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grapelemonade 迁移数学笔记
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grapelemonade [散度场] minor fixes for oiint
@@ 行 1: / 行 1: @@
 ====== 工科数学分析（2） ======
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 ====== 11 数项级数 ======
@@ 行 58: / 行 55: @@
 ==== 分部求和公式 ====
-$\{a_n\}, \{b_n\}$ 是实数列，$\forall n\in \mathbb{N}^{\star}, S_k=\sum\limits_{i=1}^{k}a_i, S_0 = 0$，则\\
+$\displaystyle\{a_n\}, \{b_n\}$ 是实数列，$\forall n\in \mathbb{N}^{\star}, S_k=\sum\limits_{i=1}^{k}a_i, S_0 = 0$，则\\
 $\sum\limits_{k=1}^{n}a_kb_k=\sum\limits_{k=1}^{n-1}S_k(b_k-b_{k+1})+S_nb_n$
 （我觉得这就跟分部积分一模一样嘛）
-$\int S\mathrm{d}T = ST - \int T\mathrm{d}S$
+$\displaystyle\int S\mathrm{d}T = ST - \int T\mathrm{d}S$
 把 $a_n$ 看成 $\mathrm{d}S$，$b_n$ 看成 $T$，$\sum ab = \int T\mathrm{d}S=ST-\int S\mathrm{d} T = b\sum a + \sum (\sum a)(b_k - b_{k+1})$
@@ 行 69: / 行 66: @@
 ==== 阿贝尔引理 ====
-$\{b_n\}$ 单调，$\left|\sum a\right|\le M$，则 $|\sum\limits_{k=1}^{n}a_kb_k|\le M(|b_1|+2|b_n|)$.
+$\displaystyle\{b_n\}$ 单调，$\left|\sum a\right|\le M$，则 $|\sum\limits_{k=1}^{n}a_kb_k|\le M(|b_1|+2|b_n|)$.
 ==== 狄利克雷判别法 ====
-$\{b_n\}$ 单调递减趋 $0$，$\sum a$ 有界 $\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_kb_k$ 收敛.
+$\displaystyle\{b_n\}$ 单调递减趋 $0$，$\sum a$ 有界 $\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_kb_k$ 收敛.
 ==== 阿贝尔判别法 ====
-$\{b_n\}$ 单调有界，$\sum a$ 收敛 $\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_kb_k$ 收敛.
+$\displaystyle\{b_n\}$ 单调有界，$\sum a$ 收敛 $\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_kb_k$ 收敛.
 ===== 11.4 更序问题与级数乘法 =====
@@ 行 83: / 行 80: @@
 ==== 更序问题 ====
-$\mathbf{Th.\; 11.4.1}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\; 11.4.1}$
 若级数绝对收敛，则其正项和与负项和均收敛；\\
 若其条件收敛，则两者均发散到无穷大。
-$\mathbf{Th.\; 11.4.2}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\; 11.4.2}$
 若级数绝对收敛，则任意调整其中各项顺序得到的新级数也绝对收敛，且和不变。
-$\mathbf{Th.\; 11.4.3}\;\;\text{Riemann 更序定理}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\; 11.4.3}\;\;\text{Riemann 更序定理}$
 若级数条件收敛，则可以通过调整其中的项的顺序使其收敛到任一确定实数。
@@ 行 98: / 行 95: @@
 ==== 级数乘法 ====
-$\mathbf{Def.}\;\;\text{Cauchy 乘积}$
+$\displaystyle\mathbf{Def.}\;\;\text{Cauchy 乘积}$
-$\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (x_1y_n+x_2y_{n-1}+\cdots+x_ny_1)$
+$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (x_1y_n+x_2y_{n-1}+\cdots+x_ny_1)$
 称为级数 $\sum x$ 和 $\sum y$ 的 Cauchy 乘积。
-$\mathbf{Th.\; 11.4.3}\;\;\text{Cauchy 定理}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\; 11.4.3}\;\;\text{Cauchy 定理}$
 两级数收敛，则其柯西积亦收敛，且收敛于两级数收敛值之积。
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 ====== 12 函数项级数 ======
@@ 行 117: / 行 111: @@
 ==== 逐点收敛 ====
-$\forall x_0 \in I$，若 $\{f_n(x_0)\}$ 收敛到 $f(x_0)$，则称 $\{f_n(x)\}$ 在 $I$ 上逐点收敛.
+$\displaystyle\forall x_0 \in I$，若 $\{f_n(x_0)\}$ 收敛到 $f(x_0)$，则称 $\{f_n(x)\}$ 在 $I$ 上逐点收敛.
 ==== 一致收敛 ====
-$\forall\ \varepsilon > 0, \exists N(\varepsilon) > 0$，当 $n>N(\varepsilon)$ 时，$\forall x\in I$，有 $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$ 成立，则称函数序列 $\{f_n(x)\}$ 在 $I$ 上一致收敛于 $f(x)$，记为 $f_n(x)\stackrel{uni}{\longrightarrow} f(x)$.
+$\displaystyle\forall\ \varepsilon > 0, \exists N(\varepsilon) > 0$，当 $n>N(\varepsilon)$ 时，$\forall x\in I$，有 $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$ 成立，则称函数序列 $\{f_n(x)\}$ 在 $I$ 上一致收敛于 $f(x)$，记为 $f_n(x)\stackrel{uni}{\longrightarrow} f(x)$.
 ===== 12.2 一致收敛的判别 =====
@@ 行 127: / 行 121: @@
 ==== 余项定理 ====
-$\lim\limits_{n\to \infty} \sup\limits_{x\in I} |f_n(x)-f(x)| = 0 \iff f_n(x)\stackrel{uni}{\longrightarrow} f(x)\quad (n \in \mathbb{N}^{\star})$
+$\displaystyle\lim\limits_{n\to \infty} \sup\limits_{x\in I} |f_n(x)-f(x)| = 0 \iff f_n(x)\stackrel{uni}{\longrightarrow} f(x)\quad (n \in \mathbb{N}^{\star})$
 ==== 柯西收敛定理 ====
-$\forall x_0 \in I, \forall \varepsilon > 0, \exists N(x_0, \varepsilon) \in \mathbb{N}^{\star}, \forall n > N, \forall p \in \mathbb{N}^{\star}: |f_n(x_0) - f_{n+p}(x_0)| < \varepsilon \iff \{f_n(x)\}$ 在 $I$ 上逐点收敛.
+$\displaystyle\forall x_0 \in I, \forall \varepsilon > 0, \exists N(x_0, \varepsilon) \in \mathbb{N}^{\star}, \forall n > N, \forall p \in \mathbb{N}^{\star}: |f_n(x_0) - f_{n+p}(x_0)| < \varepsilon \iff \{f_n(x)\}$ 在 $I$ 上逐点收敛.
-$\forall \varepsilon > 0, \exists N( \varepsilon) \in \mathbb{N}^{\star}, \forall n > N, \forall p \in \mathbb{N}^{\star},\forall x \in I: |f_n(x) - f_{n+p}(x)| < \varepsilon \iff \{f_n(x)\}$ 在 $I$ 上一致收敛.
+$\displaystyle\forall \varepsilon > 0, \exists N( \varepsilon) \in \mathbb{N}^{\star}, \forall n > N, \forall p \in \mathbb{N}^{\star},\forall x \in I: |f_n(x) - f_{n+p}(x)| < \varepsilon \iff \{f_n(x)\}$ 在 $I$ 上一致收敛.
 ==== 维尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法（M 判别法，控制判别法） ====
@@ 行 145: / 行 139: @@
 若在 $I$ 上：
-$\{b_n(x)\}$ 对固定的 $x$ 单调，一致收敛至 $0$.
+$\displaystyle\{b_n(x)\}$ 对固定的 $x$ 单调，一致收敛至 $0$.
-$\sum\limits_{n=1}^{N}a_n(x)$ 在 $I$ 上一致有界.
+$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{N}a_n(x)$ 在 $I$ 上一致有界.
 则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n(x)b_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛.
@@ 行 157: / 行 151: @@
 若在 $I$ 上：
-$\{b_n(x)\}$ 对固定的 $x$ 单调，在 $I$ 上一致有界.
+$\displaystyle\{b_n(x)\}$ 对固定的 $x$ 单调，在 $I$ 上一致有界.
-$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛.
+$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛.
 则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n(x)b_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛.
@@ 行 169: / 行 163: @@
 $f_n(x)$ 在 $I$ 上连续，$f_n(x)\stackrel{uni}{\longrightarrow}f(x)$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上连续.
-$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛于 $S(x)$，则 $u_n(x)\in C_{I} \Rightarrow S_n(x)\in C_{I}$
+$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛于 $S(x)$，则 $u_n(x)\in C_{I} \Rightarrow S_n(x)\in C_{I}$
 Dini 定理
-$\{f_n(x)\}\in C[a,b]$，若对任意给定 $x \in [a, b]$，$\lim\limits_{n\to \infty}f_n(x)=0$，$f_n(x)$ 递减，则 $\{f_n(x)\}$ 一致收敛于 $0$。
+$\displaystyle\{f_n(x)\}\in C[a,b]$，若对任意给定 $x \in [a, b]$，$\lim\limits_{n\to \infty}f_n(x)=0$，$f_n(x)$ 递减，则 $\{f_n(x)\}$ 一致收敛于 $0$。
-$\{f_n(x)\}\in C[a,b]$，且收敛于 $f(x)$，若对任意给定 $x \in [a, b]$，$f_n(x)$ 单调，则 $\{f_n(x)\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $f(x)$。
+$\displaystyle\{f_n(x)\}\in C[a,b]$，且收敛于 $f(x)$，若对任意给定 $x \in [a, b]$，$f_n(x)$ 单调，则 $\{f_n(x)\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $f(x)$。
-$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x), u_n(x)\in C[a,b], u_n(x)\ge 0.$ 若 $S(x) \in C[a,b]$，则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛。
+$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x), u_n(x)\in C[a,b], u_n(x)\ge 0.$ 若 $S(x) \in C[a,b]$，则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛。
 ==== 积分 ====
-$\{f_n\}\in R[a,b]$，$f_n(x)\stackrel{uni}{\longrightarrow} f(x)$，则 $f \in R[a, b]$ 且 $\lim\limits_{n\to \infty}\int_{a}^{b}f_n(x)\mathrm{d}x=\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x$
+$\displaystyle\{f_n\}\in R[a,b]$，$f_n(x)\stackrel{uni}{\longrightarrow} f(x)$，则 $f \in R[a, b]$ 且 $\lim\limits_{n\to \infty}\int_{a}^{b}f_n(x)\mathrm{d}x=\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x$
 （极限和积分交换顺序）
-$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)\stackrel{uni}{\longrightarrow}S(x), u_n(x)\in R[a,b]$，则 $S(x)\in R[a,b], \int_{a}^{b}(\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x))\mathrm{d}x = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\int_{a}^{b}u_n(x)\mathrm{d}x$
+$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)\stackrel{uni}{\longrightarrow}S(x), u_n(x)\in R[a,b]$，则 $S(x)\in R[a,b], \int_{a}^{b}(\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x))\mathrm{d}x = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\int_{a}^{b}u_n(x)\mathrm{d}x$
 ==== 求导 ====
@@ 行 195: / 行 189: @@
 ===== 12.4 幂级数 =====
-$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$
+$\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$
-$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$
+$\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$
 ==== 收敛性 ====
@@ 行 203: / 行 197: @@
 Abel 定理
-$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$
+$\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$
 若在 $x_0 \neq 0$ 处收敛，则对所有 $|x|<|x_0|$ 绝对收敛。
@@ 行 219: / 行 213: @@
 ==== 代数性质 ====
-$\sum a_nx^n: R_a,\; \sum b_nx^n: R_b,\; R=\min\{R_a, R_b\}.$ 则：
+$\displaystyle\sum a_nx^n: R_a,\; \sum b_nx^n: R_b,\; R=\min\{R_a, R_b\}.$ 则：
-$\sum(a_n\pm b_n)x^n = \sum a_nx^n\pm \sum b_nx^n$ 在 $(-R, R)$ 上成立。
+$\displaystyle\sum(a_n\pm b_n)x^n = \sum a_nx^n\pm \sum b_nx^n$ 在 $(-R, R)$ 上成立。
-$\sum a_nx^n, \sum b_nx^n$ 的柯西积在 $(-R, R)$ 上绝对收敛。
+$\displaystyle\sum a_nx^n, \sum b_nx^n$ 的柯西积在 $(-R, R)$ 上绝对收敛。
 ==== 内闭一致收敛性 ====
-$\forall [L, K] \subset (-R, R)$，$\sum a_nx^n$ 在 $[L, K]$ 上一致收敛。
+$\displaystyle\forall [L, K] \subset (-R, R)$，$\sum a_nx^n$ 在 $[L, K]$ 上一致收敛。
 ==== 分析性质 ====
@@ 行 233: / 行 227: @@
 === Abel 第二定理 ===
-$\lim\limits_{x\to R^{-}} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nx^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nR^n$ （收敛时）
+$\displaystyle\lim\limits_{x\to R^{-}} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nx^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nR^n$ （收敛时）
-$\lim\limits_{x\to (-R)^{+}} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nx^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(-R)^n$ （收敛时）
+$\displaystyle\lim\limits_{x\to (-R)^{+}} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nx^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(-R)^n$ （收敛时）
 === 导数性质 ===
@@ 行 249: / 行 243: @@
 $S(x)\in R(-r,r)$，且可逐项积分，即对 $\forall x \in (-R,R)$ 有
-$\int_{0}^{x}S(t)\mathrm{d}t=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{x}a_nt^n\mathrm{d}t=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$
+$\displaystyle\int_{0}^{x}S(t)\mathrm{d}t=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{x}a_nt^n\mathrm{d}t=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$
 端点性质可能改变
@@ 行 302: / 行 296: @@
 （积化和差 和差化积）
-$\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx \mathrm{d}x = \pi \delta_{mn}=\begin{cases}0, m\neq n\\\pi, m=n\end{cases}$
+$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx \mathrm{d}x = \pi \delta_{mn}=\begin{cases}0, m\neq n\\\pi, m=n\end{cases}$
 ==== 傅里叶级数 ====
@@ 行 308: / 行 302: @@
 === 傅里叶系数 ===
-$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\mathrm{d}x + \int_{-\pi}^{\pi} [\sum\limits_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)]\mathrm{d}x=a_0\pi\iff a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\mathrm{d}x$
+$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\mathrm{d}x + \int_{-\pi}^{\pi} [\sum\limits_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)]\mathrm{d}x=a_0\pi\iff a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\mathrm{d}x$
-$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\mathrm{d}x = \frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\mathrm{d}x + \sum\limits_{k=1}^{\infty}(a_k\int_{-\pi}^{\pi}\cos kx\cos nx\mathrm{d}x+b_k\int_{-\pi}^{\pi}\sin kx\cos nx\mathrm{d}x)=a_n\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 nx \mathrm{d}x = a_n\pi\iff a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\mathrm{d}x$
+$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\mathrm{d}x = \frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\mathrm{d}x + \sum\limits_{k=1}^{\infty}(a_k\int_{-\pi}^{\pi}\cos kx\cos nx\mathrm{d}x+b_k\int_{-\pi}^{\pi}\sin kx\cos nx\mathrm{d}x)=a_n\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 nx \mathrm{d}x = a_n\pi\iff a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\mathrm{d}x$
 同理 $b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\mathrm{d}x$
@@ 行 332: / 行 326: @@
 === 定义在 [-\pi, \pi] 上时 ===
-$\mathbf{Th.}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.}$
 （1）当周期为 $2\pi$ 的奇函数 $f(x)$ 展开成傅里叶级数时，其系数为
@@ 行 348: / 行 342: @@
 \end{cases}$$
-$\mathbf{Def.}$
+$\displaystyle\mathbf{Def.}$
 若 $f(x)$ 为奇函数，其傅里叶级数称为正弦级数。\\
@@ 行 386: / 行 380: @@
 ==== Riemann-Lebesgue 引理 ====
-$\mathbf{Th.\ \ 13.1:}$ **(R-L 引理)**
+$\displaystyle\mathbf{Th.\ \ 13.1:}$ **(R-L 引理)**
 若 $f$ 在 $[a, b]$ 上可积或绝对可积，那么：
-$\lim\limits_{\lambda\to +\infty}\int_{a}^{b}f(x)\cos \lambda x \mathrm{d}x=0$
+$\displaystyle\lim\limits_{\lambda\to +\infty}\int_{a}^{b}f(x)\cos \lambda x \mathrm{d}x=0$
-$\lim\limits_{\lambda\to +\infty}\int_{a}^{b}f(x)\sin \lambda x \mathrm{d}x=0$
+$\displaystyle\lim\limits_{\lambda\to +\infty}\int_{a}^{b}f(x)\sin \lambda x \mathrm{d}x=0$
-$\mathbf{Th.\ \ 13.2:}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\ \ 13.2:}$
 若 $f$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上可导，$f'$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上可积或绝对可积，如果 $f(-\pi)=f(\pi)$，那么：
@@ 行 400: / 行 394: @@
 $a_n=o(\frac{1}{n}), b_n=o(\frac{1}{n}), n\to \infty$
-$\mathbf{Th.\ \ 13.3:}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\ \ 13.3:}$
 若 $f$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上有 $k+1$ 阶导数，$f^{(n+1)}$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上可积或绝对可积，如果 $f(-\pi)=f(\pi), f'(-\pi)=f'(\pi),\ldots, f^{(k)}(-\pi)=f^{(k)}(\pi)$，那么：
@@ 行 416: / 行 410: @@
 ==== Dini 判别法 ====
-$\mathbf{Th.\ \ 13.5:}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\ \ 13.5:}$
 若 $f$ 以 $2\pi$ 为周期，且在 $[-\pi, \pi]$ 上可积或绝对可积，对 $s\in \mathbb{R}$，令：
-$\varphi(t)=f(x_0+t)+f(x_0-t)-2s$,
+$\displaystyle\varphi(t)=f(x_0+t)+f(x_0-t)-2s$,
 若 $\exists\ \delta>0, \mathrm{s.t.} \frac{\varphi(t)}{t}$ 在 $[0, \delta]$ 上可积或绝对可积，那么 $f$ 的 Fourier 级数在 $x_0$ 处收敛于 $s$。
-$\mathbf{Th.\ \ 13.7:}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\ \ 13.7:}$
 若 $f$ 以 $2\pi$ 为周期，且在 $[-\pi, \pi]$ 上可积或绝对可积，若 $f$ 在 $x_0$ 处存在导数，或者有两个有限的单侧导数，那么其傅里叶级数在 $x_0$ 处收敛于 $f(x_0)$.
-$\mathbf{Def.\ \ 13.2:}$
+$\displaystyle\mathbf{Def.\ \ 13.2:}$
 若 $f$ 在 $U^{o}(x_0)$ 内有定义，若存在 $\delta > 0, L>0, \alpha > 0$，使得当 $t\in (0, \delta]$ 时有
@@ 行 437: / 行 431: @@
 则称 $f$ 在 $U^{o}(x_0)$ 内满足 $\alpha$ 阶 Lipschitz 条件。
-$\mathbf{Th.\ \ 13.6:}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\ \ 13.6:}$
 若 $f$ 以 $2\pi$ 为周期，且在 $[-\pi, \pi]$ 上可积或绝对可积，且 $f$ 在 $U^{o}(x_0)$ 内满足 $\alpha$ 阶 Lipschitz 条件，那么 $f$ 的傅里叶级数在 $x_0$ 处收敛。
@@ 行 458: / 行 452: @@
 在向量空间 $\mathbb{R}^n$ 上定义了内积的空间。
-$\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle=\sum\limits_{i=1}^{n}x_iy_i$
+$\displaystyle\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle=\sum\limits_{i=1}^{n}x_iy_i$
   - 半正定性 $\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle\ge 0$
@@ 行 466: / 行 460: @@
 === Cauchy-Schwartz 不等式 ===
-$\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle^2\le \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle\langle \boldsymbol{y}, \boldsymbol{y}\rangle$
+$\displaystyle\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle^2\le \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle\langle \boldsymbol{y}, \boldsymbol{y}\rangle$
 ==== 范数 ====
@@ 行 472: / 行 466: @@
 === 定义 ===
-$\mathbf{Def.\ \ 14.1.1}$
+$\displaystyle\mathbf{Def.\ \ 14.1.1}$
-$\|\boldsymbol{x}\|=\sqrt{\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle}$，称向量 $\boldsymbol{x}$ 的范数。
+$\displaystyle\|\boldsymbol{x}\|=\sqrt{\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle}$，称向量 $\boldsymbol{x}$ 的范数。
   - 正定性 $\|\boldsymbol{x}\|\ge 0$
@@ 行 484: / 行 478: @@
 $|\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle|\le \|\boldsymbol{x}\|\|\boldsymbol{y}\|$
-$\|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\|^2\le(\|\boldsymbol{x}\|+\|\boldsymbol{y}\|)^2$
+$\displaystyle\|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\|^2\le(\|\boldsymbol{x}\|+\|\boldsymbol{y}\|)^2$
 === 夹角 ===
-$\cos\theta(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\frac{\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle}{\|\boldsymbol{x}\|\|\boldsymbol{y}\|}$
+$\displaystyle\cos\theta(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\frac{\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle}{\|\boldsymbol{x}\|\|\boldsymbol{y}\|}$
 === 距离 ===
-$\mathbb{R}^2$ 上定义 $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ 之间距离为 $\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|$
+$\displaystyle\mathbb{R}^2$ 上定义 $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ 之间距离为 $\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|$
 === 开球 ===
-$\mathbf{Def.\ \ 14.1.2}$
+$\displaystyle\mathbf{Def.\ \ 14.1.2}$
 开球：$B_r(\boldsymbol{a})=\{\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^n|\ \|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\|<r\}$
@@ 行 502: / 行 496: @@
 ==== 点列收敛 ====
-$\mathbf{Def.\ \ 14.1.3}$
+$\displaystyle\mathbf{Def.\ \ 14.1.3}$
-$\{\boldsymbol{x}_k\}\subset \mathbb{R}^n$
+$\displaystyle\{\boldsymbol{x}_k\}\subset \mathbb{R}^n$
-$\exists \boldsymbol{a}\in\mathbb{R}^n,\forall \varepsilon>0,\exists K\in \mathbb{N}^{\star},\forall k>K, \mathrm{s.t.} \|\boldsymbol{x}_k-\boldsymbol{a}|<\varepsilon$，则称点列 $\{\boldsymbol{x}_k\}$ 收敛于 $\boldsymbol{a}$，记为 $\lim\limits_{k\to\infty}\boldsymbol{x}_k=\boldsymbol{a}$，称 $\boldsymbol{a}$ 为点列的极限。
+$\displaystyle\exists \boldsymbol{a}\in\mathbb{R}^n,\forall \varepsilon>0,\exists K\in \mathbb{N}^{\star},\forall k>K, \mathrm{s.t.} \|\boldsymbol{x}_k-\boldsymbol{a}|<\varepsilon$，则称点列 $\{\boldsymbol{x}_k\}$ 收敛于 $\boldsymbol{a}$，记为 $\lim\limits_{k\to\infty}\boldsymbol{x}_k=\boldsymbol{a}$，称 $\boldsymbol{a}$ 为点列的极限。
 若对每一分量都有 $\lim\limits_{k\to \infty}x_{i, k}=a_i$，称点列 $\{\boldsymbol{x}_k\}$ 按分量收敛于 $\boldsymbol{a}$。
-$\mathbf{Th.\ \ 14.1.1}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\ \ 14.1.1}$
 点列收敛于 $\boldsymbol{a} \iff$ 点列按分量收敛于 $\boldsymbol{a}$.
@@ 行 516: / 行 510: @@
 ==== 柯西收敛定理 ====
-$\mathbf{Def.\ \ 14.1.4\quad \text{基本列}}$
+$\displaystyle\mathbf{Def.\ \ 14.1.4\quad \text{基本列}}$
 基本一样，不记了
-$\mathbf{Th.\ \ 14.1.2\quad \text{柯西收敛定理}}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\ \ 14.1.2\quad \text{柯西收敛定理}}$
 点列收敛 $\iff$ 点列是基本列
@@ 行 526: / 行 520: @@
 ==== 开集与闭集 ====
-$\mathbf{Def.\ \ 14.1.5\quad \text{开集}}$
+$\displaystyle\mathbf{Def.\ \ 14.1.5\quad \text{开集}}$
 $E\subset\mathbb{R}^n$，若 $\forall \boldsymbol{x}\in E, \exists \varepsilon>0, \mathrm{s.t.}\  B_{\varepsilon}(\boldsymbol{x})\subset E$，则称 $E$ 为开集。
@@ 行 534: / 行 528: @@
 约定 $\mathbb{R}^n$ 和 $\varnothing$ 既是开集也是闭集。
-$\mathbf{Prop.\ \ 14.1.1}$
+$\displaystyle\mathbf{Prop.\ \ 14.1.1}$
 有限多个开集的交仍是开集，任意多个开集的并仍是开集。
@@ 行 542: / 行 536: @@
 ==== 内点、外点、边界点 ====
-$\mathbf{Def.\ \ 14.1.6}$
+$\displaystyle\mathbf{Def.\ \ 14.1.6}$
 设 $E\subset \mathbb{R}^n, \boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n$,
@@ 行 556: / 行 550: @@
 ==== 聚点 ====
-$\mathbf{Def.\ \ 14.1.7\quad \text{聚点}}$
+$\displaystyle\mathbf{Def.\ \ 14.1.7\quad \text{聚点}}$
-$\boldsymbol{a}$ 为聚点 $\iff E\subset \mathbb{R}^n, \boldsymbol{a}\in \mathbb{R}^n, \forall \varepsilon > 0, \exists \boldsymbol{p}\in ((B_{\varepsilon}(\boldsymbol{a}))\cap E)$
+$\displaystyle\boldsymbol{a}$ 为聚点 $\iff E\subset \mathbb{R}^n, \boldsymbol{a}\in \mathbb{R}^n, \forall \varepsilon > 0, \exists \boldsymbol{p}\in ((B_{\varepsilon}(\boldsymbol{a}))\cap E)$
-$\boldsymbol{a}$ 为孤立点 $\iff \lnot (\boldsymbol{a}$ 为聚点$)$
+$\displaystyle\boldsymbol{a}$ 为孤立点 $\iff \lnot (\boldsymbol{a}$ 为聚点$)$
 ==== 导集、闭包 ====
-$\mathbf{Def.\ \ 14.1.8}$
+$\displaystyle\mathbf{Def.\ \ 14.1.8}$
 聚点全体称为导集，记为 $E'$。
-$\bar{E}=E\cup E'$ 称为 $E$ 的闭包。
+$\displaystyle\bar{E}=E\cup E'$ 称为 $E$ 的闭包。
-$\mathbf{Th.\ \ 14.1.3}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\ \ 14.1.3}$
 集合 $E$ 是闭集 $\iff E' \subset E$
-$\mathbf{Th.\ \ 14.1.4}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\ \ 14.1.4}$
 集合 $E$ 是闭集 $\iff \forall \{\boldsymbol{a}_n\}\subset E, (\lim\limits_{n\to \infty}\boldsymbol{a}_n)\in E$ （收敛时）
-$\mathbf{Th.\ \ 14.1.5}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\ \ 14.1.5}$
 集合 $E$ 的导集与闭包均为闭集。
@@ 行 584: / 行 578: @@
 ==== 连续曲线、道路连通 ====
-$\mathbf{Def.\ \ 14.1.9}$
+$\displaystyle\mathbf{Def.\ \ 14.1.9}$
 设 $E$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的点集，若任给 $\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q} \in E$，存在 $E$ 中的连续曲线将两者联结，称 $E$ 是道路连通的。
@@ 行 592: / 行 586: @@
 若所有的 $\varphi_i(t)$ 都连续，那么称 $\varphi$ 是一个连续映射，它的像为一条连续曲线。
-$\mathbf{Def.\ \ 14.1.10}$
+$\displaystyle\mathbf{Def.\ \ 14.1.10}$
-$\mathbb{R}^n$ 中道路连通的开集称为（开）区域，区域的闭包称为闭区域。
+$\displaystyle\mathbb{R}^n$ 中道路连通的开集称为（开）区域，区域的闭包称为闭区域。
 ===== 14.2 Euclid 空间的基本定理 =====
@@ 行 600: / 行 594: @@
 ==== 闭集套定理 ====
-$\mathbf{Th.\ \ 14.2.1}\text{（闭集套定理）}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\ \ 14.2.1}\text{（闭集套定理）}$
 设 $\{E_k\}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的非空闭集序列，满足 $E_1\supset E_2\supset \cdots \supset E_k\supset E_{k+1}\cdots$，且 $\lim\limits_{k\to \infty}\mathrm{diam} E_k=0$，则 $\mathop{\cap}\limits_{k=1}^{\infty}E_k$ 中只有唯一的一点。
-$\mathrm{diam}\ E = \sup\{\|\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\|, \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\in E\}$，称 $E$ 的直径。
+$\displaystyle\mathrm{diam}\ E = \sup\{\|\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\|, \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\in E\}$，称 $E$ 的直径。
 ==== 列紧性定理（Bolzano-Weierstrass） ====
-$\mathbf{Th.\ \ 14.2.2}\text{（列紧性定理）}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\ \ 14.2.2}\text{（列紧性定理）}$
-$\mathbb{R}^n$ 上有界点列 $\{x_k\}$ 必有收敛子列。
+$\displaystyle\mathbb{R}^n$ 上有界点列 $\{x_k\}$ 必有收敛子列。
 ==== 紧致集 ====
-$\mathbf{Def.\ \ 14.2.1}\text{（紧致集）}$
+$\displaystyle\mathbf{Def.\ \ 14.2.1}\text{（紧致集）}$
 设 $S$ 为 $\mathbb{R}^n$ 上点集，若 $\mathbb{R}^n$ 中一组开集 $\{U_\alpha\}$ 满足 $\cup_\alpha U_\alpha \supset S$，那么称 $\{U_\alpha\}$ 为 $S$ 的一个开覆盖。
@@ 行 622: / 行 616: @@
 ==== 有限覆盖定理 ====
-$\mathbf{Th.\ \ 14.2.3}\text{（有限覆盖定理）}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\ \ 14.2.3}\text{（有限覆盖定理）}$
 设 $E$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中子集，则以下几条等价：
@@ 行 634: / 行 628: @@
 ==== 定义 ====
-$\mathbf{Def.\ \ 14.3.1}\text{（多元函数）}$
+$\displaystyle\mathbf{Def.\ \ 14.3.1}\text{（多元函数）}$
-$\mathbb{R}^n$ 的子集到 $R$ 的映射 $f$ 称为 $n$ 元函数，其中该子集是 $f$ 的定义域，$\{f(\boldsymbol{x})\}\subset R$ 是 $f$ 的值域。
+$\displaystyle\mathbb{R}^n$ 的子集到 $R$ 的映射 $f$ 称为 $n$ 元函数，其中该子集是 $f$ 的定义域，$\{f(\boldsymbol{x})\}\subset R$ 是 $f$ 的值域。
 $z=f(\boldsymbol{x})$ 或 $z=f(x_1, \cdots, x_n)$
@@ 行 642: / 行 636: @@
 二元函数一般记作 $z=f(x,y)$
-$\mathbf{Def.\ \ 14.3.2}\text{（重极限）}$
+$\displaystyle\mathbf{Def.\ \ 14.3.2}\text{（重极限）}$
 $D\subset \mathbb{R}^n$，$z=f(\boldsymbol{x})$ 是定义在 $D$ 上的 $n$ 元函数，$\boldsymbol{a}\in\mathbb{R}^n$ 是 $D$ 的一个聚点，$A$ 是一个实数。
-$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f(\boldsymbol{x})=A\iff \forall \varepsilon>0,\exists \delta>0,\forall \boldsymbol{x}\in B_{\varepsilon}(\boldsymbol{a}),|f(\boldsymbol{x})-A|<\varepsilon$
+$\displaystyle\lim\limits_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f(\boldsymbol{x})=A\iff \forall \varepsilon>0,\exists \delta>0,\forall \boldsymbol{x}\in B_{\varepsilon}(\boldsymbol{a}),|f(\boldsymbol{x})-A|<\varepsilon$
 称 $A$ 为 $f(\boldsymbol{x})$ 在 $\boldsymbol{a}$ 点的重极限。
@@ 行 652: / 行 646: @@
 ==== 海涅定理（Heine-Borel） ====
-$\mathbf{Th.\ \ 14.3.1}\text{（海涅定理）}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\ \ 14.3.1}\text{（海涅定理）}$
 $D\subset \mathbb{R}^n$，$z=f(\boldsymbol{x})$ 是定义在 $D$ 上的 $n$ 元函数，则
-$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f(\boldsymbol{x})=A\iff \forall \{\boldsymbol{x}_k\}\subset D, \boldsymbol{x}_k\neq \boldsymbol{a}, \boldsymbol{x}_k\to\boldsymbol{a}(k\to\infty)$，都有 $\lim\limits_{k\to \infty}f(\boldsymbol{x}_k)=A$
+$\displaystyle\lim\limits_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}f(\boldsymbol{x})=A\iff \forall \{\boldsymbol{x}_k\}\subset D, \boldsymbol{x}_k\neq \boldsymbol{a}, \boldsymbol{x}_k\to\boldsymbol{a}(k\to\infty)$，都有 $\lim\limits_{k\to \infty}f(\boldsymbol{x}_k)=A$
 ==== 累次极限 ====
-$\mathbf{Def.\ \ 14.3.3}\text{（累次极限）}$
+$\displaystyle\mathbf{Def.\ \ 14.3.3}\text{（累次极限）}$
 $D\subset \mathbb{R}^n$，$z=f(\boldsymbol{x})$ 是定义在 $D$ 上的二元函数，给定点 $(x_0, y_0)$，若对于每个固定的$y\neq y_0$，极限 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x,y))$ 存在，若极限 $\lim\limits_{y\to y_0}\lim\limits_{x\to x_0}f(x, y)$ 也存在，则称此极限为函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 先对 $x$ 后对 $y$ 的累次极限。
-$\mathbf{Th.\ \ 14.3.2}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\ \ 14.3.2}$
 二元函数 $f(x, y)$ 在某点的重极限与两个累次极限均存在，则它们相等。
@@ 行 670: / 行 664: @@
 ==== 连续 ====
-$\mathbf{Def.\ \ 14.3.3}\text{（累次极限）}$
+$\displaystyle\mathbf{Def.\ \ 14.3.3}\text{（累次极限）}$
 $D\subset \mathbb{R}^n$，$z=f(\boldsymbol{x})$ 是定义在 $D$ 上的 $n$ 元函数，给定点 $\boldsymbol{a}\in D$，若$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\to \boldsymbol{a}}f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{a})$，则称函数 $f(\boldsymbol{x})$ 在 $\boldsymbol{a}$ 点连续。
@@ 行 680: / 行 674: @@
 在定义域上每一点均连续，则称 $f$ 在定义域上连续，或称 $f$ 是定义域上的连续函数。
-$\mathbf{Example. \ 14.3.7}\text{}$
+$\displaystyle\mathbf{Example. \ 14.3.7}\text{}$
 行列式函数 $\det: M_{n\times n}\to \mathbb{R}$ 是连续函数。（将 $M_{n\times n}$ 视为 $\mathbb{R}^{n^2}$）
-$\mathbf{Example. \ 14.3.8}\text{}$
+$\displaystyle\mathbf{Example. \ 14.3.8}\text{}$
 $n$ 元多项式都是连续函数。
@@ 行 690: / 行 684: @@
 设 $P(\boldsymbol{x}), Q(\boldsymbol{x})$ 为 $n$ 元多项式
-$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}P(\boldsymbol{x})Q(\boldsymbol{x})=P(\boldsymbol{a})Q(\boldsymbol{a}), \lim\limits_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\frac{P(\boldsymbol{x})}{Q(\boldsymbol{x})}=\frac{P(\boldsymbol{a})}{Q(\boldsymbol{a})}, (Q(\boldsymbol{a})\neq 0)$
+$\displaystyle\lim\limits_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}P(\boldsymbol{x})Q(\boldsymbol{x})=P(\boldsymbol{a})Q(\boldsymbol{a}), \lim\limits_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}\frac{P(\boldsymbol{x})}{Q(\boldsymbol{x})}=\frac{P(\boldsymbol{a})}{Q(\boldsymbol{a})}, (Q(\boldsymbol{a})\neq 0)$
 ===== 14.4 多元函数连续的性质 =====
@@ 行 696: / 行 690: @@
 ==== 一致连续 ====
-$\mathbf{Def.\ \ 14.4.1}\text{（一致连续）}$
+$\displaystyle\mathbf{Def.\ \ 14.4.1}\text{（一致连续）}$
 $D\subset \mathbb{R}^n$，$z=f(\boldsymbol{x})$ 是定义在 $D$ 上的 $n$ 元函数，如果 $\forall \varepsilon>0,\exists \delta >0,\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in D, (\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|<\delta\Rightarrow |f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{y})|<\varepsilon)$，则称函数 $f$ 在 $D$ 上一致连续。
@@ 行 702: / 行 696: @@
 ==== 连续映射 ====
-$\mathbf{Def.\ \ 14.4.2}\text{}$
+$\displaystyle\mathbf{Def.\ \ 14.4.2}\text{}$
 $D\subset \mathbb{R}^n$，$\boldsymbol{f}: D\to \mathbb{R}^m$ 是 $D$ 到 $\mathbb{R}^m$ 的映射，给定 $\boldsymbol{x}_0\in D$，如果 $\forall \varepsilon>0,\exists \delta >0,\forall \boldsymbol{x}\in D, (\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}\|<\delta\Rightarrow |\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x_0})|<\varepsilon)$，则称映射 $\boldsymbol{f}$ 在点 $\boldsymbol{x}_0$ 连续。
@@ 行 722: / 行 716: @@
 ==== 性质 ====
-$\mathbf{Th.\ \ 14.4.1}\text{}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\ \ 14.4.1}\text{}$
-$\boldsymbol{f}: \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ 是连续映射 $\iff \forall f_i$，$f_i$ 是连续函数。
+$\displaystyle\boldsymbol{f}: \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ 是连续映射 $\iff \forall f_i$，$f_i$ 是连续函数。
-$\mathbf{Th.\ \ 14.4.2}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\ \ 14.4.2}$
-$\boldsymbol{f}: \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$，以下条件等价。
+$\displaystyle\boldsymbol{f}: \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$，以下条件等价。
   - $\boldsymbol{f}$ 是连续映射
@@ 行 734: / 行 728: @@
   - 对任意开集 $E\subset \mathbb{R}^m$，$\boldsymbol{f}^{-1}(E)$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中开集
-$\mathbf{Th.\ \ 14.4.3}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\ \ 14.4.3}$
 连续映射将紧致集映射成紧致集。
-$\mathbf{Th.\ \ 14.4.4}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\ \ 14.4.4}$
 $D$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中紧致集，$f$ 是 $D$ 上的连续函数，则下列结论成立
@@ 行 746: / 行 740: @@
   - $f$ 在 $D$ 上一致连续。
-$\mathbf{Th.\ \ 14.4.6}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\ \ 14.4.6}$
 连续映射把道路连通集映射为道路连通集。
@@ 行 754: / 行 748: @@
 （1）连续函数将道路连通的紧致集映射成区间。 （2）连续函数将闭区域映射成闭区间。
-$\mathbf{Th.\ \ 14.4.7}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\ \ 14.4.7}$
 $D$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中紧致集，$f$ 是 $D$ 上的连续函数，则 $\forall y\in \mathbb{R}, (\exists \boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2\in D, y\in[f(\boldsymbol{x}_1), f(\boldsymbol{x}_2)]\Rightarrow \exists \boldsymbol{x}\in D, \mathrm{s.t.}\ y=f(\boldsymbol{x}))$
@@ 行 779: / 行 773: @@
 ==== 偏导 ====
-$\mathbf{Def.\ \ 15.1.2}$
+$\displaystyle\mathbf{Def.\ \ 15.1.2}$
 设开集 $D\in\mathbb{R}^n, f: D\to \mathbb{R}$。对 $D$ 中给定的点 $\boldsymbol{x}_0=(x_1, \cdots, x_n)$，极限
-$\lim\limits_{\Delta x_i\to 0}\frac{f(x_1, \cdots, x_i+\Delta x_i, \cdots, x_n) - f(x_1, \cdots, x_i, \cdots, x_n)}{\Delta x_i}$
+$\displaystyle\lim\limits_{\Delta x_i\to 0}\frac{f(x_1, \cdots, x_i+\Delta x_i, \cdots, x_n) - f(x_1, \cdots, x_i, \cdots, x_n)}{\Delta x_i}$
 存在，则称 $f$ 在 $\boldsymbol{x}_0$ 处关于第 $i$ 个分量可偏导，称该极限为函数 $f$ 在 $\boldsymbol{x}_0$ 处关于 $x_i$ 的偏导数，记为 $\frac{\partial f}{\partial x_i}(\boldsymbol{x_0})$ 或 $f_{x_i}(\boldsymbol{x}_0)$
-$\mathrm{d}f(\boldsymbol{x}_0) = \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_k}(\boldsymbol{x}_0)\mathrm{d}x_k$
+$\displaystyle\mathrm{d}f(\boldsymbol{x}_0) = \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_k}(\boldsymbol{x}_0)\mathrm{d}x_k$
 处处存在偏导：偏导函数
@@ 行 799: / 行 793: @@
 ==== 方向导数 ====
-$\boldsymbol{u}$ 为给定的方向，$\boldsymbol{x}_0\in D$，极限 $\lim\limits_{t\to 0^{+}}\frac{f(\boldsymbol{x}_0+t\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x}_0)}{t}$ 称为 $f$ 在 $\boldsymbol{x}_0$ 处沿方向 $\boldsymbol{u}$ 的方向导数，记作 $\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{u}}(\boldsymbol{x}_0)$.
+$\displaystyle\boldsymbol{u}$ 为给定的方向，$\boldsymbol{x}_0\in D$，极限 $\lim\limits_{t\to 0^{+}}\frac{f(\boldsymbol{x}_0+t\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x}_0)}{t}$ 称为 $f$ 在 $\boldsymbol{x}_0$ 处沿方向 $\boldsymbol{u}$ 的方向导数，记作 $\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{u}}(\boldsymbol{x}_0)$.
 ==== 二元函数偏导 ====
@@ 行 817: / 行 811: @@
 ==== 二元函数全微分 ====
-$\mathrm{d}z=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y$
+$\displaystyle\mathrm{d}z=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y$
 三元：$\mathrm{d}u=\frac{\partial u}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial u}{\partial z}\mathrm{d}z$
@@ 行 849: / 行 843: @@
 $f$ 在点 $\boldsymbol{x}_0=(x_1, \cdots, x_n)$ 可微 $\Rightarrow$ 则 $f$ 在 $\boldsymbol{x}_0$ 处沿任意方向 $\boldsymbol{u}$ 的方向导数均存在，且
-$\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{u}}=f_{x_1}(\boldsymbol{x}_0)u_1+\cdots+f_{x_n}(\boldsymbol{x}_0)u_n$
+$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{u}}=f_{x_1}(\boldsymbol{x}_0)u_1+\cdots+f_{x_n}(\boldsymbol{x}_0)u_n$
 这里 $(u_1, u_2, \cdots, u_n)$ 是指向方向 $\boldsymbol{u}$ 的单位向量。
@@ 行 861: / 行 855: @@
 $u=\phi(t), v=\psi(t)$ 都在 $t$ 可导，函数 $z=f(u, v)$ 在对应点 $(u, v)$ 可微，则复合函数 $z=f[\phi(t), \psi(t)]$ 在对应点 $t$ 可导，其导数可用下列公式计算：
-$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$
+$\displaystyle\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$
 === 多元函数套多元函数 ===
@@ 行 867: / 行 861: @@
 $u=\phi(x, y), v=\psi(x, y)$ 都在 $(x, y)$ 【可微】，函数 $z=f(u, v)$ 在对应点 $(u, v)$ 【可微】，则复合函数 $z=f[\phi(x, y), \psi(x, y)]$ 在对应点 $(x, y)$ 可微，其导数可用下列公式计算：
-$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$
+$\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$
-$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$
+$\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$
 函数 $f(u_1, \ldots, u_m)$ 在对应点 $(u_1, \ldots, u_m)$，$u_k(x_1, \ldots, x_n), k=1, 2,\ldots, m$ 在 $(x_1, \ldots, x_n)$ 可微：
-$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\sum\limits_{k=1}^{m}\frac{\partial f}{\partial u_k}\frac{\partial u_k}{\partial x_i}, i = 1, \ldots, n.$
+$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_i}=\sum\limits_{k=1}^{m}\frac{\partial f}{\partial u_k}\frac{\partial u_k}{\partial x_i}, i = 1, \ldots, n.$
 === 特殊例子 ===
@@ 行 883: / 行 877: @@
 令 $v = x, w = y$
-$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial w}{\partial y} = 1, \frac{\partial w}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=0$
+$\displaystyle\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial w}{\partial y} = 1, \frac{\partial w}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=0$
 则
-$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial x}$
+$\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial x}$
-$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial y}$
+$\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial y}$
 注意区别 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 与 $\frac{\partial f}{\partial x}$.
@@ 行 895: / 行 889: @@
 ==== 向量值函数的微分、Jacobian 矩阵 ====
-$\mathbf{Def.\ \ 15.2.1}$
+$\displaystyle\mathbf{Def.\ \ 15.2.1}$
 设向量值函数 $\boldsymbol{f}: D\subset \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$，点 $\boldsymbol{x}_0 = (x_1, \cdots, x_n)\in D$。 若存在 $m\times n$ 阶矩阵 $A=(a_{ij})_{m\times n}$，使得
-$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)=A\Delta \boldsymbol{x}+r(\Delta \boldsymbol{x})$
+$\displaystyle\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)=A\Delta \boldsymbol{x}+r(\Delta \boldsymbol{x})$
-$\lim\limits_{\|\Delta \boldsymbol{x}\|\to 0}\frac{\|r(\Delta \boldsymbol{x})\|}{\|\Delta\boldsymbol{x}\|}=0$
+$\displaystyle\lim\limits_{\|\Delta \boldsymbol{x}\|\to 0}\frac{\|r(\Delta \boldsymbol{x})\|}{\|\Delta\boldsymbol{x}\|}=0$
 则称 $\boldsymbol{f}$ 在 $\boldsymbol{x}_0$ 处可微，并称 $A\Delta \boldsymbol{x}$ 为 $\boldsymbol{f}$ 在 $\boldsymbol{x}_0$ 处的微分，记作 $\mathrm{d}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)=A\mathrm{d}\boldsymbol{x}$.
@@ 行 925: / 行 919: @@
 $z=f(u, v)$
-$\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial u}\mathrm{d}u+\frac{\partial z}{\partial v}\mathrm{d}v$
+$\displaystyle\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial u}\mathrm{d}u+\frac{\partial z}{\partial v}\mathrm{d}v$
 $u, v$ 可为自变量或中间变量。
@@ 行 937: / 行 931: @@
 （纯偏导）
-$\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial^2 z}{{\partial x}^2}=f_{xx}(x, y)$
+$\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial^2 z}{{\partial x}^2}=f_{xx}(x, y)$
-$\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial y})=\frac{\partial^2 z}{{\partial y}^2}=f_{yy}(x, y)$
+$\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial y})=\frac{\partial^2 z}{{\partial y}^2}=f_{yy}(x, y)$
 （混合偏导）
-$\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial^2 z}{{\partial x}\partial y}=f_{xy}(x, y)$
+$\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial^2 z}{{\partial x}\partial y}=f_{xy}(x, y)$
-$\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial y})=\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}=f_{yx}(x, y)$
+$\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial y})=\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}=f_{yx}(x, y)$
 ==== 混合偏导相等条件 ====
@@ 行 973: / 行 967: @@
 === 二元函数 ===
-$\mathbf{Th.\ \ 15.3.2}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\ \ 15.3.2}$
 设函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的邻域 $U$ 上具有 $k+1$ 阶连续偏导数，那么对于 $U$ 内每一点 $(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)$ 都有
@@ 行 989: / 行 983: @@
 === 多元函数 ===
-$\mathbf{Th.\ \ 15.3.3}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\ \ 15.3.3}$
 设函数 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 在点 $(x_1^0, \ldots, x_n^0)$ 附近具有 $k+1$ 阶连续偏导数，那么该点附近有
@@ 行 1011: / 行 1005: @@
 使用多重指标 $\boldsymbol{\alpha}$ 的高阶偏导数
-$\boldsymbol{D}^{\boldsymbol{\alpha}}f(\boldsymbol{x})=\frac{\partial^{|\boldsymbol{\alpha}|}f}{\partial x_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}}(x)$
+$\displaystyle\boldsymbol{D}^{\boldsymbol{\alpha}}f(\boldsymbol{x})=\frac{\partial^{|\boldsymbol{\alpha}|}f}{\partial x_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}}(x)$
-$\mathbf{Th.\ \ 15.3.4}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\ \ 15.3.4}$
 $D\subset \mathbb{R}^n$ 是凸区域，$f:D\to \mathbb{R}$ 具有 $m+1$ 阶连续偏导数，存在 $\theta \in (0, 1)$ 使得
@@ 行 1089: / 行 1083: @@
   - $u, v$ 在 $U((x_0, y_0))$ 内有一阶连续偏导，且
-$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F, G)}{\partial (x, v)}$
+$\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F, G)}{\partial (x, v)}$
-$\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F, G)}{\partial (u, x)}$
+$\displaystyle\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F, G)}{\partial (u, x)}$
-$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F, G)}{\partial (y, v)}$
+$\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F, G)}{\partial (y, v)}$
-$\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F, G)}{\partial (u, y)}$
+$\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F, G)}{\partial (u, y)}$
 ===== 15.5 隐函数定理的几何应用 =====
@@ 行 1139: / 行 1133: @@
 法线：
-$\frac{x-x_0}{F_x(x_0, y_0, z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(x_0, y_0, z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(x_0, y_0, z_0)}$
+$\displaystyle\frac{x-x_0}{F_x(x_0, y_0, z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(x_0, y_0, z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(x_0, y_0, z_0)}$
 ===== 15.6 多元函数的极值问题 =====
@@ 行 1147: / 行 1141: @@
 === 定义 ===
-$\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^n$，都有
+$\displaystyle\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^n$，都有
-$\boldsymbol{x}'A\boldsymbol{x}>0$，则称 $A$ 为正定矩阵。
+$\displaystyle\boldsymbol{x}'A\boldsymbol{x}>0$，则称 $A$ 为正定矩阵。
-$\boldsymbol{x}'A\boldsymbol{x}>0$，则称 $A$ 为半正定矩阵。
+$\displaystyle\boldsymbol{x}'A\boldsymbol{x}>0$，则称 $A$ 为半正定矩阵。
-$\boldsymbol{x}'A\boldsymbol{x}>0$，则称 $A$ 为负定矩阵。
+$\displaystyle\boldsymbol{x}'A\boldsymbol{x}>0$，则称 $A$ 为负定矩阵。
-$\boldsymbol{x}'A\boldsymbol{x}>0$，则称 $A$ 为半负定矩阵。
+$\displaystyle\boldsymbol{x}'A\boldsymbol{x}>0$，则称 $A$ 为半负定矩阵。
 否则属于不定矩阵。
@@ 行 1280: / 行 1274: @@
 ==== 二重积分 ====
-$\iint\limits_D f(x, y)\mathrm{d}\sigma = \lim\limits_{\lambda\to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i, \eta_i)\Delta\sigma_i$
+$\displaystyle\iint\limits_D f(x, y)\mathrm{d}\sigma = \lim\limits_{\lambda\to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i, \eta_i)\Delta\sigma_i$
 直角坐标系下可写为：
-$\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
+$\displaystyle\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
 ==== 二重积分的存在性 ====
-$\mathbf{Th.\;\; 16.2.1}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\;\; 16.2.1}$
 $f(x, y)$ 在 $D$ 上可积，则 $f(x, y)$ 在 $D$ 上有界。
-$\mathbf{Th.\;\; 16.2.2}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\;\; 16.2.2}$
 $f(x, y)$ 在 $D$ 上可积 $\iff \lim\limits_{\|T\|\to 0}S(T)=\lim\limits_{\|T\|\to 0}s(T)$。
-$\mathbf{Th.\;\; 16.2.3}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\;\; 16.2.3}$
 $f(x, y)$ 在 $D$ 上可积 $\iff \forall \varepsilon>0, \exists T, \mathrm{s.t.}\;\;S(t)-s(T)<\varepsilon$。
-$\mathbf{Th.\;\; 16.2.4}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\;\; 16.2.4}$
 有界闭域上的连续函数必可积。
-$\mathbf{Th.\;\; 16.2.5}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\;\; 16.2.5}$
 $f(x, y)$ 是定义在有界闭域上的有界函数，若其不连续点都落在有限条光滑曲线上，则 $f(x, y)$ 在该有界闭域内可积。
@@ 行 1312: / 行 1306: @@
 === 保数乘 ===
-$\iint\limits_{D}kf(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=k\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
+$\displaystyle\iint\limits_{D}kf(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=k\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
 === 保加 ===
-$\iint\limits_{D}[f(x,y)\pm g(x, y)]\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\pm\iint\limits_{D}g(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
+$\displaystyle\iint\limits_{D}[f(x,y)\pm g(x, y)]\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\pm\iint\limits_{D}g(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
 === 区域可加性 ===
-$\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint\limits_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\iint\limits_{D_2}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
+$\displaystyle\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint\limits_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\iint\limits_{D_2}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
 $(D=D_1\cup D_2, D_1\cap D_2=\varnothing)$
@@ 行 1332: / 行 1326: @@
 在 $D$ 上 $f(x, y)\le g(x, y)$，则有
-$\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\le \iint\limits_{D}g(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
+$\displaystyle\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\le \iint\limits_{D}g(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
 特别地，$\left|\iint\limits_{D}{f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}\right|\le \iint\limits_{D}{\left|f(x,y)\right|\mathrm{d}x\mathrm{d}y}$
@@ 行 1346: / 行 1340: @@
 在闭区域 $D$ 上 $f(x, y)$ 连续，$\sigma$ 为 $D$ 的面积，则在 $D$ 上至少存在一点 $(\xi, \eta)$ 使得
-$\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y= \sigma f(\xi,\eta)$
+$\displaystyle\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y= \sigma f(\xi,\eta)$
 ===== 16.2 二重积分的计算 =====
@@ 行 1398: / 行 1392: @@
 === 变量变换公式 ===
-$\mathbf{Th.\;\;}$
+$\displaystyle\mathbf{Th.\;\;}$
 $f(x, y)$ 在有界闭域 $D$ 上可积，若变换 $T: x=x(u, v), y=y(u,v)$ 将 $uv$ 平面上按段光滑封闭曲线所围的区域 $\Delta$ 一对一的映成 $xy$ 平面上的闭区域 $D$，函数 $x(u, v), y(u, v)$ 在 $\Delta$ 内分别具有一阶连续偏导数，且 $J(u, v)=\frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)}\neq 0, \forall (u, v)\in \Delta$，则
@@ 行 1448: / 行 1442: @@
 ==== 例 ====
-$\mathbf{Prove:}$ $$\int_0^x \mathrm{d}v\int_0^v\mathrm{d}u\int_0^uf(t)\mathrm{d}t = \frac{1}{2}\int_0^x(x-t)^2f(t)\mathrm{d}t$$
+$\displaystyle\mathbf{Prove:}$ $$\int_0^x \mathrm{d}v\int_0^v\mathrm{d}u\int_0^uf(t)\mathrm{d}t = \frac{1}{2}\int_0^x(x-t)^2f(t)\mathrm{d}t$$
-$\mathbf{Proof:}$
+$\displaystyle\mathbf{Proof:}$
 $$\because \int_0^v\mathrm{d}u\int_0^uf(t)\mathrm{d}t=\int_0^v\mathrm{d}t\int_t^v f(t) \mathrm{d}u=\int_0^v (v-t) f(t) \mathrm{d}t$$ $$\therefore \int_0^x \mathrm{d}v\int_0^v\mathrm{d}u\int_0^uf(t)\mathrm{d}t = \int_0^x \mathrm{d}v\int_0^v (v-t) f(t) \mathrm{d}t$$ $$= \int_0^x \mathrm{d}t\int_t^x (v-t) f(t) \mathrm{d}v=\int_0^x \mathrm{d}t\int_t^x (v-t) f(t) \mathrm{d}v$$ $$=\int_0^x \mathrm{d}t\left[\frac{1}{2}(v-t)^2 f(t)\right]_t^x=\frac{1}{2}\int_0^x(x-t)^2 f(t)\mathrm{d}t
@@ 行 1532: / 行 1526: @@
 设 $\Delta$ 是 $uv$ 平面上的一个区域，则称
-$\Sigma: \vec{r}=\vec{r}(u, v), (u, v)\in \Delta$
+$\displaystyle\Sigma: \vec{r}=\vec{r}(u, v), (u, v)\in \Delta$
 为曲面的向量方程，其中 $\vec{r}(u, v)\in \mathbb{R}^3$。
@@ 行 1835: / 行 1829: @@
 $$
-$\sqrt{EG-F^2}$ 称曲面的第一基本量
+$\displaystyle\sqrt{EG-F^2}$ 称曲面的第一基本量
 ==== 定义 ====
@@ 行 1845: / 行 1839: @@
 ==== 计算 ====
-$\Sigma$ 是正则曲面，参数方程为 $\vec{r}=\vec{v}(u, v), (u,v)\in \varDelta$，
+$\displaystyle\Sigma$ 是正则曲面，参数方程为 $\vec{r}=\vec{v}(u, v), (u,v)\in \varDelta$，
 函数 $f(x, y, z)$ 在 $\Sigma$ 上连续，则有
@@ 行 1884: / 行 1878: @@
 $z=z(x, y), (x, y)\in D$\\
-$\cos\alpha = \frac{\mp z_x}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}},$\\
+$\cos\alpha = \frac{\mp z_x\displaystyle}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}},$\\
 $\cos\beta = \frac{\mp z_y}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}},$\\
-$\cos\gamma = \frac{\pm 1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}.$
+\displaystyle$\cos\gamma = \frac{\pm 1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}.$
+\displaystyle
 $$
 \iint\limits_{S}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y
@@ 行 1895: / 行 1889: @@
 ==== 参数方程处理 ====
-$\vec{r}=\vec{r}(u, v), (u, v)\in \Delta$
+$\displaystyle\vec{r}=\vec{r}(u, v), (u, v)\in \Delta$
-$\vec{F}=(P, Q, R)$，在 $S$ 上连续
+$\displaystyle\vec{F}=(P, Q, R)$，在 $S$ 上连续
 $$
@@ 行 1911: / 行 1905: @@
 $$
-\iiint\limits_{V}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\oiint\limits_{S}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y
+\iiint\limits_{V}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\iint\limits_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y
 $$
@@ 行 1954: / 行 1948: @@
 向量场：\\
-$\vec{F}(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))$
+$\vec{F}(x,\displaystyle y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))$
 ==== 梯度场 ====
@@ 行 1977: / 行 1971: @@
 ==== 散度场 ====
-$\vec{F}(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))$ 为空间区域 $V$ 上的向量值函数，定义数量函数
+$\displaystyle\vec{F}(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))$ 为空间区域 $V$ 上的向量值函数，定义数量函数
 $$D(x, y, z)=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$
@@ 行 1986: / 行 1980: @@
 $$
-\iiint\limits_{V}\mathrm{div}\;\vec{F}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\oiint\limits_S \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{S}
+\iiint\limits_{V}\mathrm{div}\;\vec{F}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\iint\limits_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{S}
 $$
 上式两边取某一点 $M_0$ 处的极限，可知 $\mathrm{div}\;\vec{F}(M_0)$ 是流量对体积 $V$ 的变化率。
-$\mathrm{div}\;\vec{F}(M_0)>0$，流出，称为源
+$\displaystyle\mathrm{div}\;\vec{F}(M_0)>0$，流出，称为源
-$\mathrm{div}\;\vec{F}(M_0)<0$，流入，称为汇
+$\displaystyle\mathrm{div}\;\vec{F}(M_0)<0$，流入，称为汇
 若 $\forall P\in V, \mathrm{div}\;\vec{F}(P)=0$，称 $\vec{F}$ 是无源场。
@@ 行 2017: / 行 2011: @@
 ==== 旋度场 ====
-$\vec{F}(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))$ 为空间区域 $V$ 上的向量值函数，定义向量函数：
+$\displaystyle\vec{F}(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))$ 为空间区域 $V$ 上的向量值函数，定义向量函数：
 $$
@@ 行 2069: / 行 2063: @@
 === 路径无关性 ===
-$\Omega\subset\mathbb{R}^3$ 是单连通区域，$P, Q, R$ 在 $\Omega$ 上连续，且有一阶连续偏导，则下列四个条件等价：
+$\displaystyle\Omega\subset\mathbb{R}^3$ 是单连通区域，$P, Q, R$ 在 $\Omega$ 上连续，且有一阶连续偏导，则下列四个条件等价：
   - 对任一按段光滑封闭曲线 $L$，$\oint\limits_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z = 0$

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