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--- 2020-2021:teams:legal_string:jxm2001:other:错题集_4 [2021/01/14 20:31]
jxm2001
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jxm2001
@@ 行 17: / 行 17: @@
 则如果要与 $b$ 异或后二进制表示中 $1$ 的个数不超过 $3$，则至少四部分要有一个部分与 $b$ 相同。
-考虑将序列中的每个数分成四个，每个数投入对应位置二进制数的桶中，然后暴力查询，时间复杂度 $O\left(\cfrac {nm}{2^{16}}\log v\right)$。
+考虑将序列中的每个数分成四个，每个数投入对应位置二进制数的桶中，然后暴力查询，时间复杂度 $O\left(4\cfrac {nm}{2^{16}}\log v\right)$。
 <hidden 查看代码>
@@ 行 65: / 行 65: @@
 	}
 	enter(ans);
+	return 0;
+}
+</code>
+</hidden>
+===== 2、Sasha and Array =====
+[[http://codeforces.com/problemset/problem/719/E|链接]]
+==== 题意 ====
+给定一个长度为 $n$ 的序列 $A$，接下来两种操作，操作 $1$ 为区间加，操作 $2$ 为区间斐波那契和查询。
+其中，定义 $f(1)=f(2)=1,f(n)=f(n-1)+f(n-2)$，$[l,r]$ 区间斐波那契和为 $\sum_{i=l}^r f(a_i)$
+==== 题解 ====
+对每个结点，维护区间矩阵和 $\begin{pmatrix}a_n \\a_{n+1}\\ \end{pmatrix}$ 以及 $2\times 2$ 的区间懒标记。
+于是区间加 $v$ 转化为对区间 $[l,r]$ 的每个矩阵乘上 $\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 1\\ \end{pmatrix}^v$。时间复杂度 $O(m\log n\log v)$。
+<hidden 查看代码>
+<code cpp>
+const int MAXN=1e5+5,MAX_size=2,MAXS=35,Mod=1e9+7;
+struct Matrix{
+	int r,c,ele[MAX_size][MAX_size];
+	Matrix(int r=0,int c=0){
+		this->r=r,this->c=c;
+		mem(ele,0);
+	}
+	Matrix operator + (const Matrix &b)const{
+		Matrix C;
+		C.r=r,C.c=c;
+		_for(i,0,r)_for(j,0,c)
+		C.ele[i][j]=(ele[i][j]+b.ele[i][j])%Mod;
+		return C;
+	}
+	Matrix operator * (const Matrix &b)const{
+		Matrix C;
+		C.r=r,C.c=b.c;
+		_for(i,0,C.r)_for(j,0,C.c){
+			C.ele[i][j]=0;
+			_for(k,0,c)
+			C.ele[i][j]=(C.ele[i][j]+1LL*ele[i][k]*b.ele[k][j])%Mod;
+		}
+		return C;
+	}
+	bool operator != (const Matrix &b)const{
+		_for(i,0,r)_for(j,0,c)if(ele[i][j]!=b.ele[i][j])
+		return true;
+		return false;
+	}
+}A[MAXS],I,X1;
+Matrix quick_pow(int k){
+	Matrix ans=I;
+	int pos=0;
+	while(k){
+		if(k&1)ans=ans*A[pos];
+		pos++;
+		k>>=1;
+	}
+	return ans;
+}
+int a[MAXN],lef[MAXN<<2],rig[MAXN<<2];
+Matrix s[MAXN<<2],lazy[MAXN<<2];
+void push_up(int k){
+	s[k]=s[k<<1]+s[k<<1|1];
+}
+void push_tag(int k,Matrix lazy_tag){
+	s[k]=lazy_tag*s[k];
+	lazy[k]=lazy_tag*lazy[k];
+}
+void push_down(int k){
+	if(lazy[k]!=I){
+		push_tag(k<<1,lazy[k]);
+		push_tag(k<<1|1,lazy[k]);
+		lazy[k]=I;
+	}
+}
+void build(int k,int L,int R){
+	lef[k]=L,rig[k]=R,lazy[k]=I;
+	int M=L+R>>1;
+	if(L==R)
+	return s[k]=quick_pow(a[M]-1)*X1,void();
+	build(k<<1,L,M);
+	build(k<<1|1,M+1,R);
+	push_up(k);
+}
+void update(int k,int L,int R,int v){
+	if(L<=lef[k]&&rig[k]<=R)
+	return push_tag(k,quick_pow(v));
+	push_down(k);
+	int mid=lef[k]+rig[k]>>1;
+	if(mid>=L)
+	update(k<<1,L,R,v);
+	if(mid<R)
+	update(k<<1|1,L,R,v);
+	push_up(k);
+}
+Matrix query(int k,int L,int R){
+	if(L<=lef[k]&&rig[k]<=R)
+	return s[k];
+	push_down(k);
+	int mid=lef[k]+rig[k]>>1;
+	if(mid>=R)
+	return query(k<<1,L,R);
+	else if(mid<L)
+	return query(k<<1|1,L,R);
+	else
+	return query(k<<1,L,R)+query(k<<1|1,L,R);
+}
+int main()
+{
+	A[0]=Matrix(2,2);I=Matrix(2,2);X1=Matrix(2,1);
+	A[0].ele[0][1]=A[0].ele[1][0]=A[0].ele[1][1]=I.ele[0][0]=I.ele[1][1]=X1.ele[0][0]=X1.ele[1][0]=1;
+	_for(i,1,MAXS)
+	A[i]=A[i-1]*A[i-1];
+	int n=read_int(),m=read_int();
+	_rep(i,1,n)a[i]=read_int();
+	build(1,1,n);
+	while(m--){
+		int tp=read_int(),l=read_int(),r=read_int();
+		if(tp==1)update(1,l,r,read_int());
+		else
+		enter(query(1,l,r).ele[0][0]);
+	}
+	return 0;
+}
+</code>
+</hidden>
+===== 3、Count The Rectangles =====
+[[https://codeforces.com/contest/1194/problem/E|链接]]
+==== 题意 ====
+给定若干水平线和竖直线，问可以构成多少矩形(保证水平线之间两两不相交，竖直线之间两两不相交)
+==== 题解 ====
+考虑扫描线，枚举每一条水平线，然后考虑与该水平线相交的竖直线和纵坐标大于该线的水平线。
+扫描一遍 $y$ 轴，用树状树状维护此时与扫描线相交的竖直线的 $x$ 坐标。然后扫描到竖直线上端点则删去该 $x$ 坐标贡献。
+如果扫描到水平线则查询该水平线与当前枚举的水平线的 $x$ 轴公共区间上的竖直线个数 $t$，于是答案增加 $\frac {t(t-1)}2$。
+注意到对 $y$ 坐标相同的对象，应该先处理水平线然后处理竖直线。时间复杂度 $O(n^2\log v)$。
+<hidden 查看代码>
+<code cpp>
+const int Base=5e4+5,MAXV=Base<<1,MAXN=5005;
+#define lowbit(x) ((x)&(-x))
+int c[MAXV];
+void add(int pos,int v){
+	while(pos<MAXV){
+		c[pos]+=v;
+		pos+=lowbit(pos);
+	}
+}
+int query_pre(int pos){
+	int s=0;
+	while(pos){
+		s+=c[pos];
+		pos-=lowbit(pos);
+	}
+	return s;
+}
+int query(int lef,int rig){return query_pre(rig)-query_pre(lef-1);}
+struct seg{int lef,rig,y;};
+struct Node{
+	int type,lef,rig,y;
+	bool operator < (const Node &b)const{
+		if(y!=b.y)return y<b.y;
+		else
+		return type<b.type;
+	}
+	Node(){}
+	Node(int type,seg s){
+		this->type=type;
+		if(type==0)
+		lef=s.lef,rig=s.rig,y=s.y;
+		else
+		lef=rig=s.y,y=s.rig;
+	}
+};
+vector<seg> seg_r,seg_c;
+vector<Node> node;
+int main()
+{
+	int n=read_int();
+	_for(i,0,n){
+		int x1=read_int()+Base,y1=read_int()+Base,x2=read_int()+Base,y2=read_int()+Base;
+		if(x1>x2)swap(x1,x2);
+		if(y1>y2)swap(y1,y2);
+		if(y1==y2)
+		seg_r.push_back(seg{x1,x2,y1});
+		else
+		seg_c.push_back(seg{y1,y2,x1});
+	}
+	LL ans=0;
+	_for(i,0,seg_r.size()){
+		node.clear();
+		int lef=seg_r[i].lef,rig=seg_r[i].rig,y=seg_r[i].y;
+		_for(j,0,seg_r.size()){
+			if(seg_r[j].y>y)
+			node.push_back(Node(0,seg_r[j]));
+		}
+		_for(j,0,seg_c.size()){
+			if(lef>seg_c[j].y||rig<seg_c[j].y)continue;
+			if(seg_c[j].lef>y||seg_c[j].rig<y)continue;
+			add(seg_c[j].y,1);
+			node.push_back(Node(1,seg_c[j]));
+		}
+		sort(node.begin(),node.end());
+		_for(j,0,node.size()){
+			if(node[j].type==0){
+				int ql=min(max(node[j].lef,lef),rig),qr=min(max(node[j].rig,lef),rig);
+				int t=query(ql,qr);
+				ans+=1LL*t*(t-1)/2;
+			}
+			else
+			add(node[j].lef,-1);
+		}
+	}
+	enter(ans);
+	return 0;
+}
+</code>
+</hidden>
+===== 4、Median Sum =====
+[[https://atcoder.jp/contests/agc020/tasks/agc020_c|链接]]
+==== 题意 ====
+给定 $n$ 个数，定义集合的权值为该集合中所有数的和。求这 $n$ 个数的集合的所有子集的权值构成的集合中的中位数。注意这里所有集合指可重集。
+==== 题解 ====
+设所有数的和为 $S$，一个子集 $s_1$ 的权值为 $w$，则一定有一个该子集的补集 $s_2$ 的权值 $S-w$ 与之对应。
+于是中位数一定是不小于 $\frac S2$ 的第一个数。用 $\text{vis}$ 表示子集的可能值，对新加入的数 $a$，有 $vis_{k+a}=vis_{k+a}\text{ | }vis_a$。
+考虑 $\text{bitset}$ 暴力位压一下，时间复杂度 $O\left(\frac {nS}{w}\right)=O\left(\frac {n^2v}{w}\right)$。
+<hidden 查看代码>
+<code cpp>
+const int MAXN=2005;
+bitset<MAXN*MAXN> vis;
+int main()
+{
+	int n=read_int(),sum=0;
+	vis[0]=1;
+	_for(i,0,n){
+		int a=read_int();
+		sum+=a;
+		vis|=(vis<<a);
+	}
+	int pos=(sum+1)/2;
+	while(!vis[pos])pos++;
+	enter(pos);
+	return 0;
+}
+</code>
+</hidden>
+===== 5、GCD or MIN =====
+[[https://atcoder.jp/contests/abc191/tasks/abc191_f|链接]]
+==== 题意 ====
+给定 $n$ 个数，每次可以任选两个数进行 $\text{gcd}$ 或 $\min$ 操作得到一个新数再删去原来两个数。不断进行操作直到只剩下一个数。
+问剩下的数一共有多少种可能的取值。
+==== 题解 ====
+首先不难发现剩下的数一定不大于 $\min (a)$。再通过观察不难发现答案等于所有不超过 $\min (a)$ 的仅通过 $\text{gcd}$ 操作可以得到的数。
+首先 $\min (a)$ 一定可以得到，下面仅考虑小于 $\min (a)$ 的数 $v$。
+记 $a$ 中所有满足 $v\mid a_i$ 的数为 $b_1,b_2\cdots b_k$。不难发现 $v$ 可以得到当且仅当 $\text{gcd}(b_1,b_2\cdots b_k)=v$。
+于是可以遍历 $a_i$。对每个 $a_i$，遍历他们的所有因子 $d$，同时更新 $g(d)$。($d$ 从 $1$ 开始)
+如果 $g(d)$ 不存在则将 $g(d)$ 设为 $a_i$，否则将 $g(d)$ 设为 $\text{gcd}(g(d),a_i)$。
+最后答案为 $1+$ 所有满足 $g(d)==d$ 的 $d$ 的个数。时间复杂度 $O(n\sqrt v\log v)$。
+<hidden 查看代码>
+<code cpp>
+const int MAXN=2005,inf=1e9;
+map<int,int> g;
+int gcd(int a,int b){
+	while(b){
+		int t=b;
+		b=a%b;
+		a=t;
+	}
+	return a;
+}
+void update(int idx,int v){
+	if(g.find(idx)!=g.end())
+	g[idx]=gcd(g[idx],v);
+	else
+	g[idx]=v;
+}
+int a[MAXN];
+int main()
+{
+	int n=read_int(),minv=inf;
+	_for(i,0,n)a[i]=read_int(),minv=min(a[i],minv);
+	_for(i,0,n){
+		for(int j=1;j*j<=a[i]&&j<minv;j++){
+			if(a[i]%j==0){
+				update(j,a[i]);
+				if(a[i]/j<minv)
+				update(a[i]/j,a[i]);
+			}
+		}
+	}
+	int ans=1;
+	for(map<int,int>::iterator it=g.begin();it!=g.end();++it){
+		if(it->first==it->second)
+		ans++;
+	}
+	enter(ans);
+	return 0;
+}
+</code>
+</hidden>
+===== 6、Minimum Difference =====
+[[https://codeforces.com/contest/1476/problem/G|链接]]
+==== 题意 ====
+给定 $n$ 个位置，每个位置一个照明范围为 $p_i$ 的灯，如果该灯朝左，则照明区域为 $[i-p_i,i-1]$，如果该灯朝右，则照明区域为 $[i+1,i+p_i]$。
+判定是否可以给每个灯一个朝向，使得 $[1,n]$ 区域全被照明，同时输出合法方案。
+==== 题解 ====
+设 $\text{dp}(i)$ 表示前 $i$ 个灯的最大照明前缀。
+设 $\text{pre}(i)$ 如果为 $0$ 则表示第 $i$ 个灯没有约束，如果不为 $0$ 则表示第 $i$ 个灯强制朝左且第 $[\text{pre}(i)+1,i-1]$ 灯贪心朝右。
+如果第 $i$ 个灯强制朝左，则考虑与之前的照明前缀拼接，于是需要找到 $j$ 满足 $\text{dp}(j)+1\ge i-p_i$。如果存在 $j$，则 $\text{dp}(i)$ 至少为 $i-1$。
+然后 $j+1\sim i-1$ 的所有灯可以贪心考虑全部朝右，于是可以选取 $\max_{j+1\le k\le i-1} (i+p_i)$ 更新 $\text{dp}(i)$，可以 $\text{ST}$ 表维护。
+另外如果 $\text{pre}(j)=0$，即 $j$ 没有强制向左的约束，还可以用 $j+p_j$ 更新 $\text{dp}(i)$。
+不难发现满足条件的 $j$ 越小 $\text{dp}(i)$ 越大，于是权值线段树维护满足条件的最小下标即可。
+如果第 $i$ 个灯朝右，首先 $\text{dp}(i)$ 至少为 $\text{dp}(i-1)$。如果 $\text{dp}(i-1)\ge i$，则 $\text{dp}(i)\gets i+p_i$。
+最后，如果强制朝左的收益大于朝右的收益，则强制朝左且 $\text{pre}(i)=j$，否则贪心朝右且 $\text{pre}(i)=0$。
+输出方案所有灯贪心朝右，遇到 $\text{pre}(pos)\neq 0$ 则把该灯改成朝左且跳转到 $\text{pre}(pos)$ 即可。
+<hidden 查看代码>
+<code cpp>
+const int MAXN=3e5+5,MAXM=20,inf=1e9;
+namespace ST{
+	int d[MAXN][MAXM],lg2[MAXN];
+	void build(int *a,int n){
+		lg2[1]=0;
+		_rep(i,2,n)lg2[i]=lg2[i>>1]+1;
+		_rep(i,1,n)d[i][0]=a[i];
+		for(int j=1;(1<<j)<=n;j++){
+			_rep(i,1,n-(1<<j)+1)
+			d[i][j]=max(d[i][j-1],d[i+(1<<(j-1))][j-1]);
+		}
+	}
+	int query(int lef,int rig){
+		int len=rig-lef+1;
+		return max(d[lef][lg2[len]],d[rig-(1<<lg2[len])+1][lg2[len]]);
+	}
+};
+int p[MAXN],a[MAXN],dp[MAXN],pre[MAXN];
+char ans[MAXN];
+int lef[MAXN<<2],rig[MAXN<<2],s[MAXN<<2];
+void build(int k,int L,int R){
+	lef[k]=L,rig[k]=R,s[k]=inf;
+	if(L==R)return;
+	int M=L+R>>1;
+	build(k<<1,L,M);
+	build(k<<1|1,M+1,R);
+}
+void update(int k,int pos,int v){
+	s[k]=min(s[k],v);
+	if(lef[k]==rig[k])return;
+	int mid=lef[k]+rig[k]>>1;
+	if(mid>=pos)update(k<<1,pos,v);
+	else update(k<<1|1,pos,v);
+}
+int query(int k,int L,int R){
+	if(L<=lef[k]&&rig[k]<=R)return s[k];
+	int mid=lef[k]+rig[k]>>1;
+	if(mid>=R)return query(k<<1,L,R);
+	else if(mid<L)return query(k<<1|1,L,R);
+	return min(query(k<<1,L,R),query(k<<1|1,L,R));
+}
+int main()
+{
+	int T=read_int();
+	while(T--){
+		int n=read_int();
+		_rep(i,1,n)p[i]=read_int(),a[i]=min(p[i]+i,n);
+		ST::build(a,n);
+		build(1,0,n);
+		_rep(i,1,n){
+			int last=query(1,max(0,i-p[i]-1),n);
+			if(last==inf){
+				dp[i]=dp[i-1];
+				pre[i]=0;
+			}
+			else{
+				int vl=i-1,vr=dp[i-1];
+				if(!pre[last])vl=max(vl,ST::query(last,i-1));
+				else if(last+1<=i-1)vl=max(vl,ST::query(last+1,i-1));
+				if(dp[i-1]>=i)vr=max(vr,a[i]);
+				if(vl<=vr){
+					dp[i]=vr;
+					pre[i]=0;
+				}
+				else{
+					dp[i]=vl;
+					pre[i]=last;
+				}
+			}
+			update(1,dp[i],i);
+		}
+		if(dp[n]<n)puts("NO");
+		else{
+			puts("YES");
+			_rep(i,1,n)ans[i]='R';
+			ans[n+1]='\0';
+			int pos=n;
+			while(pos){
+				if(pre[pos])ans[pos]='L',pos=pre[pos];
+				else
+				pos--;
+			}
+			puts(ans+1);
+		}
+	}
+	return 0;
+}
+</code>
+</hidden>
+===== 7、Make Them Similar =====
+[[https://codeforces.com/problemset/problem/1257/F|链接]]
+==== 题意 ====
+给定一个长度为 $n$ 的序列 $a_1,a_2\cdots a_n$，要求找到 $x$ 使得 $a_1\oplus x,a_2\oplus x\cdots a_n\oplus x$ 中的二进制表示的 $1$ 一样多。
+其中 $n\le 100,a_i\lt 2^{30}$。
+==== 题解 ====
+暴力枚举 $x$ 的低 $15$ 位和高 $15$ 位。假设当前枚举低 $15$ 位，且当前枚举的数为 $v$，记 $b_i$ 为 $a_i\oplus v$ 的二进制表示中的 $1$ 的个数。
+将 $b_2-b_1,b_3-b_1\cdots b_n-b_1$ 所代表的序列插入字典树。然后枚举高位时查看有无刚好可以构成相反数的序列即可。
+时间复杂度 $O(n\sqrt v)$。
+<hidden 查看代码>
+<code cpp>
+const int MAXN=105,MAXL=15,MAXV=1<<MAXL,MAXS=MAXN*MAXV;
+int n,a[MAXN],b[MAXN];
+int cal(int v){
+	int cnt=0;
+	while(v){
+		cnt+=v&1;
+		v>>=1;
+	}
+	return cnt;
+}
+int ch[MAXS][MAXL<<1|1],val[MAXS],cnt;
+void Insert(int v){
+	int pos=0;
+	_for(i,1,n){
+		if(!ch[pos][b[i]])
+		ch[pos][b[i]]=++cnt;
+		pos=ch[pos][b[i]];
+	}
+	val[pos]=v;
+}
+void query(int v){
+	int pos=0;
+	_for(i,1,n){
+		if(!ch[pos][b[i]])return;
+		pos=ch[pos][b[i]];
+	}
+	enter((v<<15)|val[pos]);
+	exit(0);
+}
+int main()
+{
+	n=read_int();
+	_for(i,0,n)a[i]=read_int();
+	_for(i,0,MAXV){
+		_for(j,0,n)
+		b[j]=cal((a[j]&(MAXV-1))^i);
+		_for(j,1,n)
+		b[j]=b[j]-b[0]+MAXL;
+		Insert(i);
+	}
+	_for(i,0,MAXV){
+		_for(j,0,n)
+		b[j]=cal((a[j]>>15)^i);
+		_for(j,1,n)
+		b[j]=b[0]-b[j]+MAXL;
+		query(i);
+	}
+	puts("-1");
 	return 0;
 }
 </code>
 </hidden>

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