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--- 2020-2021:teams:legal_string:jxm2001:字符串_1 [2020/08/27 10:46]
jxm2001
+++ 2020-2021:teams:legal_string:jxm2001:字符串_1 [2020/08/27 11:38] (当前版本)
jxm2001
@@ 行 21: / 行 21: @@
 如果 $s_{i+1}\neq s_{f(i)+1}$，则只能考虑第二长的真前后缀，暂时记为 $j$。
-于是有 $s[1,j]=s[i-j+1,i]=s[f(i)-j+1,f(i)]$，发现 $j$ 是 $s[1,f(i)]$ 的真前后缀，于是有 $j=f(f(i))$。
+根据已知，有 $s[1,j]=s[i-j+1,i]=s[f(i)-j+1,f(i)]$。
+发现 $j$ 是 $s[1,f(i)]$ 的真前后缀，于是有 $j=f(f(i))$。
 不停尝试，直到 $j=0$ 即没有满足条件真前后缀，可以停止尝试。
@@ 行 324: / 行 326: @@
 考虑求出每个位置的 $z$ 函数，然后找到与前缀相同的在中间出现过的最长字串，有 $\text{pre}=\max_{1\lt i \lt n}(\min(z(i),n-i))$。
-接下来从大到小枚举每个与前缀相同的后缀，判定条件为 $i+z(i)-1=n$，如果该后缀长度小于 $\text{pre}$，则得到答案。时间复杂度 $O(|S|)$。
+接下来从大到小枚举每个与前缀相同的后缀，判定条件为 $i+z(i)-1=n$。如果该后缀长度小于 $\text{pre}$，则得到答案。时间复杂度 $O(|S|)$。
 <hidden 查看代码>
@@ 行 356: / 行 358: @@
 	else
 	_rep(i,1,ans)putchar(s[i]);
+	return 0;
+}
+</code>
+</hidden>
+== 题解 2 ==
+考虑求出每个位置的 $f$ 函数，同样找到与前缀相同的在中间出现过的最长字串，有 $\text{pre}=\max_{1\lt i \lt n}f(i)$。
+接下来从大到小枚举每个与前缀相同的后缀，初始为 $f(n)$，然后不断迭代 $f$ 即可。如果该后缀长度小于 $\text{pre}$，则得到答案。时间复杂度 $O(|S|)$。
+=== 习题二 ===
+[[https://www.luogu.com.cn/problem/CF432D|CF432D]]
+== 题意 ==
+给你一个长度为 $n$ 的字符串。定义“完美子串”既是它的前缀也是它的后缀，求“完美子串”的个数且统计这些子串的在字符串中出现的次数。
+== 题解 1 ==
+考虑求出每个位置的 $z$ 函数，统计每个前缀出现次数。关于 $z$ 函数统计前缀次数，如果 $s[l,r]=s[1,r-l+1]$，显然有 $s[l,r-1]=s[1,r-l]$。
+于是可以直接用桶维护 $z$ 函数，然后求后缀和。
+然后从大到小枚举每个与前缀相同的后缀并记录答案，判定条件为 $i+z(i)-1=n$。时间复杂度 $O(|S|)$。
+<hidden 查看代码>
+<code cpp>
+const int MAXN=1e5+5;
+namespace KMP{
+	int z[MAXN];
+	void get_z(char *s,int n){
+		z[1]=n;
+		_rep(i,2,n)z[i]=0;
+		for(int i=2,l=0,r=0;i<=n;i++){
+			if(i<=r)z[i]=min(z[i-l+1],r-i+1);
+			while(i+z[i]<=n&&s[z[i]+1]==s[i+z[i]])z[i]++;
+			if(i+z[i]-1>r)l=i,r=i+z[i]-1;
+		}
+	}
+}
+int c[MAXN];
+char s[MAXN];
+int main()
+{
+	gets(s+1);
+	int n=strlen(s+1);
+	KMP::get_z(s,n);
+	stack<int> s;
+	_rep(i,1,n){
+		if(i+KMP::z[i]-1==n)
+		s.push(KMP::z[i]);
+		c[KMP::z[i]]++;
+	}
+	for(int i=n;i;i--)c[i-1]+=c[i];
+	enter(s.size());
+	while(!s.empty()){
+		printf("%d %d\n",s.top(),c[s.top()]);
+		s.pop();
+	}
+	return 0;
+}
+</code>
+</hidden>
+== 题解 2 ==
+考虑求出每个位置的 $f$ 函数，统计每个前缀出现次数。
+然后从大到小枚举每个与前缀相同的后缀并记录答案，初始为 $n$，然后不断迭代 $f$ 即可。时间复杂度 $O(|S|)$。
+<hidden 查看代码>
+<code cpp>
+const int MAXN=1e5+5;
+namespace KMP{
+	int f[MAXN];
+	void get_f(char *s,int n){
+		int pos=0;
+		f[1]=0;
+		_rep(i,2,n){
+			while(pos&&s[i]!=s[pos+1])pos=f[pos];
+			if(s[i]==s[pos+1])pos++;
+			f[i]=pos;
+		}
+	}
+}
+char s[MAXN];
+int c[MAXN];
+int main()
+{
+	gets(s+1);
+	int n=strlen(s+1);
+	KMP::get_f(s,n);
+	_rep(i,1,n)c[KMP::f[i]]++;
+	stack<pair<int,int> >pt;
+	for(int i=n;i;i--)c[KMP::f[i]]+=c[i];
+	for(int i=n;i;i=KMP::f[i])
+	pt.push(make_pair(i,c[i]+1));
+	enter(pt.size());
+	while(!pt.empty()){
+		printf("%d %d\n",pt.top().first,pt.top().second);
+		pt.pop();
+	}
 	return 0;
 }
 </code>
 </hidden>

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