpp>
+const int MAXN=305,MAXM=18005,Inf=0x7fffffff;
+struct Edge{
+	int to,cap,next;
+	Edge(int to=0,int cap=0,int next=0){
+		this->to=to;
+		this->cap=cap;
+		this->next=next;
+	}
+}edge[MAXM<<1];
+int head[MAXN],edge_cnt;
+void Clear(){mem(head,-1);edge_cnt=0;}//边从0开始编号
+void Insert(int u,int v,int c){
+	edge[edge_cnt]=Edge(v,c,head[u]);
+	head[u]=edge_cnt++;
+	edge[edge_cnt]=Edge(u,0,head[v]);
+	head[v]=edge_cnt++;
+}
+struct Dinic{
+	int s,t;
+	int pos[MAXN],vis[MAXN],dis[MAXN];
+	bool bfs(int k){
+		queue<int>q;
+		q.push(s);
+		vis[s]=k,dis[s]=0,pos[s]=head[s];
+		while(!q.empty()){
+			int u=q.front();q.pop();
+			for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){
+				int v=edge[i].to;
+				if(vis[v]!=k&&edge[i].cap){
+					vis[v]=k,dis[v]=dis[u]+1,pos[v]=head[v];
+					q.push(v);
+					if(v==t)
+					return true;
+				}
+			}
+		}
+		return false;
+	}
+	int dfs(int u,int max_flow){
+		if(u==t||!max_flow)
+		return max_flow;
+		int flow=0,temp_flow;
+		for(int &i=pos[u];~i;i=edge[i].next){
+			int v=edge[i].to;
+			if(dis[u]+1==dis[v]&&(temp_flow=dfs(v,min(max_flow,edge[i].cap)))){
+				edge[i].cap-=temp_flow;
+				edge[i^1].cap+=temp_flow;
+				flow+=temp_flow;
+				max_flow-=temp_flow;
+				if(!max_flow)
+				break;
+			}
+		}
+		return flow;
+	}
+	int Maxflow(int s,int t){
+		this->s=s;this->t=t;
+		int ans=0,k=0;
+		mem(vis,0);
+		while(bfs(++k))
+		ans+=dfs(s,Inf);
+		return ans;
+	}
+}solver;
+int Next[MAXN],Pre[MAXN];
+int main()
+{
+	int n=read_int(),m=read_int(),u,v;
+	int s=2*n+1,t=2*n+2;
+	Clear();
+	_rep(i,1,n){
+		Insert(s,i,1);
+		Insert(i+n,t,1);
+	}
+	while(m--){
+		u=read_int(),v=read_int();
+		Insert(u,v+n,1);
+	}
+	int flow=solver.Maxflow(s,t);
+	_rep(u,1,n){
+		for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){
+			int v=edge[i].to;
+			if(v!=s&&edge[i].cap==0){
+				Next[u]=v-n;
+				Pre[v-n]=u;
+			}
+		}
+	}
+	_rep(i,1,n){
+		if(!Pre[i]){
+			int pos=i;
+			while(pos){
+				space(pos);
+				pos=Next[pos];
+			}
+			puts("");
+		}
+	}
+	enter(n-flow);
+	return 0;
+}
+</code>
+</hidden>
+=== 练习题 ===
+[[https://www.luogu.com.cn/problem/P2765|洛谷p2765]]
+== 题意 ==
+给定 $n$ 个栈，要求依次放入 $1,2,3,\cdots$
+要求同一个栈中每两个相邻元素之和是平方数。
+输出最多可以放入的数的个数以及任意一个方案。
+== 题解 ==
+把原图想像成一个 $\text{DAG}$，小数向可以与它相加构成平方数的大数连一条单向边，需要栈的个数等于最小路径覆盖。
+依次向图中加入每个数，每次加入一个数时先用长度为 $0$ 的路径将其覆盖，然后在残量网络中考虑路径合并。
+残量网络流量为 $0$ 表示路径合并失败，需要使用一个新的栈。如果最小路径覆盖不超过 $n$ 即可继续加数，否则终止循环。
+方案打印同最小路径覆盖。
+<hidden 查看代码>
+<code cpp>
+const int MAXN=1e5+5,MAXM=2e5+5,Inf=0x7fffffff;
+struct Edge{
+	int to,cap,next;
+	Edge(int to=0,int cap=0,int next=0){
+		this->to=to;
+		this->cap=cap;
+		this->next=next;
+	}
+}edge[MAXM<<1];
+int head[MAXN],edge_cnt;
+void Clear(){mem(head,-1);edge_cnt=0;}//边从0开始编号
+void Insert(int u,int v,int c){
+	edge[edge_cnt]=Edge(v,c,head[u]);
+	head[u]=edge_cnt++;
+	edge[edge_cnt]=Edge(u,0,head[v]);
+	head[v]=edge_cnt++;
+}
+struct Dinic{
+	int s,t;
+	int pos[MAXN],vis[MAXN],dis[MAXN];
+	bool bfs(int k){
+		queue<int>q;
+		q.push(s);
+		vis[s]=k,dis[s]=0,pos[s]=head[s];
+		while(!q.empty()){
+			int u=q.front();q.pop();
+			for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){
+				int v=edge[i].to;
+				if(vis[v]!=k&&edge[i].cap){
+					vis[v]=k,dis[v]=dis[u]+1,pos[v]=head[v];
+					q.push(v);
+					if(v==t)
+					return true;
+				}
+			}
+		}
+		return false;
+	}
+	int dfs(int u,int max_flow){
+		if(u==t||!max_flow)
+		return max_flow;
+		int flow=0,temp_flow;
+		for(int &i=pos[u];~i;i=edge[i].next){
+			int v=edge[i].to;
+			if(dis[u]+1==dis[v]&&(temp_flow=dfs(v,min(max_flow,edge[i].cap)))){
+				edge[i].cap-=temp_flow;
+				edge[i^1].cap+=temp_flow;
+				flow+=temp_flow;
+				max_flow-=temp_flow;
+				if(!max_flow)
+				break;
+			}
+		}
+		return flow;
+	}
+	int Maxflow(int s,int t){
+		this->s=s;this->t=t;
+		int ans=0,k=0;
+		mem(vis,0);
+		while(bfs(++k))
+		ans+=dfs(s,Inf);
+		return ans;
+	}
+}solver;
+const int MAXS=60;
+int Next[MAXN],Pre[MAXN],s=MAXN-2,t=MAXN-1;
+int main()
+{
+	Clear();
+	int n=read_int(),pos=0,num=0;
+	while(pos<=n){
+		++num;
+		Insert(s,num<<1,1);Insert(num<<1|1,t,1);
+		for(int i=sqrt(num)+1;i*i<2*num;i++)
+		Insert((i*i-num)<<1,num<<1|1,1);
+		if(solver.Maxflow(s,t)==0)
+		pos++;
+	}
+	enter(--num);
+	_rep(u,1,num){
+		for(int i=head[u<<1];~i;i=edge[i].next){
+			int v=edge[i].to;
+			if(v!=s&&edge[i].cap==0){
+				Next[u]=v>>1;
+				Pre[v>>1]=u;
+			}
+		}
+	}
+	_rep(i,1,num){
+		if(!Pre[i]){
+			int pos=i;
+			while(pos){
+				space(pos);
+				pos=Next[pos];
+			}
+			puts("");
+		}
+	}
+	return 0;
+}
+</code>
+</hidden>
+====  往返路线问题 ====
+[[https://www.luogu.com.cn/problem/P2770|洛谷p2770]]
+=== 题意 ===
+给定 $n$ 个点，$m$ 条边。规定 $1$ 号点为起点，$n$ 号点为终点。
+要求输出一条从起点经过终点再回到起点的路径，要求路径上的节点编号先单调增，再单调减，且路径上无重复节点。
+如果存在多条路径，输出任意一条最长的路径。
+=== 题解 1 ===
+首先问题可以转化为从起点开始走两条不相交的路径。
+每个点可以走一次且记一次贡献，所以考虑拆点并连一条容量为 $1$ 权值为 $-1$ 的边。
+注意起点终点会走两遍，但贡献只计算一次，所以需要额外连一条容量为 $1$ 权值为 $0$ 的边。
+然后从汇点连一条容量为 $2$ 的边到起点，从终点连一条容量为 $2$ 的边到汇点，保证存在两条路径。
+最后根据输入的边连接网络流的相应点即可，注意这些边不一定只会走一次(例如 $n=2$ 且起点终点连通的情况)，所以边的容量设为 $2$。
+<hidden 查看代码>
+<code cpp>
+const int MAXN=205,MAXM=6000,Inf=0x7fffffff;
+struct Edge{
+	int to,cap,w,next;
+	Edge(int to=0,int cap=0,int w=0,int next=0){
+		this->to=to;
+		this->cap=cap;
+		this->w=w;
+		this->next=next;
+	}
+}edge[MAXM<<1];
+int head[MAXN],edge_cnt;
+void Clear(){mem(head,-1);edge_cnt=0;}//边从0开始编号
+void Insert(int u,int v,int w,int c){
+	edge[edge_cnt]=Edge(v,c,w,head[u]);
+	head[u]=edge_cnt++;
+	edge[edge_cnt]=Edge(u,0,-w,head[v]);
+	head[v]=edge_cnt++;
+}
+struct Dinic{
+	int s,t;
+	int pos[MAXN],dis[MAXN];
+	bool inque[MAXN];
+	bool spfa(){
+		mem(dis,127/3);
+		queue<int>q;
+		q.push(s);
+		inque[s]=true,dis[s]=0,pos[s]=head[s];
+		while(!q.empty()){
+			int u=q.front();q.pop();
+			inque[u]=false;
+			for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){
+				int v=edge[i].to;
+				if(dis[u]+edge[i].w<dis[v]&&edge[i].cap){
+					dis[v]=dis[u]+edge[i].w,pos[v]=head[v];
+					if(!inque[v]){
+						q.push(v);
+						inque[v]=true;
+					}
+				}
+			}
+		}
+		return dis[t]!=dis[0];
+	}
+	int dfs(int u,int max_flow){
+		if(u==t||!max_flow)
+		return max_flow;
+		int flow=0,temp_flow;
+		inque[u]=true;
+		for(int &i=pos[u];~i;i=edge[i].next){
+			int v=edge[i].to;
+			if(!inque[v]&&dis[u]+edge[i].w==dis[v]&&(temp_flow=dfs(v,min(max_flow,edge[i].cap)))){
+				edge[i].cap-=temp_flow;
+				edge[i^1].cap+=temp_flow;
+				flow+=temp_flow;
+				max_flow-=temp_flow;
+				if(!max_flow)
+				break;
+			}
+		}
+		inque[u]=false;
+		return flow;
+	}
+	void MCMF(int s,int t,int &flow,LL &cost){
+		this->s=s;this->t=t;
+		cost=flow=0;
+		int temp_flow;
+		mem(inque,0);
+		while(spfa()){
+			temp_flow=dfs(s,Inf);
+			flow+=temp_flow;
+			cost+=1LL*temp_flow*dis[t];
+		}
+	}
+}solver;
+map<string,int>mp;
+map<int,string>pt;
+string a,b;
+int n,m,s,t;
+bool vis[MAXN];
+void dfs1(int u){
+	if(u==t)
+	return;
+	cout<<pt[u]<<endl;
+	for(int i=head[u+n];~i;i=edge[i].next){
+		int v=edge[i].to;
+		if(u<v&&edge[i].cap<2){
+			vis[v]=true;
+			return dfs1(v);
+		}
+	}
+}
+void dfs2(int u){
+	for(int i=head[u+n];~i;i=edge[i].next){
+		int v=edge[i].to;
+		if(!vis[v]&&u<v&&edge[i].cap<2){
+			dfs2(v);
+			break;
+		}
+	}
+	cout<<pt[u]<<endl;
+}
+int main()
+{
+	n=read_int(),m=read_int(),s=2*n+1,t=2*n+2;
+	Clear();
+	_rep(i,1,n){
+		cin>>a;
+		mp[a]=i;pt[i]=a;
+		Insert(i,i+n,-1,1);
+	}
+	Insert(s,1,0,2);Insert(1,1+n,0,1);
+	Insert(n,2*n,0,1);Insert(2*n,t,0,2);
+	int u,v;
+	while(m--){
+		cin>>a>>b;
+		u=mp[a],v=mp[b];
+		if(u>v)
+		swap(u,v);
+		Insert(u+n,v,0,2);
+	}
+	int flow;LL cost;
+	solver.MCMF(s,t,flow,cost);
+	if(flow<2)
+	puts("No Solution!");
+	else{
+		enter(-cost);
+		dfs1(1);
+		dfs2(1);
+	}
+	return 0;
+}
+</code>
+</hidden>
+=== 题解 2 ===
+发现可以 $\text{dp}$ 解决，时间复杂度 $O(nm)$。
+<hidden 查看代码>
+<code cpp>
+const int MAXN=105,MAXM=6000;
+struct Edge{
+	int to,next;
+}edge[MAXN<<1];
+int head[MAXN],edge_cnt;
+void Insert(int u,int v){
+	edge[++edge_cnt]=Edge{v,head[u]};
+	head[u]=edge_cnt;
+}
+int dp[MAXN][MAXN];
+pair<int,int> pre[MAXN][MAXN];
+map<string,int>mp;
+map<int,string>pt;
+string a,b;
+int n,m;
+void dfs1(int pos1,int pos2){
+	if(pos1==1){
+		cout<<pt[pos1]<<endl;
+		return;
+	}
+	while(pre[pos1][pos2].first==pos1)
+	pos2=pre[pos1][pos2].second;
+	dfs1(pre[pos1][pos2].first,pos2);
+	cout<<pt[pos1]<<endl;
+}
+void dfs2(int pos1,int pos2){
+	if(pos2==1){
+		cout<<pt[pos2]<<endl;
+		return;
+	}
+	if(pos2!=n)
+	cout<<pt[pos2]<<endl;
+	while(pre[pos1][pos2].second==pos2)
+	pos1=pre[pos1][pos2].first;
+	dfs2(pos1,pre[pos1][pos2].second);
+}
+int main()
+{
+	n=read_int(),m=read_int();
+	_rep(i,1,n){
+		cin>>a;
+		mp[a]=i;pt[i]=a;
+	}
+	int u,v;
+	while(m--){
+		cin>>a>>b;
+		u=mp[a],v=mp[b];
+		if(u>v)
+		swap(u,v);
+		Insert(u,v);
+	}
+	mem(dp,-1);
+	dp[1][1]=0;
+	_rep(i,1,n)
+	_rep(j,1,n){
+		if(dp[i][j]==-1)
+		continue;
+		for(int k=head[i];k;k=edge[k].next){
+			int v=edge[k].to;
+			if(v<=j&&v!=n)
+			continue;
+			if(dp[v][j]<dp[i][j]+1){
+				dp[v][j]=dp[i][j]+1;
+				pre[v][j]=make_pair(i,j);
+			}
+		}
+		for(int k=head[j];k;k=edge[k].next){
+			int v=edge[k].to;
+			if(v<=i&&v!=n)
+			continue;
+			if(dp[i][v]<dp[i][j]+1){
+				dp[i][v]=dp[i][j]+1;
+				pre[i][v]=make_pair(i,j);
+			}
+		}
+	}
+	if(dp[n][n]==dp[0][0])
+	puts("No Solution!");
+	else{
+		enter(dp[n][n]);
+		dfs1(n,n);
+		dfs2(n,n);
+	}
+	return 0;
+}
+</code>
+</hidden>
 ====  最长 $k$ 可重区间集问题 ====
+[[https://www.luogu.com.cn/problem/P3358|洛谷p3358]]
 === 题意 ===
@@ 行 26: / 行 847: @@
 对每个区间，仍然按上述方案连边。最后从源点连一条容量为 $k$ 的边到最左端点，从最右端点连一条容量为 $k$ 的边到汇点，跑费用流即可。
+如果题目把开区间改成闭区间，拆点的时候当作 $[lef,rig+1)$ 处理就行。
 <hidden 查看代码>
 <code cpp>
-#include <iostream>
-#include <cstdio>
-#include <cstdlib>
-#include <algorithm>
-#include <string>
-#include <sstream>
-#include <cstring>
-#include <cctype>
-#include <cmath>
-#include <vector>
-#include <set>
-#include <map>
-#include <stack>
-#include <queue>
-#include <ctime>
-#include <cassert>
-#define _for(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
-#define _rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
-#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
-using namespace std;
-typedef long long LL;
-inline int read_int(){
-	int t=0;bool sign=false;char c=getchar();
-	while(!isdigit(c)){sign|=c=='-';c=getchar();}
-	while(isdigit(c)){t=(t<<1)+(t<<3)+(c&15);c=getchar();}
-	return sign?-t:t;
-}
-inline LL read_LL(){
-	LL t=0;bool sign=false;char c=getchar();
-	while(!isdigit(c)){sign|=c=='-';c=getchar();}
-	while(isdigit(c)){t=(t<<1)+(t<<3)+(c&15);c=getchar();}
-	return sign?-t:t;
-}
-inline char get_char(){
-	char c=getchar();
-	while(c==' '||c=='\n'||c=='\r')c=getchar();
-	return c;
-}
-inline void write(LL x){
-	register char c[21],len=0;
-	if(!x)return putchar('0'),void();
-	if(x<0)x=-x,putchar('-');
-	while(x)c[++len]=x%10,x/=10;
-	while(len)putchar(c[len--]+48);
-}
-inline void space(LL x){write(x),putchar(' ');}
-inline void enter(LL x){write(x),putchar('\n');}
 const int MAXN=1005,MAXM=2005,Inf=0x7fffffff;
 struct Edge{
@@ 行 177: / 行 953: @@
 </code>
 </hidden>
+====  最长不下降子序列问题 ====
+[[https://www.luogu.com.cn/problem/P2766|洛谷p2766]]
+=== 题意 ===
+给定一个正整数序列 $x_1,x_2,\cdots x_n$。
+  - 计算其最长不下降子序列的长度 $s$
+  - 如果每个元素只允许使用一次，计算从给定的序列中最多可取出多少个长度为 $s$ 的不下降子序列
+  - 如果允许在取出的序列中多次使用 $x_1,x_n$，则从给定序列中最多可取出多少个不同的长度为的 $s$ 不下降子序列
+=== 题解 ===
+第一问考虑 $\text{dp}$ 求出以第 $i$ 个数结尾的最长序列长度。
+第二问先考虑只允许使用一次这个限制条件，只需要把每个点拆成入点和出点，然后连一条容量为 $1$ 的边即可。
+接下若满足 $j\lt i,a_j\le a_i,\text{dp}_j+1==\text{dp}_i$，则连一条 $j\to i$ 的容量为 $1$ 的边。
+最后考虑从源点向 $\text{dp}_i==1$ 的点连一条容量为 $1$ 的边，从 $\text{dp}_i==s$ 的点向汇点连一条容量为 $1$ 的边。
+最后跑最大流即可求出第二问答案。
+对第三问，考虑把第 $1,n$ 个点的入点和出点的连边容量改为  $\inf$，同时把从源点到第 $1$ 个的连边的容量改为 $\inf$。
+如果 $\text{dp}_n==s$，还需要把从第 $n$ 个点向汇点的连边的容量改为 $\inf$，然后重新跑一遍最大流。
+但实际编程中不需要修改边，额外添加边即可。同时也不需要重新跑最大流，在残量网络上跑最大流然后累加上第二问答案即可。
+需要注意 $s=1$ 的特例，题目需要求不同的不下降子序列就是为了防止此时答案为 $\inf$ 的情况。
+<hidden 查看代码>
+<code cpp>
+const int MAXN=1005,MAXM=5e5+5,Inf=0x7fffffff;
+struct Edge{
+	int to,cap,next;
+	Edge(int to=0,int cap=0,int next=0){
+		this->to=to;
+		this->cap=cap;
+		this->next=next;
+	}
+}edge[MAXM<<1];
+int head[MAXN],edge_cnt;
+void Clear(){mem(head,-1);edge_cnt=0;}//边从0开始编号
+void Insert(int u,int v,int c){
+	edge[edge_cnt]=Edge(v,c,head[u]);
+	head[u]=edge_cnt++;
+	edge[edge_cnt]=Edge(u,0,head[v]);
+	head[v]=edge_cnt++;
+}
+struct Dinic{
+	int s,t;
+	int pos[MAXN],vis[MAXN],dis[MAXN];
+	bool bfs(int k){
+		queue<int>q;
+		q.push(s);
+		vis[s]=k,dis[s]=0,pos[s]=head[s];
+		while(!q.empty()){
+			int u=q.front();q.pop();
+			for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){
+				int v=edge[i].to;
+				if(vis[v]!=k&&edge[i].cap){
+					vis[v]=k,dis[v]=dis[u]+1,pos[v]=head[v];
+					q.push(v);
+					if(v==t)
+					return true;
+				}
+			}
+		}
+		return false;
+	}
+	int dfs(int u,int max_flow){
+		if(u==t||!max_flow)
+		return max_flow;
+		int flow=0,temp_flow;
+		for(int &i=pos[u];~i;i=edge[i].next){
+			int v=edge[i].to;
+			if(dis[u]+1==dis[v]&&(temp_flow=dfs(v,min(max_flow,edge[i].cap)))){
+				edge[i].cap-=temp_flow;
+				edge[i^1].cap+=temp_flow;
+				flow+=temp_flow;
+				max_flow-=temp_flow;
+				if(!max_flow)
+				break;
+			}
+		}
+		return flow;
+	}
+	int Maxflow(int s,int t){
+		this->s=s;this->t=t;
+		int ans=0,k=0;
+		mem(vis,0);
+		while(bfs(++k))
+		ans+=dfs(s,Inf);
+		return ans;
+	}
+}solver;
+int a[MAXN],dp[MAXN],f[MAXN],pos;
+int main()
+{
+	int n=read_int();
+	_rep(i,1,n)
+	a[i]=read_int();
+	f[pos=0]=-Inf;
+	_rep(i,1,n){
+		if(a[i]>=f[pos]){
+			f[++pos]=a[i];
+			dp[i]=pos;
+		}
+		else{
+			int t=upper_bound(f,f+pos+1,a[i])-f;
+			f[t]=a[i];
+			dp[i]=t;
+		}
+	}
+	enter(pos);
+	if(pos==1){
+		sort(a+1,a+n+1);
+		int ans=unique(a+1,a+n+1)-a-1;
+		enter(ans);
+		enter(ans);
+		return 0;
+	}
+	int s=2*n+1,t=2*n+2;
+	Clear();
+	_rep(i,1,n){
+		Insert(i,i+n,1);
+		if(dp[i]==1)
+		Insert(s,i,1);
+		if(dp[i]==pos)
+		Insert(i+n,t,1);
+		_for(j,1,i){
+			if(a[j]<=a[i]&&dp[j]+1==dp[i])
+			Insert(j+n,i,1);
+		}
+	}
+	int ans=solver.Maxflow(s,t);
+	enter(ans);
+	Insert(s,1,Inf);Insert(1,1+n,Inf);
+	if(dp[n]==pos){
+		Insert(n,2*n,Inf);
+		Insert(2*n,t,Inf);
+	}
+	ans+=solver.Maxflow(s,t);
+	enter(ans);
+	return 0;
+}
+</code>
+</hidden>
+====  星际转移问题 ====
+[[https://www.luogu.com.cn/problem/P2754|洛谷p2754]]
+=== 题意 ===
+一共 $n$ 个点，$m$ 条船。每条船有一定容量，并且存在周期性环形航线。
+设船从航线中的一个点移动到另一个点花费 $1$ 个单位的时间，问最少要花多少时间才能把 $k$ 个人从起点运到终点。
+=== 题解 ===
+考虑按时间拆点，起点连接源点，终点连接汇点。
+每个位置的相邻时间点连接一条容量无限大的边，表示停留在该位置一个单位时间。
+然后枚举时间，根据时间和飞船航线加边，每次在残量网络上跑最大流并累加到总流量，总流量不小于 $k$ 时结束枚举。
+至于无解的判定，可以一开始用并查集维护一下连通性。
+<hidden 查看代码>
+<code cpp>
+const int MAXN=1e5+5,MAXM=2e5+5,Inf=0x7fffffff;
+struct Edge{
+	int to,cap,next;
+	Edge(int to=0,int cap=0,int next=0){
+		this->to=to;
+		this->cap=cap;
+		this->next=next;
+	}
+}edge[MAXM<<1];
+int head[MAXN],edge_cnt;
+void Clear(){mem(head,-1);edge_cnt=0;}//边从0开始编号
+void Insert(int u,int v,int c){
+	edge[edge_cnt]=Edge(v,c,head[u]);
+	head[u]=edge_cnt++;
+	edge[edge_cnt]=Edge(u,0,head[v]);
+	head[v]=edge_cnt++;
+}
+struct Dinic{
+	int s,t;
+	int pos[MAXN],vis[MAXN],dis[MAXN];
+	bool bfs(int k){
+		queue<int>q;
+		q.push(s);
+		vis[s]=k,dis[s]=0,pos[s]=head[s];
+		while(!q.empty()){
+			int u=q.front();q.pop();
+			for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){
+				int v=edge[i].to;
+				if(vis[v]!=k&&edge[i].cap){
+					vis[v]=k,dis[v]=dis[u]+1,pos[v]=head[v];
+					q.push(v);
+					if(v==t)
+					return true;
+				}
+			}
+		}
+		return false;
+	}
+	int dfs(int u,int max_flow){
+		if(u==t||!max_flow)
+		return max_flow;
+		int flow=0,temp_flow;
+		for(int &i=pos[u];~i;i=edge[i].next){
+			int v=edge[i].to;
+			if(dis[u]+1==dis[v]&&(temp_flow=dfs(v,min(max_flow,edge[i].cap)))){
+				edge[i].cap-=temp_flow;
+				edge[i^1].cap+=temp_flow;
+				flow+=temp_flow;
+				max_flow-=temp_flow;
+				if(!max_flow)
+				break;
+			}
+		}
+		return flow;
+	}
+	int Maxflow(int s,int t){
+		this->s=s;this->t=t;
+		int ans=0,k=0;
+		mem(vis,0);
+		while(bfs(++k))
+		ans+=dfs(s,Inf);
+		return ans;
+	}
+}solver;
+const int MAXS=25;
+vector<int> g[MAXS];
+int p[MAXS],f[MAXS],T[MAXS];
+int Find(int x){return x==p[x]?x:p[x]=Find(p[x]);}
+int main()
+{
+	Clear();
+	int n=read_int()+2,m=read_int(),k=read_int(),s=MAXN-2,t=MAXN-1,x,y;
+	_rep(i,1,n)
+	p[i]=i;
+	_for(i,0,m){
+		f[i]=read_int(),T[i]=read_int();
+		_for(j,0,T[i]){
+			x=read_int();
+			if(x==0)
+			x=n-1;
+			else if(x==-1)
+			x=n;
+			g[i].push_back(x);
+		}
+		_for(j,1,T[i]){
+			x=Find(g[i][j-1]),y=Find(g[i][j]);
+			if(x!=y)
+			p[x]=y;
+		}
+	}
+	if(Find(n-1)!=Find(n)){
+		puts("0");
+		return 0;
+	}
+	Insert(s,n-1,Inf);Insert(n,t,Inf);
+	int ans=0;
+	for(int flow=0;flow<k;ans++){
+		_for(i,1,n)
+		Insert(i+ans*n,i+(ans+1)*n,Inf);
+		Insert((ans+2)*n,(ans+1)*n,Inf);
+		_for(i,0,m)
+		Insert(g[i][ans%T[i]]+ans*n,g[i][(ans+1)%T[i]]+(ans+1)*n,f[i]);
+		flow+=solver.Maxflow(s,t);
+	}
+	enter(ans);
+	return 0;
+}
+</code>
+</hidden>
+====  餐巾计划问题 ====
+[[https://www.luogu.com.cn/problem/P1251|洛谷p1251]]
+=== 题意 ===
+一个餐厅第 $i$ 天需要 $r_i$ 条新餐巾，每条新餐巾用完后得到旧餐巾，一开始餐厅没有餐巾。
+买一条新餐巾费用为 $p$；快洗一条旧餐巾时间为 $m$ 天，费用为 $f$；慢洗一条旧餐巾时间为 $n$ 天，费用为 $s$。
+数据保证 $f\gt s,m\lt n$，问餐厅营业 $N$ 天的最小花费。
+=== 题解 ===
+把一天分成一天的开始和一天的结束，一天的开始需要提供 $r_i$ 条新餐巾，于是连一条容量为 $r_i$ 费用为 $0$ 的边到汇点。
+接下来考虑三种获取新餐巾的操作。首先可以买新餐巾，对应源点连一条容量为 $\inf$ 费用为 $p$ 的边到当天的开始。
+另外也可以通过清洗之前的旧餐巾获得。不妨假设如果旧餐巾洗完就会被立即使用，不然可以留到以后再洗。这样假设的目的是减少连边数量。
+于是第 $i$ 天的结束向第 $i+m$ 天的开始连一条容量为 $\inf$ 费用为 $f$ 的边，向第 $i+n$ 天的开始连一条容量为 $\inf$ 费用为 $s$ 的边。
+再考虑维护旧餐巾，旧餐巾可以通过两种方式获取。
+首先一天的结束将有 $r_i$ 条新餐巾变成旧餐巾，于是从源点连一条容量为 $r_i$ 费用为 $0$ 的边到一天的结束。
+另外旧餐巾也可以继承前一天剩下的未被清洗的旧餐巾，对应每天结束向第二天结束连一条容量为 $\inf$ 费用为 $0$ 的边。
+最后跑最小费用最大流即可。
+<hidden 查看代码>
+<code cpp>
+const int MAXN=5000,MAXM=15000,Inf=0x7fffffff;
+struct Edge{
+	int to,cap,w,next;
+	Edge(int to=0,int cap=0,int w=0,int next=0){
+		this->to=to;
+		this->cap=cap;
+		this->w=w;
+		this->next=next;
+	}
+}edge[MAXM<<1];
+int head[MAXN],edge_cnt;
+void Clear(){mem(head,-1);edge_cnt=0;}//边从0开始编号
+void Insert(int u,int v,int w,int c){
+	edge[edge_cnt]=Edge(v,c,w,head[u]);
+	head[u]=edge_cnt++;
+	edge[edge_cnt]=Edge(u,0,-w,head[v]);
+	head[v]=edge_cnt++;
+}
+struct Dinic{
+	int s,t;
+	int pos[MAXN],dis[MAXN];
+	bool inque[MAXN];
+	bool spfa(){
+		mem(dis,127/3);
+		queue<int>q;
+		q.push(s);
+		inque[s]=true,dis[s]=0,pos[s]=head[s];
+		while(!q.empty()){
+			int u=q.front();q.pop();
+			inque[u]=false;
+			for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){
+				int v=edge[i].to;
+				if(dis[u]+edge[i].w<dis[v]&&edge[i].cap){
+					dis[v]=dis[u]+edge[i].w,pos[v]=head[v];
+					if(!inque[v]){
+						q.push(v);
+						inque[v]=true;
+					}
+				}
+			}
+		}
+		return dis[t]!=dis[0];
+	}
+	int dfs(int u,int max_flow){
+		if(u==t||!max_flow)
+		return max_flow;
+		int flow=0,temp_flow;
+		inque[u]=true;
+		for(int &i=pos[u];~i;i=edge[i].next){
+			int v=edge[i].to;
+			if(!inque[v]&&dis[u]+edge[i].w==dis[v]&&(temp_flow=dfs(v,min(max_flow,edge[i].cap)))){
+				edge[i].cap-=temp_flow;
+				edge[i^1].cap+=temp_flow;
+				flow+=temp_flow;
+				max_flow-=temp_flow;
+				if(!max_flow)
+				break;
+			}
+		}
+		inque[u]=false;
+		return flow;
+	}
+	void MCMF(int s,int t,int &flow,LL &cost){
+		this->s=s;this->t=t;
+		cost=flow=0;
+		int temp_flow;
+		mem(inque,0);
+		while(spfa()){
+			temp_flow=dfs(s,Inf);
+			flow+=temp_flow;
+			cost+=1LL*temp_flow*dis[t];
+		}
+	}
+}solver;
+int a[MAXN];
+int main()
+{
+	Clear();
+	int n=read_int(),s=n<<1|1,t=s+1;
+	_rep(i,1,n)
+	a[i]=read_int();
+	int c1=read_int(),t2=read_int(),c2=read_int(),t3=read_int(),c3=read_int();
+	_rep(i,1,n){
+		Insert(s,i+n,0,a[i]);
+		Insert(i,t,0,a[i]);
+		Insert(s,i,c1,Inf);
+		if(i+t2<=n){
+			Insert(i+n,i+t2,c2,Inf);
+			if(i+t3<=n)
+			Insert(i+n,i+t3,c3,Inf);
+		}
+	}
+	_for(i,1,n)
+	Insert(i+n,i+n+1,0,Inf);
+	int flow;LL cost;
+	solver.MCMF(s,t,flow,cost);
+	enter(cost);
+	return 0;
+}
+</code>
+</hidden>

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