2020-2021:teams:mian:hdu_training:2016_multi-university_training_contest_1
| 两侧同时换到之前的修订记录 前一修订版 后一修订版 | 前一修订版 | ||
|
2020-2021:teams:mian:hdu_training:2016_multi-university_training_contest_1 [2020/05/24 22:14] grapelemonade |
2020-2021:teams:mian:hdu_training:2016_multi-university_training_contest_1 [2020/07/05 11:33] (当前版本) grapelemonade ↷ 页面2020-2021:teams:mian:hdutraining:2016_multi-university_training_contest_1被移动至2020-2021:teams:mian:hdu_training:2016_multi-university_training_contest_1 |
||
|---|---|---|---|
| 行 9: | 行 9: | ||
| Practice available on [[http://acm.hdu.edu.cn/search.php?field=problem&key=2016+Multi-University+Training+Contest+1&source=1&searchmode=sources|HDOJ]]. | Practice available on [[http://acm.hdu.edu.cn/search.php?field=problem&key=2016+Multi-University+Training+Contest+1&source=1&searchmode=sources|HDOJ]]. | ||
| - | |||
| - | * [[#results|Results]] | ||
| - | * [[#summary|Summary]] | ||
| - | * [[#virtual-participation|Virtual Participation]] | ||
| - | * [[#submit-distribution-in-members|Submit Distribution in Members]] | ||
| - | * [[#solutions|Solutions]] | ||
| - | * [[#a-abandoned-country|A: Abandoned country]] | ||
| - | * [[#%e9%a2%98%e6%84%8f|题意]] | ||
| - | * [[#%e8%a7%a3%e6%b3%95|解法]] | ||
| - | * [[#b-chess|B: Chess]] | ||
| - | * [[#%e9%a2%98%e6%84%8f-1|题意]] | ||
| - | * [[#%e8%a7%a3%e6%b3%95-1|解法]] | ||
| - | * [[#c-game|C: Game]] | ||
| - | * [[#%e9%a2%98%e6%84%8f-2|题意]] | ||
| - | * [[#%e8%a7%a3%e6%b3%95-2|解法]] | ||
| - | * [[#d-gcd|D: GCD]] | ||
| - | * [[#%e9%a2%98%e6%84%8f-3|题意]] | ||
| - | * [[#%e8%a7%a3%e6%b3%95-3|解法]] | ||
| - | * [[#e-necklace|E: Necklace]] | ||
| - | * [[#%e9%a2%98%e6%84%8f-4|题意]] | ||
| - | * [[#%e8%a7%a3%e6%b3%95-4|解法]] | ||
| - | * [[#f-powmod|F: PowMod]] | ||
| - | * [[#%e9%a2%98%e6%84%8f-5|题意]] | ||
| - | * [[#%e8%a7%a3%e6%b3%95-5|解法]] | ||
| - | * [[#g-rigid-frameworks|G: Rigid Frameworks]] | ||
| - | * [[#%e9%a2%98%e6%84%8f-6|题意]] | ||
| - | * [[#%e8%a7%a3%e6%b3%95-6|解法]] | ||
| - | * [[#h-shell-necklace|H: Shell Necklace]] | ||
| - | * [[#%e9%a2%98%e6%84%8f-7|题意]] | ||
| - | * [[#%e8%a7%a3%e6%b3%95-7|解法]] | ||
| - | * [[#i-solid-dominoes-tilings|I: Solid Dominoes Tilings]] | ||
| - | * [[#%e9%a2%98%e6%84%8f-8|题意]] | ||
| - | * [[#%e8%a7%a3%e6%b3%95-8|解法]] | ||
| - | * [[#j-subway|J: Subway]] | ||
| - | * [[#%e9%a2%98%e6%84%8f-9|题意]] | ||
| - | * [[#%e8%a7%a3%e6%b3%95-9|解法]] | ||
| - | * [[#k-tetrahedron|K: tetrahedron]] | ||
| - | * [[#%e9%a2%98%e6%84%8f-10|题意]] | ||
| - | * [[#%e8%a7%a3%e6%b3%95-10|解法]] | ||
| - | * [[#timeline|Timeline]] | ||
| - | * [[#reflections|Reflections]] | ||
| - | |||
| - | |||
| - | ---- | ||
| ====== Results ====== | ====== Results ====== | ||
| 行 60: | 行 16: | ||
| * Solved 6 out of 11 problems | * Solved 6 out of 11 problems | ||
| * Rank 27/532 in official records | * Rank 27/532 in official records | ||
| - | * Solved 6 out of 11 afterwards | + | * Solved 8 out of 11 afterwards |
| ===== Virtual Participation ===== | ===== Virtual Participation ===== | ||
| 行 213: | 行 169: | ||
| ===== C: Game ===== | ===== C: Game ===== | ||
| + | * Idea by **//Gary//** | ||
| + | * Debug by **//Gary,Pantw//** | ||
| + | * Code by **//Gary//** | ||
| ==== 题意 ==== | ==== 题意 ==== | ||
| + | |||
| + | $n\times m$方格中有一些守卫，保证一个守卫同行同列以及以它为中心的九宫格内没有其他守卫，任意选方格中没有守卫的两点，求两点最短距离的期望 | ||
| + | |||
| + | $1\le n,m\le1000$ | ||
| ==== 解法 ==== | ==== 解法 ==== | ||
| + | 简单画图可以发现没有守卫时的最短距离即为曼哈顿距离，当被守卫隔开时最短距离即为曼哈顿距离+2 | ||
| + | |||
| + | 因而考虑将两种情况分开求解，先求的所有点对的曼哈顿距离，再求出隔开的点对额外的贡献，$\rm Ans=\frac{\sum dis}{\sum_{x,y\in没有守卫的点}1}$ | ||
| + | |||
| + | 曼哈顿距离可以通过遍历每行和每列来求解，如对于第i列，经过第i列的点对为$sum_{i左侧}\times sum_{i右侧}$，每一个点对都会对曼哈顿距离贡献1，求前缀和后扫描每行每列即可 | ||
| + | |||
| + | 对于守卫隔开的贡献，发现只有连续单调的守卫两边的点对会造成贡献，因为守卫个数极少，对每个守卫$O(n)$扫描来维护最长的连续单调守卫造成的贡献即可 | ||
| + | |||
| + | {{:2020-2021:teams:mian:hdutraining:4.png?400|}} | ||
| ===== D: GCD ===== | ===== D: GCD ===== | ||
| + | |||
| + | * Idea by **//Pantw//** | ||
| + | * Code by **//Withinlover//** | ||
| ==== 题意 ==== | ==== 题意 ==== | ||
| + | |||
| + | 给定一个数列，每次查询一个区间 $[l, r]$。输出区间的最大公约数 $x$，同时输出满足最大公约数为 $x$ 的区间 $[l', r']$ 的个数。 | ||
| ==== 解法 ==== | ==== 解法 ==== | ||
| + | |||
| + | 区间公约数查询是裸的ST表。预处理后直接回答。 | ||
| + | |||
| + | 针对第二问，可以发现最大公约数的取值不会太多。且固定 $l$ 时，$\gcd(a_l,a_{l+1},\dots,a_r)$单调递减，可以二分确定出每一次 $\gcd$ 变化的位置，然后用一个 $map$ 存一下。就做完了。 | ||
| + | |||
| + | 简易证明：考虑将 $a_l$ 质因数分解，易知当 $r$ 变化时， $\gcd$ 的值最多会下降其质因数个数次。 | ||
| ===== E: Necklace ===== | ===== E: Necklace ===== | ||
| + | |||
| + | * Idea by **//Withinlover//** | ||
| + | * Code&Debug by **//Gary//** | ||
| ==== 题意 ==== | ==== 题意 ==== | ||
| + | |||
| + | 给标号的$n$个阴宝石和$n$阳宝石，相间放置围成圆，相邻的一对阴阳宝石匹配（仅能匹配一次）后可以产生价值，但有$m$对阴阳宝石不能产生价值，它们会变得暗淡，问暗淡的阴宝石最少为多少 | ||
| + | |||
| + | $0\le n\le 10,0\le m\le n\times n$ | ||
| ==== 解法 ==== | ==== 解法 ==== | ||
| + | |||
| + | 发现$n$较小，我们可以固定阳宝石，枚举阴宝石的排列，对每一种情况进行二分图匹配求得最大匹配$\rm Ans_i$，答案即为$n-\max\{\rm Ans_i\}$ | ||
| + | |||
| + | 需要注意由于是圆排列，枚举排列时固定一位只需要枚举剩余n-1位即可 | ||
| ===== F: PowMod ===== | ===== F: PowMod ===== | ||
| + | |||
| + | * Idea by **//Withinlover//**, **//Pantw//** | ||
| + | * Code in practice by **//Withinlover//** | ||
| ==== 题意 ==== | ==== 题意 ==== | ||
| - | ==== 解法 ==== | + | 已知三个正整数 $n, m, p$，其中 $n$ 不含平方因子。 |
| + | |||
| + | 设 $k=\sum_{i=1}^{m}\varphi(i*m) \bmod {1000000007}$； | ||
| + | |||
| + | 计算 $ans = k^{k^{k^{k\dots}}}\bmod p$，$k$ 有无限个。 | ||
| + | |||
| + | ==== 题解 ==== | ||
| + | |||
| + | 大力推公式，设 $F(n, m) = \sum_{i=1}^m\varphi(i*n)$ | ||
| + | |||
| + | $$F(n,m)=\sum_{i=1,i\%p!=0}^m\varphi(i*n)+\sum_{i=1,i\%p==0}^m\varphi(i*n)$$ $$=\varphi(p)\sum_{i=1,i\%p!=0}^m\varphi\left(i*\frac{n}{p}\right)+p\sum_{i=1,i\%p==0}^m\varphi\left(i*\frac{n}{p}\right)$$ $$=\varphi(p)\sum_{i=1}^m\varphi\left(i*\frac{n}{p}\right)+\sum_{i=1,i\%p==0}^m\varphi\left(\frac{i}{p}*n\right)$$ $$=\varphi(p)\sum_{i=1}^m\varphi\left(i*\frac{n}{p}\right)+\sum_{i=1}^{m/p}\varphi\left(i*n\right)$$ $$=\varphi(p)F\left(\frac{n}{p},m\right) + F\left(n,\frac{m}{p}\right)$$ | ||
| + | |||
| + | 第一个难题解决，注意下递归的边界就可以做了。 | ||
| + | |||
| + | 计算 $ans$ 时，迭代使用欧拉定理，$A^B\bmod C=A^{B\%\varphi(C)+\varphi(C)}\bmod C$，显然会很快收敛为 $0$，后面的无限多个 $k$ 就没有意义了。迭代计算即可。 | ||
| ===== G: Rigid Frameworks ===== | ===== G: Rigid Frameworks ===== | ||
| + | |||
| + | * Solved by **//Withinlover//**, **//Pantw//** | ||
| ==== 题意 ==== | ==== 题意 ==== | ||
| + | |||
| + | 给定 $n\times m$ 的一个网格，若无论外力如何作用，这个网格均不会变形，则称这个网格具有稳定性。显然初始的网格极易变形，是不具备稳定性的。如下图所示： | ||
| + | |||
| + | {{ :2020-2021:teams:mian:hdutraining:1.jpg?nolink&400 |}} | ||
| + | |||
| + | 你可以在每一个格子上任选一个对角线添加约束条件，也可以选择不加。询问有多少种增加约束条件的方法，使得添加约束条件后的网格具有稳定性。 | ||
| + | |||
| + | {{ :2020-2021:teams:mian:hdutraining:2.jpg?nolink&400 |}} | ||
| + | |||
| + | $2\times 3$ 的一个可能方案，此时网格不可变形。 | ||
| ==== 解法 ==== | ==== 解法 ==== | ||
| + | |||
| + | 选择两条对角线本质上并无区别，只是增加计数难度。 | ||
| + | |||
| + | 每一个位于 $(i, j)$ 的约束条件，本质上是固定了第 $i$ 行所有的竖边和第 $j$ 列所有的横边。如下图： | ||
| + | |||
| + | {{ :2020-2021:teams:mian:hdutraining:3.jpg?nolink&400 |}} | ||
| + | |||
| + | 建二分图，将每一行的竖边视为一个点，每一列的横边视为一个点。则左侧有 $n$ 个点，右侧有 $m$ 个点，每一个约束条件视为从左到右的一条连边。则原问题转化为 $(n + m)$ 个点的联通图计数问题。但是要注意由于可以在两条对角线中任意选择，每条边的贡献为 $2$。 | ||
| + | |||
| + | 裸的联通二分图计数可以参考blog：[[https://www.cnblogs.com/cenariusxz/p/5688549.html|连通二分图计数]] | ||
| + | |||
| + | 这里，记 $H[i][j] = 3^{ij}$，$F, G$ 递推式不变， 便可以得到答案。 | ||
| ===== H: Shell Necklace ===== | ===== H: Shell Necklace ===== | ||
| 行 261: | 行 296: | ||
| ===== K: tetrahedron ===== | ===== K: tetrahedron ===== | ||
| + | |||
| + | * Solved by **//Withinlover//** | ||
| ==== 题意 ==== | ==== 题意 ==== | ||
| + | |||
| + | 多组数据 | ||
| + | |||
| + | 给定空间中四点坐标，求组成的四面体的内接球半径以及球心坐标。 | ||
| ==== 解法 ==== | ==== 解法 ==== | ||
| + | |||
| + | 向量法可以计算出体积和表面积，进而得到半径 | ||
| + | |||
| + | 球心坐标太简单了，推推公式就行（狗头） | ||
2020-2021/teams/mian/hdu_training/2016_multi-university_training_contest_1.1590329672.txt.gz · 最后更改: 2020/05/24 22:14 由 grapelemonade
