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--- 2020-2021:teams:legal_string:jxm2001:contest:2021_buaa_spring_training4 [2021/04/26 16:58]
jxm2001
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jxm2001
@@ 行 17: / 行 17: @@
 考虑用树状数组代替线段树，对于单点最值操作树状数组时间复杂度 $O(\log n)$，区间最值查询操作时间复杂度 $O(\log^2 n)$。
-ps. 如果是单点修改操作，树状数组时间复杂度变为 $O(\log^2 n)$。
+ps. 如果是单点修改操作和区间最值查询操作，那树状数组修改和查询时间复杂度均为 $O(\log^2 n)$，一般就不如线段树了。
-经检验，线段树套树状数组最快，时间复杂度 $O\left(n^2\log^2 n+m\log^3 n\right)$。
+经检验，线段树套树状数组最快，时间复杂度 $O\left(n^2\log^2 n+m\log^3 n\right)$，修改和查询操作复杂度比较平衡。
-另外二维树状数组次之，时间复杂度 $O\left(n^2\log^2 n+m\log^4 n\right)$，修改常数更小了但查询变慢了。
+二维树状数组次之，时间复杂度 $O\left(n^2\log^2 n+m\log^4 n\right)$，主要原因是虽然修改操作常数更小了但查询操作太慢了。
-<hidden 查看代码>
+<hidden 二维线段树版本>
 <code cpp>
+const int MAXN=2005,MAXM=2e5+5,MAXQ=MAXN*MAXN/2+MAXM;
+int n,lef[MAXN<<2],rig[MAXN<<2],s[MAXN<<2][MAXN<<2];
+void pushup1D(int rt,int k){
+	s[rt][k]=max(s[rt][k<<1],s[rt][k<<1|1]);
+}
+void pushup2D(int rt,int k){
+	s[rt][k]=max(s[rt<<1][k],s[rt<<1|1][k]);
+}
+void build2D(int k,int L,int R){
+	lef[k]=L,rig[k]=R;
+	if(L==R)
+	return;
+	int M=L+R>>1;
+	build2D(k<<1,L,M);
+	build2D(k<<1|1,M+1,R);
+}
+void update1D(int rt,int k,int cl,int cr,int pos,int v){
+	if(cl==cr){
+		if(lef[rt]==rig[rt])
+		s[rt][k]=v;
+		else
+		pushup2D(rt,k);
+		return;
+	}
+	int cm=cl+cr>>1;
+	if(pos<=cm)
+	update1D(rt,k<<1,cl,cm,pos,v);
+	else
+	update1D(rt,k<<1|1,cm+1,cr,pos,v);
+	pushup1D(rt,k);
+}
+void update2D(int k,int x,int y,int v){
+	if(lef[k]==rig[k])
+	return update1D(k,1,1,n,y,v);
+	int mid=lef[k]+rig[k]>>1;
+	if(x<=mid)
+	update2D(k<<1,x,y,v);
+	else
+	update2D(k<<1|1,x,y,v);
+	update1D(k,1,1,n,y,v);
+}
+int query1D(int rt,int k,int cl,int cr,int ql,int qr){
+	if(ql<=cl&&cr<=qr)
+	return s[rt][k];
+	int cm=cl+cr>>1;
+	if(qr<=cm)
+	return query1D(rt,k<<1,cl,cm,ql,qr);
+	else if(ql>cm)
+	return query1D(rt,k<<1|1,cm+1,cr,ql,qr);
+	else
+	return max(query1D(rt,k<<1,cl,cm,ql,qr),query1D(rt,k<<1|1,cm+1,cr,ql,qr));
+}
+int query2D(int k,int lx,int rx,int ly,int ry){
+	if(lx<=lef[k]&&rig[k]<=rx)
+	return query1D(k,1,1,n,ly,ry);
+	int mid=lef[k]+rig[k]>>1;
+	if(rx<=mid)
+	return query2D(k<<1,lx,rx,ly,ry);
+	else if(lx>mid)
+	return query2D(k<<1|1,lx,rx,ly,ry);
+	else
+	return max(query2D(k<<1,lx,rx,ly,ry),query2D(k<<1|1,lx,rx,ly,ry));
+}
+LL pre[MAXN],ans[MAXM],ss[MAXQ];
+struct Node{
+	LL val;
+	int lef,rig,idx;
+	bool operator < (const Node &b)const{
+		return val<b.val||(val==b.val&&idx<b.idx);
+	}
+}node[MAXQ];
+int main()
+{
+	n=read_int();
+	int m=read_int(),q=0,mv=0;
+	_rep(i,1,n)pre[i]=read_int();
+	_rep(i,1,n)pre[i]+=pre[i-1];
+	_rep(i,1,m){
+		int ql=read_int(),qr=read_int();
+		LL qv=read_LL();
+		node[q++]=Node{qv,ql,qr,i};
+	}
+	_rep(i,1,n)_for(j,0,i){
+		node[q++]=Node{pre[i]-pre[j],j+1,i,0};
+		ss[++mv]=pre[i]-pre[j];
+	}
+	sort(node,node+q);
+	sort(ss+1,ss+mv+1);
+	mv=unique(ss+1,ss+mv+1)-ss;
+	build2D(1,1,n);
+	_for(i,0,q){
+		if(node[i].idx==0)
+		update2D(1,node[i].lef,node[i].rig,lower_bound(ss+1,ss+mv,node[i].val)-ss);
+		else
+		ans[node[i].idx]=query2D(1,node[i].lef,node[i].rig,node[i].lef,node[i].rig);
+	}
+	_rep(i,1,m){
+		if(ans[i]==0)
+		puts("NONE");
+		else
+		enter(ss[ans[i]]);
+	}
+	return 0;
+}
+</code>
+</hidden>
+<hidden 线段树套树状数组版本>
+<code cpp>
+#define lowbit(x) ((x)&(-x))
+const int MAXN=2005,MAXM=2e5+5,MAXQ=MAXN*MAXN/2+MAXM;
+int n,lef[MAXN<<2],rig[MAXN<<2],a[MAXN<<2][MAXN],s[MAXN<<2][MAXN];
+void build2D(int k,int L,int R){
+	lef[k]=L,rig[k]=R;
+	if(L==R)
+	return;
+	int M=L+R>>1;
+	build2D(k<<1,L,M);
+	build2D(k<<1|1,M+1,R);
+}
+void update1D(int rt,int pos,int v){
+	a[rt][pos]=max(a[rt][pos],v);
+	while(pos<=n){
+		s[rt][pos]=max(s[rt][pos],v);
+		pos+=lowbit(pos);
+	}
+}
+void update2D(int k,int x,int y,int v){
+	if(lef[k]==rig[k])
+	return update1D(k,y,v);
+	int mid=lef[k]+rig[k]>>1;
+	if(x<=mid)
+	update2D(k<<1,x,y,v);
+	else
+	update2D(k<<1|1,x,y,v);
+	update1D(k,y,v);
+}
+int query1D(int rt,int l,int r){
+	int ans=0;
+	while(l<=r){
+		ans=max(ans,a[rt][r]);
+		for(--r;r-l>=lowbit(r);r-=lowbit(r))
+		ans=max(ans,s[rt][r]);
+	}
+	return ans;
+}
+int query2D(int k,int lx,int rx,int ly,int ry){
+	if(lx<=lef[k]&&rig[k]<=rx)
+	return query1D(k,ly,ry);
+	int mid=lef[k]+rig[k]>>1;
+	if(rx<=mid)
+	return query2D(k<<1,lx,rx,ly,ry);
+	else if(lx>mid)
+	return query2D(k<<1|1,lx,rx,ly,ry);
+	else
+	return max(query2D(k<<1,lx,rx,ly,ry),query2D(k<<1|1,lx,rx,ly,ry));
+}
+LL pre[MAXN],ans[MAXM],ss[MAXQ];
+struct Node{
+	LL val;
+	int lef,rig,idx;
+	bool operator < (const Node &b)const{
+		return val<b.val||(val==b.val&&idx<b.idx);
+	}
+}node[MAXQ];
+int main()
+{
+	n=read_int();
+	int m=read_int(),q=0,mv=0;
+	_rep(i,1,n)pre[i]=read_int();
+	_rep(i,1,n)pre[i]+=pre[i-1];
+	_rep(i,1,m){
+		int ql=read_int(),qr=read_int();
+		LL qv=read_LL();
+		node[q++]=Node{qv,ql,qr,i};
+	}
+	_rep(i,1,n)_for(j,0,i){
+		node[q++]=Node{pre[i]-pre[j],j+1,i,0};
+		ss[++mv]=pre[i]-pre[j];
+	}
+	sort(node,node+q);
+	sort(ss+1,ss+mv+1);
+	mv=unique(ss+1,ss+mv+1)-ss;
+	build2D(1,1,n);
+	_for(i,0,q){
+		if(node[i].idx==0)
+		update2D(1,node[i].lef,node[i].rig,lower_bound(ss+1,ss+mv,node[i].val)-ss);
+		else
+		ans[node[i].idx]=query2D(1,node[i].lef,node[i].rig,node[i].lef,node[i].rig);
+	}
+	_rep(i,1,m){
+		if(ans[i]==0)
+		puts("NONE");
+		else
+		enter(ss[ans[i]]);
+	}
+	return 0;
+}
+</code>
+</hidden>
+<hidden 二维树状数组版本>
+<code cpp>
+#define lowbit(x) ((x)&(-x))
+const int MAXN=2005,MAXM=2e5+5,MAXQ=MAXN*MAXN/2+MAXM;
+int n;
+struct Tree{
+	int a[MAXN],s[MAXN];
+	void update(int pos,int v){
+		a[pos]=max(a[pos],v);
+		while(pos<=n){
+			s[pos]=max(s[pos],v);
+			pos+=lowbit(pos);
+		}
+	}
+	int query(int l,int r){
+		int ans=0;
+		while(l<=r){
+			ans=max(ans,a[r]);
+			for(--r;r-l>=lowbit(r);r-=lowbit(r))
+			ans=max(ans,s[r]);
+		}
+		return ans;
+	}
+}tree1[MAXN],tree2[MAXN];
+void update2D(int x,int y,int v){
+	tree1[x].update(y,v);
+	while(x<=n){
+		tree2[x].update(y,v);
+		x+=lowbit(x);
+	}
+}
+int query2D(int lx,int rx,int ly,int ry){
+	int ans=0;
+	while(lx<=rx){
+		ans=max(ans,tree1[rx].query(ly,ry));
+		for(--rx;rx-lx>=lowbit(rx);rx-=lowbit(rx))
+		ans=max(ans,tree2[rx].query(ly,ry));
+	}
+	return ans;
+}
+LL pre[MAXN],ans[MAXM],ss[MAXQ];
+struct Node{
+	LL val;
+	int lef,rig,idx;
+	bool operator < (const Node &b)const{
+		return val<b.val||(val==b.val&&idx<b.idx);
+	}
+}node[MAXQ];
+int main()
+{
+	n=read_int();
+	int m=read_int(),q=0,mv=0;
+	_rep(i,1,n)pre[i]=read_int();
+	_rep(i,1,n)pre[i]+=pre[i-1];
+	_rep(i,1,m){
+		int ql=read_int(),qr=read_int();
+		LL qv=read_LL();
+		node[q++]=Node{qv,ql,qr,i};
+	}
+	_rep(i,1,n)_for(j,0,i){
+		node[q++]=Node{pre[i]-pre[j],j+1,i,0};
+		ss[++mv]=pre[i]-pre[j];
+	}
+	sort(node,node+q);
+	sort(ss+1,ss+mv+1);
+	mv=unique(ss+1,ss+mv+1)-ss;
+	_for(i,0,q){
+		if(node[i].idx==0)
+		update2D(node[i].lef,node[i].rig,lower_bound(ss+1,ss+mv,node[i].val)-ss);
+		else
+		ans[node[i].idx]=query2D(node[i].lef,node[i].rig,node[i].lef,node[i].rig);
+	}
+	_rep(i,1,m){
+		if(ans[i]==0)
+		puts("NONE");
+		else
+		enter(ss[ans[i]]);
+	}
+	return 0;
+}
+</code>
+</hidden>
+===== L. Two Buildings =====
+==== 题意 ====
+给定一个长度为 $n$ 的序列 $h$，询问 $\max((h_l+h_r)(r-l))$。
+==== 题解 ====
+考虑枚举右端点，维护左端点信息。不难发现，需要考虑的左端点一定满足单调递增，因为最优解一定不属于非递增的点。
+同时，需要考虑的右端点一定单调递减，因为最优解一定不属于非递减的点。
+通过推式子可以发现对应右端点对于左端点的决策满足单增性，于是考虑单调队列二分或分治 $O(n\log n)$ 处理。
+<hidden 单调队列二分版本>
+<code cpp>
+const int MAXN=1e6+5;
+int h[MAXN],a[MAXN],b[MAXN];
+struct Seg{
+	int lef,rig,idx;
+	Seg(int lef=0,int rig=0,int idx=0):lef(lef),rig(rig),idx(idx){}
+}que[MAXN];
+LL cal(int l,int r){
+	return 1LL*(h[a[r]]+h[l])*(a[r]-l);
+}
+int cutSeg(int lef,int rig,int idx1,int idx2){
+	int ans;
+	while(lef<=rig){
+		int mid=lef+rig>>1;
+		if(cal(idx1,mid)>cal(idx2,mid)){
+			ans=mid;
+			lef=mid+1;
+		}
+		else
+		rig=mid-1;
+	}
+	return ans;
+}
+int main()
+{
+	int n=read_int(),qcnt=0,mcnt=0;
+	_rep(i,1,n)h[i]=read_int();
+	_rep(i,1,n){
+		while(qcnt&&h[a[qcnt]]<=h[i])qcnt--;
+		a[++qcnt]=i;
+		if(mcnt==0||h[b[mcnt]]<h[i])
+		b[++mcnt]=i;
+	}
+	int mpos=1,head=1,tail=0;
+	que[++tail]=Seg(1,qcnt,b[mpos++]);
+	LL ans=0;
+	_rep(i,1,qcnt){
+		while(head<=tail&&que[head].rig<i)head++;
+		que[head].lef=i;
+		while(mpos<=mcnt&&b[mpos]<a[i]){
+			if(cal(b[mpos],qcnt)>cal(que[tail].idx,qcnt)){
+				while(head<=tail&&cal(que[tail].idx,que[tail].lef)<=cal(b[mpos],que[tail].lef))tail--;
+				if(head<=tail){
+					int p=cutSeg(que[tail].lef,que[tail].rig,que[tail].idx,b[mpos]);
+					que[tail].rig=p;
+					que[++tail]=Seg(p+1,qcnt,b[mpos]);
+				}
+				else
+				que[++tail]=Seg(i,qcnt,b[mpos]);
+			}
+			mpos++;
+		}
+		ans=max(ans,cal(que[head].idx,i));
+	}
+	enter(ans);
+	return 0;
+}
+</code>
+</hidden>
+<hidden 分治版本>
+<code cpp>
+const int MAXN=1e6+5;
+int h[MAXN],a[MAXN],b[MAXN];
+LL cal(int l,int r){
+	return 1LL*(h[a[r]]+h[b[l]])*(a[r]-b[l]);
+}
+LL solve(int ql,int qr,int sl,int sr){
+	if(ql>qr)return 0;
+	LL ans=-1;
+	int qmid=ql+qr>>1,smid;
+	_rep(i,sl,sr){
+		if(ans<cal(i,qmid)){
+			ans=cal(i,qmid);
+			smid=i;
+		}
+	}
+	return max(ans,max(solve(ql,qmid-1,sl,smid),solve(qmid+1,qr,smid,sr)));
+}
+int main()
+{
+	int n=read_int(),qcnt=0,mcnt=0;
+	_rep(i,1,n)h[i]=read_int();
+	_rep(i,1,n){
+		while(qcnt&&h[a[qcnt]]<=h[i])qcnt--;
+		a[++qcnt]=i;
+		if(mcnt==0||h[b[mcnt]]<h[i])
+		b[++mcnt]=i;
+	}
+	enter(solve(1,qcnt,1,mcnt));
+	return 0;
+}
 </code>
 </hidden>

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