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--- 2020-2021:teams:legal_string:jxm2001:图论_3 [2020/07/22 11:36]
jxm2001
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 最后从黑格向有冲突的白格连一条边，容量待定。
-问题转化为最小割问题，事实上图不连通等价于没有从源点到黑格，黑格经过冲突边到白格，白格再到汇点的路径。
+问题转化为最小割问题。
+事实上网络流图不连通等价于没有从源点到黑格，再经过冲突边到白格，最后到汇点的路径。
 这又等价于不会同时选择冲突的黑格和白格，即最终的目的。
@@ 行 43: / 行 45: @@
 <hidden 查看代码>
 <code cpp>
-#include <iostream>
-#include <cstdio>
-#include <cstdlib>
-#include <algorithm>
-#include <string>
-#include <sstream>
-#include <cstring>
-#include <cctype>
-#include <cmath>
-#include <vector>
-#include <set>
-#include <map>
-#include <stack>
-#include <queue>
-#include <ctime>
-#include <cassert>
-#define _for(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
-#define _rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
-#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
-using namespace std;
-typedef long long LL;
-inline int read_int(){
-	int t=0;bool sign=false;char c=getchar();
-	while(!isdigit(c)){sign|=c=='-';c=getchar();}
-	while(isdigit(c)){t=(t<<1)+(t<<3)+(c&15);c=getchar();}
-	return sign?-t:t;
-}
-inline LL read_LL(){
-	LL t=0;bool sign=false;char c=getchar();
-	while(!isdigit(c)){sign|=c=='-';c=getchar();}
-	while(isdigit(c)){t=(t<<1)+(t<<3)+(c&15);c=getchar();}
-	return sign?-t:t;
-}
-inline char get_char(){
-	char c=getchar();
-	while(c==' '||c=='\n'||c=='\r')c=getchar();
-	return c;
-}
-inline void write(LL x){
-	register char c[21],len=0;
-	if(!x)return putchar('0'),void();
-	if(x<0)x=-x,putchar('-');
-	while(x)c[++len]=x%10,x/=10;
-	while(len)putchar(c[len--]+48);
-}
-inline void space(LL x){write(x),putchar(' ');}
-inline void enter(LL x){write(x),putchar('\n');}
 const int MAXS=105,MAXN=MAXS*MAXS,MAXM=6*MAXN,Inf=0x7fffffff;
 const int dir[][2]={{0,1},{0,-1},{1,0},{-1,0}};
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 <hidden 查看代码>
 <code cpp>
-#include <iostream>
-#include <cstdio>
-#include <cstdlib>
-#include <algorithm>
-#include <string>
-#include <sstream>
-#include <cstring>
-#include <cctype>
-#include <cmath>
-#include <vector>
-#include <set>
-#include <map>
-#include <stack>
-#include <queue>
-#include <ctime>
-#include <cassert>
-#define _for(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
-#define _rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
-#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
-using namespace std;
-typedef long long LL;
-inline int read_int(){
-	int t=0;bool sign=false;char c=getchar();
-	while(!isdigit(c)){sign|=c=='-';c=getchar();}
-	while(isdigit(c)){t=(t<<1)+(t<<3)+(c&15);c=getchar();}
-	return sign?-t:t;
-}
-inline LL read_LL(){
-	LL t=0;bool sign=false;char c=getchar();
-	while(!isdigit(c)){sign|=c=='-';c=getchar();}
-	while(isdigit(c)){t=(t<<1)+(t<<3)+(c&15);c=getchar();}
-	return sign?-t:t;
-}
-inline char get_char(){
-	char c=getchar();
-	while(c==' '||c=='\n'||c=='\r')c=getchar();
-	return c;
-}
-inline void write(LL x){
-	register char c[21],len=0;
-	if(!x)return putchar('0'),void();
-	if(x<0)x=-x,putchar('-');
-	while(x)c[++len]=x%10,x/=10;
-	while(len)putchar(c[len--]+48);
-}
-inline void space(LL x){write(x),putchar(' ');}
-inline void enter(LL x){write(x),putchar('\n');}
 const int MAXN=200,MAXM=3000,Inf=0x7fffffff;
 struct Edge{
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 所以直接求最小割即可，证毕。
-====  路线选择问题 ====
+====  最小路径覆盖问题 ====
+[[https://www.luogu.com.cn/problem/P2764|洛谷p2764]]
+=== 题意 ===
+给定一个 $\text{DAG}$，求最小的不相交路径集，使得每个点恰好属于其中一条路径。(允许路径长度为 $0$，此时路径仅覆盖一个点)
+=== 题解 ===
+先用 $n$ 条长度为 $0$ 的路径覆盖 $n$ 个点，然后考虑合并路径。
+将每个点拆成入点和出点，易知每个入点/出点最多被合并一次，否则有两条路径相交。
+从源点连一条容量为 $1$ 的边到每个入点，从每个出点连一条容量为 $1$ 的边到汇点，则可以满足上述的合并次数限制。
+最后，对每条边，从入点连一条容量为 $1$ 的边到出点，表示以入点结束的路径可与以出点开始的路径合并一次。
+最后需要合并次数最多，跑最大流即可。最小路径覆盖为节点数减去最大流。
+关于路径打印，只要在求完最大流后跑残量网络即可。
+<hidden 查看代码>
+<code cpp>
+const int MAXN=305,MAXM=18005,Inf=0x7fffffff;
+struct Edge{
+	int to,cap,next;
+	Edge(int to=0,int cap=0,int next=0){
+		this->to=to;
+		this->cap=cap;
+		this->next=next;
+	}
+}edge[MAXM<<1];
+int head[MAXN],edge_cnt;
+void Clear(){mem(head,-1);edge_cnt=0;}//边从0开始编号
+void Insert(int u,int v,int c){
+	edge[edge_cnt]=Edge(v,c,head[u]);
+	head[u]=edge_cnt++;
+	edge[edge_cnt]=Edge(u,0,head[v]);
+	head[v]=edge_cnt++;
+}
+struct Dinic{
+	int s,t;
+	int pos[MAXN],vis[MAXN],dis[MAXN];
+	bool bfs(int k){
+		queue<int>q;
+		q.push(s);
+		vis[s]=k,dis[s]=0,pos[s]=head[s];
+		while(!q.empty()){
+			int u=q.front();q.pop();
+			for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){
+				int v=edge[i].to;
+				if(vis[v]!=k&&edge[i].cap){
+					vis[v]=k,dis[v]=dis[u]+1,pos[v]=head[v];
+					q.push(v);
+					if(v==t)
+					return true;
+				}
+			}
+		}
+		return false;
+	}
+	int dfs(int u,int max_flow){
+		if(u==t||!max_flow)
+		return max_flow;
+		int flow=0,temp_flow;
+		for(int &i=pos[u];~i;i=edge[i].next){
+			int v=edge[i].to;
+			if(dis[u]+1==dis[v]&&(temp_flow=dfs(v,min(max_flow,edge[i].cap)))){
+				edge[i].cap-=temp_flow;
+				edge[i^1].cap+=temp_flow;
+				flow+=temp_flow;
+				max_flow-=temp_flow;
+				if(!max_flow)
+				break;
+			}
+		}
+		return flow;
+	}
+	int Maxflow(int s,int t){
+		this->s=s;this->t=t;
+		int ans=0,k=0;
+		mem(vis,0);
+		while(bfs(++k))
+		ans+=dfs(s,Inf);
+		return ans;
+	}
+}solver;
+int Next[MAXN],Pre[MAXN];
+int main()
+{
+	int n=read_int(),m=read_int(),u,v;
+	int s=2*n+1,t=2*n+2;
+	Clear();
+	_rep(i,1,n){
+		Insert(s,i,1);
+		Insert(i+n,t,1);
+	}
+	while(m--){
+		u=read_int(),v=read_int();
+		Insert(u,v+n,1);
+	}
+	int flow=solver.Maxflow(s,t);
+	_rep(u,1,n){
+		for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){
+			int v=edge[i].to;
+			if(v!=s&&edge[i].cap==0){
+				Next[u]=v-n;
+				Pre[v-n]=u;
+			}
+		}
+	}
+	_rep(i,1,n){
+		if(!Pre[i]){
+			int pos=i;
+			while(pos){
+				space(pos);
+				pos=Next[pos];
+			}
+			puts("");
+		}
+	}
+	enter(n-flow);
+	return 0;
+}
+</code>
+</hidden>
+=== 练习题 ===
+[[https://www.luogu.com.cn/problem/P2765|洛谷p2765]]
+== 题意 ==
+给定 $n$ 个栈，要求依次放入 $1,2,3,\cdots$
+要求同一个栈中每两个相邻元素之和是平方数。
+输出最多可以放入的数的个数以及任意一个方案。
+== 题解 ==
+把原图想像成一个 $\text{DAG}$，小数向可以与它相加构成平方数的大数连一条单向边，需要栈的个数等于最小路径覆盖。
+依次向图中加入每个数，每次加入一个数时先用长度为 $0$ 的路径将其覆盖，然后在残量网络中考虑路径合并。
+残量网络流量为 $0$ 表示路径合并失败，需要使用一个新的栈。如果最小路径覆盖不超过 $n$ 即可继续加数，否则终止循环。
+方案打印同最小路径覆盖。
+<hidden 查看代码>
+<code cpp>
+const int MAXN=1e5+5,MAXM=2e5+5,Inf=0x7fffffff;
+struct Edge{
+	int to,cap,next;
+	Edge(int to=0,int cap=0,int next=0){
+		this->to=to;
+		this->cap=cap;
+		this->next=next;
+	}
+}edge[MAXM<<1];
+int head[MAXN],edge_cnt;
+void Clear(){mem(head,-1);edge_cnt=0;}//边从0开始编号
+void Insert(int u,int v,int c){
+	edge[edge_cnt]=Edge(v,c,head[u]);
+	head[u]=edge_cnt++;
+	edge[edge_cnt]=Edge(u,0,head[v]);
+	head[v]=edge_cnt++;
+}
+struct Dinic{
+	int s,t;
+	int pos[MAXN],vis[MAXN],dis[MAXN];
+	bool bfs(int k){
+		queue<int>q;
+		q.push(s);
+		vis[s]=k,dis[s]=0,pos[s]=head[s];
+		while(!q.empty()){
+			int u=q.front();q.pop();
+			for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){
+				int v=edge[i].to;
+				if(vis[v]!=k&&edge[i].cap){
+					vis[v]=k,dis[v]=dis[u]+1,pos[v]=head[v];
+					q.push(v);
+					if(v==t)
+					return true;
+				}
+			}
+		}
+		return false;
+	}
+	int dfs(int u,int max_flow){
+		if(u==t||!max_flow)
+		return max_flow;
+		int flow=0,temp_flow;
+		for(int &i=pos[u];~i;i=edge[i].next){
+			int v=edge[i].to;
+			if(dis[u]+1==dis[v]&&(temp_flow=dfs(v,min(max_flow,edge[i].cap)))){
+				edge[i].cap-=temp_flow;
+				edge[i^1].cap+=temp_flow;
+				flow+=temp_flow;
+				max_flow-=temp_flow;
+				if(!max_flow)
+				break;
+			}
+		}
+		return flow;
+	}
+	int Maxflow(int s,int t){
+		this->s=s;this->t=t;
+		int ans=0,k=0;
+		mem(vis,0);
+		while(bfs(++k))
+		ans+=dfs(s,Inf);
+		return ans;
+	}
+}solver;
+const int MAXS=60;
+int Next[MAXN],Pre[MAXN],s=MAXN-2,t=MAXN-1;
+int main()
+{
+	Clear();
+	int n=read_int(),pos=0,num=0;
+	while(pos<=n){
+		++num;
+		Insert(s,num<<1,1);Insert(num<<1|1,t,1);
+		for(int i=sqrt(num)+1;i*i<2*num;i++)
+		Insert((i*i-num)<<1,num<<1|1,1);
+		if(solver.Maxflow(s,t)==0)
+		pos++;
+	}
+	enter(--num);
+	_rep(u,1,num){
+		for(int i=head[u<<1];~i;i=edge[i].next){
+			int v=edge[i].to;
+			if(v!=s&&edge[i].cap==0){
+				Next[u]=v>>1;
+				Pre[v>>1]=u;
+			}
+		}
+	}
+	_rep(i,1,num){
+		if(!Pre[i]){
+			int pos=i;
+			while(pos){
+				space(pos);
+				pos=Next[pos];
+			}
+			puts("");
+		}
+	}
+	return 0;
+}
+</code>
+</hidden>
+====  往返路线问题 ====
 [[https://www.luogu.com.cn/problem/P2770|洛谷p2770]]
@@ 行 431: / 行 594: @@
 <hidden 查看代码>
 <code cpp>
-#include <iostream>
-#include <cstdio>
-#include <cstdlib>
-#include <algorithm>
-#include <string>
-#include <sstream>
-#include <cstring>
-#include <cctype>
-#include <cmath>
-#include <vector>
-#include <set>
-#include <map>
-#include <stack>
-#include <queue>
-#include <ctime>
-#include <cassert>
-#define _for(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
-#define _rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
-#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
-using namespace std;
-typedef long long LL;
-inline int read_int(){
-	int t=0;bool sign=false;char c=getchar();
-	while(!isdigit(c)){sign|=c=='-';c=getchar();}
-	while(isdigit(c)){t=(t<<1)+(t<<3)+(c&15);c=getchar();}
-	return sign?-t:t;
-}
-inline LL read_LL(){
-	LL t=0;bool sign=false;char c=getchar();
-	while(!isdigit(c)){sign|=c=='-';c=getchar();}
-	while(isdigit(c)){t=(t<<1)+(t<<3)+(c&15);c=getchar();}
-	return sign?-t:t;
-}
-inline char get_char(){
-	char c=getchar();
-	while(c==' '||c=='\n'||c=='\r')c=getchar();
-	return c;
-}
-inline void write(LL x){
-	register char c[21],len=0;
-	if(!x)return putchar('0'),void();
-	if(x<0)x=-x,putchar('-');
-	while(x)c[++len]=x%10,x/=10;
-	while(len)putchar(c[len--]+48);
-}
-inline void space(LL x){write(x),putchar(' ');}
-inline void enter(LL x){write(x),putchar('\n');}
 const int MAXN=205,MAXM=6000,Inf=0x7fffffff;
 struct Edge{
@@ 行 618: / 行 734: @@
 <hidden 查看代码>
 <code cpp>
-#include <iostream>
-#include <cstdio>
-#include <cstdlib>
-#include <algorithm>
-#include <string>
-#include <sstream>
-#include <cstring>
-#include <cctype>
-#include <cmath>
-#include <vector>
-#include <set>
-#include <map>
-#include <stack>
-#include <queue>
-#include <ctime>
-#include <cassert>
-#define _for(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
-#define _rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
-#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
-using namespace std;
-typedef long long LL;
-inline int read_int(){
-	int t=0;bool sign=false;char c=getchar();
-	while(!isdigit(c)){sign|=c=='-';c=getchar();}
-	while(isdigit(c)){t=(t<<1)+(t<<3)+(c&15);c=getchar();}
-	return sign?-t:t;
-}
-inline LL read_LL(){
-	LL t=0;bool sign=false;char c=getchar();
-	while(!isdigit(c)){sign|=c=='-';c=getchar();}
-	while(isdigit(c)){t=(t<<1)+(t<<3)+(c&15);c=getchar();}
-	return sign?-t:t;
-}
-inline char get_char(){
-	char c=getchar();
-	while(c==' '||c=='\n'||c=='\r')c=getchar();
-	return c;
-}
-inline void write(LL x){
-	register char c[21],len=0;
-	if(!x)return putchar('0'),void();
-	if(x<0)x=-x,putchar('-');
-	while(x)c[++len]=x%10,x/=10;
-	while(len)putchar(c[len--]+48);
-}
-inline void space(LL x){write(x),putchar(' ');}
-inline void enter(LL x){write(x),putchar('\n');}
 const int MAXN=105,MAXM=6000;
 struct Edge{
@@ 行 783: / 行 852: @@
 <hidden 查看代码>
 <code cpp>
-#include <iostream>
-#include <cstdio>
-#include <cstdlib>
-#include <algorithm>
-#include <string>
-#include <sstream>
-#include <cstring>
-#include <cctype>
-#include <cmath>
-#include <vector>
-#include <set>
-#include <map>
-#include <stack>
-#include <queue>
-#include <ctime>
-#include <cassert>
-#define _for(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
-#define _rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
-#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
-using namespace std;
-typedef long long LL;
-inline int read_int(){
-	int t=0;bool sign=false;char c=getchar();
-	while(!isdigit(c)){sign|=c=='-';c=getchar();}
-	while(isdigit(c)){t=(t<<1)+(t<<3)+(c&15);c=getchar();}
-	return sign?-t:t;
-}
-inline LL read_LL(){
-	LL t=0;bool sign=false;char c=getchar();
-	while(!isdigit(c)){sign|=c=='-';c=getchar();}
-	while(isdigit(c)){t=(t<<1)+(t<<3)+(c&15);c=getchar();}
-	return sign?-t:t;
-}
-inline char get_char(){
-	char c=getchar();
-	while(c==' '||c=='\n'||c=='\r')c=getchar();
-	return c;
-}
-inline void write(LL x){
-	register char c[21],len=0;
-	if(!x)return putchar('0'),void();
-	if(x<0)x=-x,putchar('-');
-	while(x)c[++len]=x%10,x/=10;
-	while(len)putchar(c[len--]+48);
-}
-inline void space(LL x){write(x),putchar(' ');}
-inline void enter(LL x){write(x),putchar('\n');}
 const int MAXN=1005,MAXM=2005,Inf=0x7fffffff;
 struct Edge{
@@ 行 927: / 行 949: @@
 	solver.MCMF(s,t,flow,cost);
 	enter(-cost);
-	return 0;
-}
-</code>
-</hidden>
-====  最小路径覆盖问题 ====
-[[https://www.luogu.com.cn/problem/P2764|洛谷p2764]]
-=== 题意 ===
-给定一个 $\text{DAG}$，求最小的不相交路径集，使得每个点恰好属于其中一条路径。(允许路径长度为 $0$，此时路径仅覆盖一个点)
-=== 题解 ===
-先用 $n$ 条长度为 $0$ 的路径覆盖 $n$ 个点，然后考虑合并路径。
-将每个点拆成入点和出点，易知每个入点/出点最多被合并一次，否则有两条路径相交。
-从源点连一条容量为 $1$ 的边到每个入点，从每个出点连一条容量为 $1$ 的边到汇点，则可以满足上述的合并次数限制。
-最后，对每条边，从入点连一条容量为 $1$ 的边到出点，表示以入点结束的路径可与以出点开始的路径合并一次。
-最后需要合并次数最多，跑最大流即可。最小路径覆盖为节点数减去最大流。
-关于路径打印，只要在求完最大流后跑残量网络即可。
-<hidden 查看代码>
-<code cpp>
-#include <iostream>
-#include <cstdio>
-#include <cstdlib>
-#include <algorithm>
-#include <string>
-#include <sstream>
-#include <cstring>
-#include <cctype>
-#include <cmath>
-#include <vector>
-#include <set>
-#include <map>
-#include <stack>
-#include <queue>
-#include <ctime>
-#include <cassert>
-#define _for(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
-#define _rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
-#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
-using namespace std;
-typedef long long LL;
-inline int read_int(){
-	int t=0;bool sign=false;char c=getchar();
-	while(!isdigit(c)){sign|=c=='-';c=getchar();}
-	while(isdigit(c)){t=(t<<1)+(t<<3)+(c&15);c=getchar();}
-	return sign?-t:t;
-}
-inline LL read_LL(){
-	LL t=0;bool sign=false;char c=getchar();
-	while(!isdigit(c)){sign|=c=='-';c=getchar();}
-	while(isdigit(c)){t=(t<<1)+(t<<3)+(c&15);c=getchar();}
-	return sign?-t:t;
-}
-inline char get_char(){
-	char c=getchar();
-	while(c==' '||c=='\n'||c=='\r')c=getchar();
-	return c;
-}
-inline void write(LL x){
-	register char c[21],len=0;
-	if(!x)return putchar('0'),void();
-	if(x<0)x=-x,putchar('-');
-	while(x)c[++len]=x%10,x/=10;
-	while(len)putchar(c[len--]+48);
-}
-inline void space(LL x){write(x),putchar(' ');}
-inline void enter(LL x){write(x),putchar('\n');}
-const int MAXN=305,MAXM=18005,Inf=0x7fffffff;
-struct Edge{
-	int to,cap,next;
-	Edge(int to=0,int cap=0,int next=0){
-		this->to=to;
-		this->cap=cap;
-		this->next=next;
-	}
-}edge[MAXM<<1];
-int head[MAXN],edge_cnt;
-void Clear(){mem(head,-1);edge_cnt=0;}//边从0开始编号
-void Insert(int u,int v,int c){
-	edge[edge_cnt]=Edge(v,c,head[u]);
-	head[u]=edge_cnt++;
-	edge[edge_cnt]=Edge(u,0,head[v]);
-	head[v]=edge_cnt++;
-}
-struct Dinic{
-	int s,t;
-	int pos[MAXN],vis[MAXN],dis[MAXN];
-	bool bfs(int k){
-		queue<int>q;
-		q.push(s);
-		vis[s]=k,dis[s]=0,pos[s]=head[s];
-		while(!q.empty()){
-			int u=q.front();q.pop();
-			for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){
-				int v=edge[i].to;
-				if(vis[v]!=k&&edge[i].cap){
-					vis[v]=k,dis[v]=dis[u]+1,pos[v]=head[v];
-					q.push(v);
-					if(v==t)
-					return true;
-				}
-			}
-		}
-		return false;
-	}
-	int dfs(int u,int max_flow){
-		if(u==t||!max_flow)
-		return max_flow;
-		int flow=0,temp_flow;
-		for(int &i=pos[u];~i;i=edge[i].next){
-			int v=edge[i].to;
-			if(dis[u]+1==dis[v]&&(temp_flow=dfs(v,min(max_flow,edge[i].cap)))){
-				edge[i].cap-=temp_flow;
-				edge[i^1].cap+=temp_flow;
-				flow+=temp_flow;
-				max_flow-=temp_flow;
-				if(!max_flow)
-				break;
-			}
-		}
-		return flow;
-	}
-	int Maxflow(int s,int t){
-		this->s=s;this->t=t;
-		int ans=0,k=0;
-		mem(vis,0);
-		while(bfs(++k))
-		ans+=dfs(s,Inf);
-		return ans;
-	}
-}solver;
-int Next[MAXN],Pre[MAXN];
-int main()
-{
-	int n=read_int(),m=read_int(),u,v;
-	int s=2*n+1,t=2*n+2;
-	Clear();
-	_rep(i,1,n){
-		Insert(s,i,1);
-		Insert(i+n,t,1);
-	}
-	while(m--){
-		u=read_int(),v=read_int();
-		Insert(u,v+n,1);
-	}
-	int flow=solver.Maxflow(s,t);
-	_rep(u,1,n){
-		for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){
-			int v=edge[i].to;
-			if(v!=s&&edge[i].cap==0){
-				Next[u]=v-n;
-				Pre[v-n]=u;
-			}
-		}
-	}
-	_rep(i,1,n){
-		if(!Pre[i]){
-			int pos=i;
-			while(pos){
-				space(pos);
-				pos=Next[pos];
-			}
-			puts("");
-		}
-	}
-	enter(n-flow);
-	return 0;
-}
-</code>
-</hidden>
-=== 练习题 ===
-[[https://www.luogu.com.cn/problem/P2765|洛谷p2765]]
-== 题意 ==
-给定 $n$ 个栈，要求依次放入 $1,2,3,\cdots$
-要求同一个栈中每两个相邻元素之和是平方数。
-输出最多可以放入的数的个数以及任意一个方案。
-== 题解 ==
-把原图想像成一个 $\text{DAG}$，小数向可以与它相加构成平方数的大数连一条单向边，需要栈的个数等于最小路径覆盖。
-依次向图中加入每个数，每次加入一个数时先用长度为 $0$ 的路径将其覆盖，然后在残量网络中考虑路径合并。
-残量网络流量为 $0$ 表示路径合并失败，需要使用一个新的栈。如果最小路径覆盖不超过 $n$ 即可继续加数，否则终止循环。
-方案打印同最小路径覆盖。
-<hidden 查看代码>
-<code cpp>
-#include <iostream>
-#include <cstdio>
-#include <cstdlib>
-#include <algorithm>
-#include <string>
-#include <sstream>
-#include <cstring>
-#include <cctype>
-#include <cmath>
-#include <vector>
-#include <set>
-#include <map>
-#include <stack>
-#include <queue>
-#include <ctime>
-#include <cassert>
-#define _for(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
-#define _rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
-#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
-using namespace std;
-typedef long long LL;
-inline int read_int(){
-	int t=0;bool sign=false;char c=getchar();
-	while(!isdigit(c)){sign|=c=='-';c=getchar();}
-	while(isdigit(c)){t=(t<<1)+(t<<3)+(c&15);c=getchar();}
-	return sign?-t:t;
-}
-inline LL read_LL(){
-	LL t=0;bool sign=false;char c=getchar();
-	while(!isdigit(c)){sign|=c=='-';c=getchar();}
-	while(isdigit(c)){t=(t<<1)+(t<<3)+(c&15);c=getchar();}
-	return sign?-t:t;
-}
-inline char get_char(){
-	char c=getchar();
-	while(c==' '||c=='\n'||c=='\r')c=getchar();
-	return c;
-}
-inline void write(LL x){
-	register char c[21],len=0;
-	if(!x)return putchar('0'),void();
-	if(x<0)x=-x,putchar('-');
-	while(x)c[++len]=x%10,x/=10;
-	while(len)putchar(c[len--]+48);
-}
-inline void space(LL x){write(x),putchar(' ');}
-inline void enter(LL x){write(x),putchar('\n');}
-const int MAXN=1e5+5,MAXM=2e5+5,Inf=0x7fffffff;
-struct Edge{
-	int to,cap,next;
-	Edge(int to=0,int cap=0,int next=0){
-		this->to=to;
-		this->cap=cap;
-		this->next=next;
-	}
-}edge[MAXM<<1];
-int head[MAXN],edge_cnt;
-void Clear(){mem(head,-1);edge_cnt=0;}//边从0开始编号
-void Insert(int u,int v,int c){
-	edge[edge_cnt]=Edge(v,c,head[u]);
-	head[u]=edge_cnt++;
-	edge[edge_cnt]=Edge(u,0,head[v]);
-	head[v]=edge_cnt++;
-}
-struct Dinic{
-	int s,t;
-	int pos[MAXN],vis[MAXN],dis[MAXN];
-	bool bfs(int k){
-		queue<int>q;
-		q.push(s);
-		vis[s]=k,dis[s]=0,pos[s]=head[s];
-		while(!q.empty()){
-			int u=q.front();q.pop();
-			for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){
-				int v=edge[i].to;
-				if(vis[v]!=k&&edge[i].cap){
-					vis[v]=k,dis[v]=dis[u]+1,pos[v]=head[v];
-					q.push(v);
-					if(v==t)
-					return true;
-				}
-			}
-		}
-		return false;
-	}
-	int dfs(int u,int max_flow){
-		if(u==t||!max_flow)
-		return max_flow;
-		int flow=0,temp_flow;
-		for(int &i=pos[u];~i;i=edge[i].next){
-			int v=edge[i].to;
-			if(dis[u]+1==dis[v]&&(temp_flow=dfs(v,min(max_flow,edge[i].cap)))){
-				edge[i].cap-=temp_flow;
-				edge[i^1].cap+=temp_flow;
-				flow+=temp_flow;
-				max_flow-=temp_flow;
-				if(!max_flow)
-				break;
-			}
-		}
-		return flow;
-	}
-	int Maxflow(int s,int t){
-		this->s=s;this->t=t;
-		int ans=0,k=0;
-		mem(vis,0);
-		while(bfs(++k))
-		ans+=dfs(s,Inf);
-		return ans;
-	}
-}solver;
-const int MAXS=60;
-int Next[MAXN],Pre[MAXN],s=MAXN-2,t=MAXN-1;
-int main()
-{
-	Clear();
-	int n=read_int(),pos=0,num=0;
-	while(pos<=n){
-		++num;
-		Insert(s,num<<1,1);Insert(num<<1|1,t,1);
-		for(int i=sqrt(num)+1;i*i<2*num;i++)
-		Insert((i*i-num)<<1,num<<1|1,1);
-		if(solver.Maxflow(s,t)==0)
-		pos++;
-	}
-	enter(--num);
-	_rep(u,1,num){
-		for(int i=head[u<<1];~i;i=edge[i].next){
-			int v=edge[i].to;
-			if(v!=s&&edge[i].cap==0){
-				Next[u]=v>>1;
-				Pre[v>>1]=u;
-			}
-		}
-	}
-	_rep(i,1,num){
-		if(!Pre[i]){
-			int pos=i;
-			while(pos){
-				space(pos);
-				pos=Next[pos];
-			}
-			puts("");
-		}
-	}
 	return 0;
 }
@@ 行 1315: / 行 988: @@
 <hidden 查看代码>
 <code cpp>
-#include <iostream>
-#include <cstdio>
-#include <cstdlib>
-#include <algorithm>
-#include <string>
-#include <sstream>
-#include <cstring>
-#include <cctype>
-#include <cmath>
-#include <vector>
-#include <set>
-#include <map>
-#include <stack>
-#include <queue>
-#include <ctime>
-#include <cassert>
-#define _for(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
-#define _rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
-#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
-using namespace std;
-typedef long long LL;
-inline int read_int(){
-	int t=0;bool sign=false;char c=getchar();
-	while(!isdigit(c)){sign|=c=='-';c=getchar();}
-	while(isdigit(c)){t=(t<<1)+(t<<3)+(c&15);c=getchar();}
-	return sign?-t:t;
-}
-inline LL read_LL(){
-	LL t=0;bool sign=false;char c=getchar();
-	while(!isdigit(c)){sign|=c=='-';c=getchar();}
-	while(isdigit(c)){t=(t<<1)+(t<<3)+(c&15);c=getchar();}
-	return sign?-t:t;
-}
-inline char get_char(){
-	char c=getchar();
-	while(c==' '||c=='\n'||c=='\r')c=getchar();
-	return c;
-}
-inline void write(LL x){
-	register char c[21],len=0;
-	if(!x)return putchar('0'),void();
-	if(x<0)x=-x,putchar('-');
-	while(x)c[++len]=x%10,x/=10;
-	while(len)putchar(c[len--]+48);
-}
-inline void space(LL x){write(x),putchar(' ');}
-inline void enter(LL x){write(x),putchar('\n');}
 const int MAXN=1005,MAXM=5e5+5,Inf=0x7fffffff;
 struct Edge{
@@ 行 1501: / 行 1127: @@
 <hidden 查看代码>
 <code cpp>
-#include <iostream>
-#include <cstdio>
-#include <cstdlib>
-#include <algorithm>
-#include <string>
-#include <sstream>
-#include <cstring>
-#include <cctype>
-#include <cmath>
-#include <vector>
-#include <set>
-#include <map>
-#include <stack>
-#include <queue>
-#include <ctime>
-#include <cassert>
-#define _for(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
-#define _rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
-#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
-using namespace std;
-typedef long long LL;
-inline int read_int(){
-	int t=0;bool sign=false;char c=getchar();
-	while(!isdigit(c)){sign|=c=='-';c=getchar();}
-	while(isdigit(c)){t=(t<<1)+(t<<3)+(c&15);c=getchar();}
-	return sign?-t:t;
-}
-inline LL read_LL(){
-	LL t=0;bool sign=false;char c=getchar();
-	while(!isdigit(c)){sign|=c=='-';c=getchar();}
-	while(isdigit(c)){t=(t<<1)+(t<<3)+(c&15);c=getchar();}
-	return sign?-t:t;
-}
-inline char get_char(){
-	char c=getchar();
-	while(c==' '||c=='\n'||c=='\r')c=getchar();
-	return c;
-}
-inline void write(LL x){
-	register char c[21],len=0;
-	if(!x)return putchar('0'),void();
-	if(x<0)x=-x,putchar('-');
-	while(x)c[++len]=x%10,x/=10;
-	while(len)putchar(c[len--]+48);
-}
-inline void space(LL x){write(x),putchar(' ');}
-inline void enter(LL x){write(x),putchar('\n');}
 const int MAXN=1e5+5,MAXM=2e5+5,Inf=0x7fffffff;
 struct Edge{
@@ 行 1657: / 行 1236: @@
 </code>
 </hidden>
+====  餐巾计划问题 ====
+[[https://www.luogu.com.cn/problem/P1251|洛谷p1251]]
+=== 题意 ===
+一个餐厅第 $i$ 天需要 $r_i$ 条新餐巾，每条新餐巾用完后得到旧餐巾，一开始餐厅没有餐巾。
+买一条新餐巾费用为 $p$；快洗一条旧餐巾时间为 $m$ 天，费用为 $f$；慢洗一条旧餐巾时间为 $n$ 天，费用为 $s$。
+数据保证 $f\gt s,m\lt n$，问餐厅营业 $N$ 天的最小花费。
+=== 题解 ===
+把一天分成一天的开始和一天的结束，一天的开始需要提供 $r_i$ 条新餐巾，于是连一条容量为 $r_i$ 费用为 $0$ 的边到汇点。
+接下来考虑三种获取新餐巾的操作。首先可以买新餐巾，对应源点连一条容量为 $\inf$ 费用为 $p$ 的边到当天的开始。
+另外也可以通过清洗之前的旧餐巾获得。不妨假设如果旧餐巾洗完就会被立即使用，不然可以留到以后再洗。这样假设的目的是减少连边数量。
+于是第 $i$ 天的结束向第 $i+m$ 天的开始连一条容量为 $\inf$ 费用为 $f$ 的边，向第 $i+n$ 天的开始连一条容量为 $\inf$ 费用为 $s$ 的边。
+再考虑维护旧餐巾，旧餐巾可以通过两种方式获取。
+首先一天的结束将有 $r_i$ 条新餐巾变成旧餐巾，于是从源点连一条容量为 $r_i$ 费用为 $0$ 的边到一天的结束。
+另外旧餐巾也可以继承前一天剩下的未被清洗的旧餐巾，对应每天结束向第二天结束连一条容量为 $\inf$ 费用为 $0$ 的边。
+最后跑最小费用最大流即可。
+<hidden 查看代码>
+<code cpp>
+const int MAXN=5000,MAXM=15000,Inf=0x7fffffff;
+struct Edge{
+	int to,cap,w,next;
+	Edge(int to=0,int cap=0,int w=0,int next=0){
+		this->to=to;
+		this->cap=cap;
+		this->w=w;
+		this->next=next;
+	}
+}edge[MAXM<<1];
+int head[MAXN],edge_cnt;
+void Clear(){mem(head,-1);edge_cnt=0;}//边从0开始编号
+void Insert(int u,int v,int w,int c){
+	edge[edge_cnt]=Edge(v,c,w,head[u]);
+	head[u]=edge_cnt++;
+	edge[edge_cnt]=Edge(u,0,-w,head[v]);
+	head[v]=edge_cnt++;
+}
+struct Dinic{
+	int s,t;
+	int pos[MAXN],dis[MAXN];
+	bool inque[MAXN];
+	bool spfa(){
+		mem(dis,127/3);
+		queue<int>q;
+		q.push(s);
+		inque[s]=true,dis[s]=0,pos[s]=head[s];
+		while(!q.empty()){
+			int u=q.front();q.pop();
+			inque[u]=false;
+			for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){
+				int v=edge[i].to;
+				if(dis[u]+edge[i].w<dis[v]&&edge[i].cap){
+					dis[v]=dis[u]+edge[i].w,pos[v]=head[v];
+					if(!inque[v]){
+						q.push(v);
+						inque[v]=true;
+					}
+				}
+			}
+		}
+		return dis[t]!=dis[0];
+	}
+	int dfs(int u,int max_flow){
+		if(u==t||!max_flow)
+		return max_flow;
+		int flow=0,temp_flow;
+		inque[u]=true;
+		for(int &i=pos[u];~i;i=edge[i].next){
+			int v=edge[i].to;
+			if(!inque[v]&&dis[u]+edge[i].w==dis[v]&&(temp_flow=dfs(v,min(max_flow,edge[i].cap)))){
+				edge[i].cap-=temp_flow;
+				edge[i^1].cap+=temp_flow;
+				flow+=temp_flow;
+				max_flow-=temp_flow;
+				if(!max_flow)
+				break;
+			}
+		}
+		inque[u]=false;
+		return flow;
+	}
+	void MCMF(int s,int t,int &flow,LL &cost){
+		this->s=s;this->t=t;
+		cost=flow=0;
+		int temp_flow;
+		mem(inque,0);
+		while(spfa()){
+			temp_flow=dfs(s,Inf);
+			flow+=temp_flow;
+			cost+=1LL*temp_flow*dis[t];
+		}
+	}
+}solver;
+int a[MAXN];
+int main()
+{
+	Clear();
+	int n=read_int(),s=n<<1|1,t=s+1;
+	_rep(i,1,n)
+	a[i]=read_int();
+	int c1=read_int(),t2=read_int(),c2=read_int(),t3=read_int(),c3=read_int();
+	_rep(i,1,n){
+		Insert(s,i+n,0,a[i]);
+		Insert(i,t,0,a[i]);
+		Insert(s,i,c1,Inf);
+		if(i+t2<=n){
+			Insert(i+n,i+t2,c2,Inf);
+			if(i+t3<=n)
+			Insert(i+n,i+t3,c3,Inf);
+		}
+	}
+	_for(i,1,n)
+	Insert(i+n,i+n+1,0,Inf);
+	int flow;LL cost;
+	solver.MCMF(s,t,flow,cost);
+	enter(cost);
+	return 0;
+}
+</code>
+</hidden>

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