差别

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--- 2020-2021:teams:legal_string:jxm2001:contest:arc_127 [2021/09/26 21:43]
jxm2001 [题解]
+++ 2020-2021:teams:legal_string:jxm2001:contest:arc_127 [2021/09/27 16:52] (当前版本)
jxm2001
@@ 行 25: / 行 25: @@
 其余的 $(S_0,T_1),(S_1,T_0),(S_1,T_1)$ 也有类似的解法。算上分治，总复杂度为 $O\left(n\log^2 V+2^V\right)$。
-需要注意的是，递归最后一层为 $k=-1$，即 $a_i\oplus b_i=a_j\oplus b_j$，此时有 $\min()$
+需要注意的是，递归最后一层为 $k=-1$，即 $a_i\oplus b_i=a_j\oplus b_j$，此时有 $\min(a_i\oplus a_j,b_i\oplus b_j)=a_i\oplus a_j=b_i\oplus b_j$，直接处理即可。
 <hidden 查看代码>
 <code cpp>
+const int MAXN = 2.5e5 + 5, MAXD = 18;
+int a[MAXN], b[MAXN], cnt[2];
+LL ans;
+void calc(vector<int> L, vector<int> R) {
+	_for(i, 0, MAXD) {
+		LL s = 0;
+		cnt[0] = cnt[1] = 0;
+		for (int v : L)
+			cnt[(v >> i) & 1]++;
+		for (int v : R)
+			s += cnt[!((v >> i) & 1)];
+		ans += (1LL << i) * s;
+	}
+}
+void solve(vector<pair<int, int>> c, int d) {
+	if (c.size() == 0)return;
+	if (d == -1) {
+		_for(i, 0, MAXD) {
+			LL s = 0;
+			cnt[0] = cnt[1] = 0;
+			for (pair<int, int> p : c)
+				cnt[(p.first >> i) & 1]++;
+			ans += (1LL << i) * cnt[0] * cnt[1];
+		}
+		return;
+	}
+	vector<pair<int, int>> L, R;
+	for (pair<int, int> p : c) {
+		if ((p.first ^ p.second) & (1 << d))
+			R.push_back(p);
+		else
+			L.push_back(p);
+	}
+	solve(L, d - 1);
+	solve(R, d - 1);
+	vector<int> temp[2][4];
+	for (pair<int, int> p : L) {
+		if (p.first & (1 << d)) {
+			temp[0][2].push_back(p.first);
+			temp[0][3].push_back(p.second);
+		}
+		else {
+			temp[0][0].push_back(p.first);
+			temp[0][1].push_back(p.second);
+		}
+	}
+	for (pair<int, int> p : R) {
+		if (p.first & (1 << d)) {
+			temp[1][2].push_back(p.first);
+			temp[1][1].push_back(p.second);
+		}
+		else {
+			temp[1][0].push_back(p.first);
+			temp[1][3].push_back(p.second);
+		}
+	}
+	_for(i, 0, 4)
+		calc(temp[0][i], temp[1][i]);
+}
+int main() {
+	int n = read_int();
+	_for(i, 0, n)
+		a[i] = read_int();
+	_for(i, 0, n)
+		b[i] = read_int();
+	vector<pair<int, int>> c;
+	_for(i, 0, n)
+		c.push_back(make_pair(a[i], b[i]));
+	solve(c, MAXD);
+	enter(ans);
+	return 0;
+}
+</code>
+</hidden>
+===== E - Priority Queue =====
+==== 题意 ====
+给定一个长度为 $n+m$ 的操作序列，有 $n$ 次 $\text{push}$ 操作和 $m$ 次 $\text{pop}$ 操作。
+操作过程中维护一个大根堆的优先队列，同时 $\text{push}$ 的所有元素恰好是 $1\sim n$ 的一个排列。问最后优先队列中的元素集合的种数。
+==== 题解 ====
+不难构造出令最后优先队列中剩余元素尽可能大的方案：第 $i$ 次 $\text{push}$ 元素 $i$。
+假定上述方案最后得到的优先队列的元素为 $a_1\lt a_2\lt \cdots a_{n-m}$，被删除的元素为 $b_1\lt b_2\lt \cdots b_m$。
+对任意一个方案，假定最后得到的优先队列的元素为 $x_1\lt x_2\lt \cdots x_{n-m}$，被删除的元素为 $y_1\lt y_2\lt \cdots y_m$。
+不难发现，一定有 $x_i\le a_i$。下面证明满足该条件的所有方案均为合法方案。
+考虑构造，第 $a_i$ 次 $\text{push}$ 元素 $x_i$，第 $b_i$ 次 $\text{push}$ 元素 $y_i$。
+于是问题等价与找到 $x_i\le a_i$ 的递增序列数，可以 $O(n^2)$ $\text{dp}$ 计算。
+<hidden 查看代码>
+<code cpp>
+const int MAXN=5005,mod=998244353;
+int st[MAXN],dp[2][MAXN];
+int main(){
+	int n=read_int(),m=read_int(),top=0,pos=0;
+	_for(i,0,n+m){
+		int x=read_int();
+		if(x==1)
+		st[++top]=++pos;
+		else
+		top--;
+	}
+	pos=0;
+	dp[0][0]=1;
+	_rep(i,1,top){
+		pos=!pos;
+		mem(dp[pos],0);
+		int s=dp[!pos][0];
+		_rep(j,1,st[i]){
+			dp[pos][j]=s;
+			s=(s+dp[!pos][j])%mod;
+		}
+	}
+	int ans=0;
+	_rep(i,1,n)
+	ans=(ans+dp[pos][i])%mod;
+	enter(ans);
+	return 0;
+}
 </code>
 </hidden>

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