2020-2021:teams:legal_string:jxm2001:最小斯坦纳树
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2020-2021:teams:legal_string:jxm2001:最小斯坦纳树 [2021/01/23 22:02] jxm2001 |
2020-2021:teams:legal_string:jxm2001:最小斯坦纳树 [2021/01/23 22:13] (当前版本) jxm2001 |
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| 行 118: | 行 118: | ||
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| - | ===== 算法例题 ===== | + | ===== 算法习题 ===== |
| - | ==== 例题一 ==== | + | ==== 习题一 ==== |
| - | [[https://www.luogu.com.cn/problem/P6192]] | + | [[https://www.luogu.com.cn/problem/P6192|洛谷p6192]] |
| === 题意 === | === 题意 === | ||
| + | 给定一个图，图中有 $p$ 个关键点，每个关键点有一个类型 $c_i$，求一个边权最小的子图使得要求所有 $c_i$ 相同的关键点连通。 | ||
| + | |||
| + | === 题解 === | ||
| + | |||
| + | 先对所有关键点跑一遍最小斯坦纳树，接下来设 $g(s)$ 表示类型集合二进制表示为 $s$ 的所有关键点连通的最小费用。 | ||
| + | |||
| + | 设 $s'$ 表示所有 $1\le i\le p$ 且 $c_i\in s$ 构成的集合的二进制表示，则 $g(s)$ 的初始值为 $\min_{1\le u\le n}dp(s',u)$ | ||
| + | |||
| + | 接下来跑一遍 $g(s)\gets \min_{k\subset s}(g(k)+g(s\oplus k))$ 即可，时间复杂度等于最小斯坦纳树时间复杂度。 | ||
| + | |||
| + | <hidden 查看代码> | ||
| + | <code cpp> | ||
| + | const int MAXN=1005,MAXM=3005,MAXK=10,Inf=1e9; | ||
| + | int head[MAXN],edge_cnt,key_node[MAXK]; | ||
| + | struct Edge{ | ||
| + | int to,next,w; | ||
| + | }edge[MAXM<<1]; | ||
| + | void Insert(int u,int v,int w){ | ||
| + | edge[++edge_cnt]=Edge{v,head[u],w}; | ||
| + | head[u]=edge_cnt; | ||
| + | } | ||
| + | namespace SteinerTree{ | ||
| + | int n,k,dp[1<<MAXK][MAXN]; | ||
| + | bool inque[MAXN]; | ||
| + | void spfa(int S){ | ||
| + | queue<int>q; | ||
| + | _rep(i,1,n){ | ||
| + | if(dp[S][i]!=Inf){ | ||
| + | q.push(i); | ||
| + | inque[i]=true; | ||
| + | } | ||
| + | } | ||
| + | while(!q.empty()){ | ||
| + | int u=q.front();q.pop(); | ||
| + | inque[u]=false; | ||
| + | for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){ | ||
| + | int v=edge[i].to; | ||
| + | if(dp[S][u]+edge[i].w<dp[S][v]){ | ||
| + | dp[S][v]=dp[S][u]+edge[i].w; | ||
| + | if(!inque[v]){ | ||
| + | q.push(v); | ||
| + | inque[v]=true; | ||
| + | } | ||
| + | } | ||
| + | } | ||
| + | } | ||
| + | } | ||
| + | int build(int Node_cnt,int Keynode_cnt,int *key_node){ | ||
| + | n=Node_cnt,k=Keynode_cnt; | ||
| + | _for(i,1,1<<MAXK)_rep(j,1,n) | ||
| + | dp[i][j]=Inf; | ||
| + | _for(i,0,k) | ||
| + | dp[1<<i][key_node[i]]=0; | ||
| + | _for(i,0,1<<k){ | ||
| + | _rep(j,1,n){ | ||
| + | for(int k=i&(i-1);k;k=(k-1)&i) | ||
| + | dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j]+dp[i^k][j]); | ||
| + | } | ||
| + | spfa(i); | ||
| + | } | ||
| + | int ans=Inf; | ||
| + | _rep(i,1,n) | ||
| + | ans=min(ans,dp[(1<<k)-1][i]); | ||
| + | return ans; | ||
| + | } | ||
| + | } | ||
| + | vector<int> Node[MAXK]; | ||
| + | int g[1<<MAXK]; | ||
| + | int main() | ||
| + | { | ||
| + | int n=read_int(),m=read_int(),p=read_int(); | ||
| + | while(m--){ | ||
| + | int u=read_int(),v=read_int(),w=read_int(); | ||
| + | Insert(u,v,w);Insert(v,u,w); | ||
| + | } | ||
| + | _for(i,0,p){ | ||
| + | int c=read_int(),d=read_int(); | ||
| + | Node[c-1].push_back(i); | ||
| + | key_node[i]=d; | ||
| + | } | ||
| + | SteinerTree::build(n,p,key_node); | ||
| + | _for(i,1,1<<MAXK){ | ||
| + | int s=0; | ||
| + | _for(j,0,MAXK){ | ||
| + | if((i>>j)&1) _for(k,0,Node[j].size()) | ||
| + | s|=(1<<Node[j][k]); | ||
| + | } | ||
| + | g[i]=Inf; | ||
| + | _rep(j,1,n) | ||
| + | g[i]=min(g[i],SteinerTree::dp[s][j]); | ||
| + | } | ||
| + | _for(i,1,1<<MAXK){ | ||
| + | for(int j=i&(i-1);j;j=(j-1)&i) | ||
| + | g[i]=min(g[i],g[j]+g[i^j]); | ||
| + | } | ||
| + | enter(g[(1<<MAXK)-1]); | ||
| + | return 0; | ||
| + | } | ||
| + | </code> | ||
| + | </hidden> | ||
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