2020-2021:teams:legal_string:jxm2001:other:结论_1
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2020-2021:teams:legal_string:jxm2001:other:结论_1 [2021/03/06 10:58] (当前版本) jxm2001 [1、树上最远距离] |
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| - | ====== 结论 ====== | + | ====== 结论 1 ====== |
| ===== 1、树上最远距离 ===== | ===== 1、树上最远距离 ===== | ||
| 行 17: | 行 17: | ||
| int dp[MAXN][3],hson[MAXN],dis[MAXN]; | int dp[MAXN][3],hson[MAXN],dis[MAXN]; | ||
| void dfs1(int u,int fa){ | void dfs1(int u,int fa){ | ||
| - | dp[u][0]=dp[u][1]=dp[u][2]; | + | dp[u][0]=dp[u][1]=dp[u][2]=hson[u]=0; |
| for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){ | for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){ | ||
| int v=edge[i].to; | int v=edge[i].to; | ||
| 行 83: | 行 83: | ||
| 注意路径定向时只定向缩点间的路径，缩点内部点可以互达，所以缩点内部路径不需要再次定向，于是也不会产生矛盾。 | 注意路径定向时只定向缩点间的路径，缩点内部点可以互达，所以缩点内部路径不需要再次定向，于是也不会产生矛盾。 | ||
| + | |||
| + | ===== 4、 平方和 ===== | ||
| + | |||
| + | $\sum_{i=1}^n i=m$ 的解只有 $(n,m)=(1,1),(24,70)$。 | ||
| + | |||
| + | ===== 5、 随机排序 ===== | ||
| + | |||
| + | 随机打乱一个长度为 $n$ 的循环，则循环的每个元素将等概率出现在长度为 $1\sim n$ 的循环中。 | ||
| + | |||
| + | 考虑某个元素出现在长度为 $i$ 的循环中的概率，有 | ||
| + | |||
| + | $$p=\frac{C_{n-1}^{i-1}(i-1)!(n-i)!}{n!}=\frac 1n$$ | ||
| + | |||
| + | 其中 $C_{n-1}^{i-1}$ 表示从其他 $n-1$ 个元素中选择 $i-1$ 个元素与该元素构成循环，$(i-1)!$ 表示长度为 $i$ 的循环的所有圆排列可能。 | ||
| + | |||
| + | $(n-i)！$ 表示满足该元素处于长度为 $i$ 的循环的条件后其他元素的排列可能，$n!$ 表示全部可能性。 | ||
| + | |||
| + | ===== 6、 组合数 ===== | ||
| + | |||
| + | $${n \choose m-1}+{n \choose m}={n+1 \choose m}\tag{1}$$ | ||
| + | |||
| + | 证明 | ||
| + | |||
| + | $$ | ||
| + | \begin{equation}\begin{split} | ||
| + | {n \choose m-1}+{n \choose m}&=\frac {n!}{(m-1)!(n-m+1)!}+\frac {n!}{m!(n-m)!}\\ | ||
| + | &=\frac {n!}{(m-1)!(n-m+1)!}+\frac {n!}{m!(n-m)!}\\ | ||
| + | &=\frac {(n+1)!}{m!(n-m+1)!}(\frac m{n+1}+\frac{n-m+1}{n+1})\\ | ||
| + | &=\frac {(n+1)!}{m!(n-m+1)!}={n+1 \choose m} | ||
| + | \end{split}\end{equation} | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | $$\sum_{i=0}^n {m+i-1 \choose i}={m+n \choose n}\tag{2}$$ | ||
| + | |||
| + | 证明 | ||
| + | |||
| + | $$ | ||
| + | \begin{equation}\begin{split} | ||
| + | \sum_{i=0}^n {m+i-1 \choose i}&={m-1 \choose 0}+{m \choose 1}+{m+1 \choose 2}+\cdots {m+n-1 \choose n}\\ | ||
| + | &={m \choose 0}+{m \choose 1}+{m+1 \choose 2}+\cdots {m+n-1 \choose n}\\ | ||
| + | &={m+1 \choose 1}+{m+1 \choose 2}+\cdots {m+n-1 \choose n}\\ | ||
| + | &={m+2 \choose 2}+\cdots {m+n-1 \choose n}\\ | ||
| + | &\cdots\\ | ||
| + | &={m+n \choose n} | ||
| + | \end{split}\end{equation} | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | $$F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{m+n \choose n}x^n=\frac 1{(1-x)^{m+1}}\tag{3}$$ | ||
| + | |||
| + | 考虑数学归纳法证明。 | ||
| + | |||
| + | $m=0$ 时 $F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{n \choose n}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac 1{(1-x)}$，证毕。 | ||
| + | |||
| + | $m\gt 0$ 时，有 | ||
| + | |||
| + | $$ | ||
| + | \begin{equation}\begin{split} | ||
| + | \frac 1{(1-x)^{m+1}}&=\frac 1{(1-x)^m}\frac 1{(1-x)}\\ | ||
| + | &=\left(\sum_{n=0}^{\infty}{m+n-1 \choose n}x^n\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\right)\\ | ||
| + | &=\sum_{n=0}^{\infty}x^n\sum_{i=0}^n{m+i-1 \choose i}\\ | ||
| + | &=\sum_{n=0}^{\infty}{m+n \choose n}x^n | ||
| + | \end{split}\end{equation} | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | |||
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