2020-2021:teams:legal_string:jxm2001:other:结论_2
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2020-2021:teams:legal_string:jxm2001:other:结论_2 [2021/03/06 11:42] jxm2001 |
2020-2021:teams:legal_string:jxm2001:other:结论_2 [2021/05/23 09:22] (当前版本) jxm2001 |
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| 行 62: | 行 62: | ||
| - 每次可以拿 $S=\{a_1,a_2\cdots a_k\}$ 个石头的游戏等价于每次可以拿 $[\min S,\max S]$ 个石头的游戏。 | - 每次可以拿 $S=\{a_1,a_2\cdots a_k\}$ 个石头的游戏等价于每次可以拿 $[\min S,\max S]$ 个石头的游戏。 | ||
| - 对任意 $a_i,a_j\in S$，若 $a_i+\min S\lt a_j$，则存在 $a_k\in S$，使得 $a_i\lt a_k\lt a_j$。 | - 对任意 $a_i,a_j\in S$，若 $a_i+\min S\lt a_j$，则存在 $a_k\in S$，使得 $a_i\lt a_k\lt a_j$。 | ||
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| + | 详细见 [[https://wiki.buaaacm.com/doku.php?id=2020-2021:teams:legal_string:jxm2001:contest:cf_feb21#multiple_games|证明]] | ||
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| + | ===== 7、线性表示 ===== | ||
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| + | 当 $a,b$ 互素时，$ax+by(x,y\ge 0)$ 不能表示的正数等价于所有形如 $ab-an-bm(n,m\ge 1)$ 的正数。 | ||
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| + | 一方面，考虑 $ab-a-b=a(b-1)-b=b(a-1)-a$ 显然不能表示为 $ax+by(x,y\ge 0)$。 | ||
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| + | 当 $k$ 不能表示为 $ax+by(x,y\ge 0)$ 时，显然 $k-a,k-b$ 均不能表示为 $ax+by(x,y\ge 0)$。 | ||
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| + | 于是所有形如 $ab-an-bm(n,m\ge 1)$ 的正数均不能表示为 $ax+by(x,y\ge 0)$。 | ||
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| + | 另一方面，考虑任意 $ax+by(x,y\ge 0)$ 不能表示的正数，这个数一定表示为 $ax'+by'$，调整 $x'$ 使得 $0\le x'\lt b$，于是有 $y'\lt 0$。 | ||
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| + | 于是有 $ax'+by'=ab+a(x'-b)+by'$，令 $n=b-x',m=-y'$，于是有 $n,m\ge 1$。 | ||
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| + | 故任意 $ax+by(x,y\ge 0)$ 不能表示的正数一定可以表示为 $ab-an-bm(n,m\ge 1)$。证毕。 | ||
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