2020-2021:teams:namespace:二次域及有理逼近相关问题
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2020-2021:teams:namespace:二次域及有理逼近相关问题 [2020/06/15 16:38] great_designer [Gauss整数] |
2020-2021:teams:namespace:二次域及有理逼近相关问题 [2020/06/15 17:09] (当前版本) great_designer [三种整环] |
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| 在虚二次域中，只有-1、-2、-3、-7和-11对应的虚二次整环是Euclid整环，其余均不满足辗转相除法。 | 在虚二次域中，只有-1、-2、-3、-7和-11对应的虚二次整环是Euclid整环，其余均不满足辗转相除法。 | ||
| - | 在实二次域中，只有2、3、5、7、11、13、17、19、21、29、33、37、41、57和73，共15个整环是Euclid整环。 | + | 在实二次域中，只有2、3、5、6、7、11、13、17、19、21、29、33、37、41、57和73，共16个整环是Euclid整环。 |
| 对于二次域，有很重要的概念叫类数。理想的全体除以理想构成的群，得到商群的大小就称为类数。类数为1，说明相应的整环是主理想整环。 | 对于二次域，有很重要的概念叫类数。理想的全体除以理想构成的群，得到商群的大小就称为类数。类数为1，说明相应的整环是主理想整环。 | ||
| 行 110: | 行 110: | ||
| 好在之前的嵌套关系成立。我们只需知道高斯整环（-1）和艾森斯坦整环（-3）都是Euclid整环，满足辗转相除法和唯一分解定理就够了。 | 好在之前的嵌套关系成立。我们只需知道高斯整环（-1）和艾森斯坦整环（-3）都是Euclid整环，满足辗转相除法和唯一分解定理就够了。 | ||
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| + | 参见OEIS： | ||
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| + | [[http://oeis.org/A048981|A048981 Squarefree values of n for which the quadratic field Q(sqrt(n)) is norm-Euclidean]] | ||
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| + | [[http://oeis.org/A003172|A003172 Q(sqrt(n)) is a unique factorization domain (or simple quadratic field)]] | ||
| ====相伴与唯一分解==== | ====相伴与唯一分解==== | ||
| 行 131: | 行 137: | ||
| 一般将$Q(i)$称为高斯域，相应的$Z(i)$为高斯整环，高斯整环中的每个元素为高斯整数，即复平面上正方形格点。 | 一般将$Q(i)$称为高斯域，相应的$Z(i)$为高斯整环，高斯整环中的每个元素为高斯整数，即复平面上正方形格点。 | ||
| - | 高斯域恰好是四次分圆域，因此常用来解决四次互反律问题。 | + | 高斯域恰好是四次分圆域，因此常用来解决**四次互反律**问题。 |
| - | 高斯整数中，一个数有三个相伴数。 | + | 高斯整数中，一个数有四个相伴数（含本身）。 |
| 高斯整数中的全体素数分为三类： | 高斯整数中的全体素数分为三类： | ||
| 行 198: | 行 204: | ||
| ====Eisenstein整数==== | ====Eisenstein整数==== | ||
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| + | 注：Eisenstein（艾森斯坦）是Gauss的得意门生。 | ||
| 一般将$Q(\sqrt{3}i)$称为艾森斯坦域，相应的$Z(\sqrt{3}i)$为艾森斯坦整环，艾森斯坦整环中的每个元素为艾森斯坦整数，即复平面上正六边形格点。 | 一般将$Q(\sqrt{3}i)$称为艾森斯坦域，相应的$Z(\sqrt{3}i)$为艾森斯坦整环，艾森斯坦整环中的每个元素为艾森斯坦整数，即复平面上正六边形格点。 | ||
| - | 艾森斯坦域恰好是三次分圆域，也是六次分圆域，因此常用来解决三次互反律问题。结合已经解决的二次互反律，就能给出六次剩余的手动计算。同样，如果结合高斯域中的四次互反律，就能解决十二次剩余的手动计算。 | + | 艾森斯坦域恰好是三次分圆域，也是六次分圆域，因此常用来解决**三次互反律**问题。结合已经解决的二次互反律，就能给出六次剩余的手动计算。同样，如果结合高斯域中的四次互反律，就能解决十二次剩余的手动计算。 |
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| + | 艾森斯坦整数中，一个数有六个相伴数（含本身）。 | ||
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| + | 同样，艾森斯坦整数中的全体素数分为三类： | ||
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| + | **分歧**数：$\frac{3+\sqrt{3}i}{2}$，为原来的3的因子。 | ||
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| + | **惯性**数：所有正整数中3k+2形式（2和6k+5形式）的素数，在艾森斯坦整数中仍旧为素数。 | ||
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| + | **分裂**数：所有正整数中3k+1形式（6k+1形式）的素数，在高斯整数中可以拆成一对共轭的两个素数，这两个素数不相伴。这样的新素数是分裂的。同样，这两个共轭的素数是不同的，即共轭的两个分裂数是互素的。 | ||
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| + | 对于素数中的分裂数和惯性数，本原数的指定也有着严格的规定，这是为了解决三次剩余问题的方便。 | ||
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| + | 规定：艾森斯坦整数中的本原素数$\pi$有： | ||
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| + | $$\pi\equiv 1 \mod 3$$ | ||
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| + | 在3的缩系中有6个剩余类，除了$\frac{3+\sqrt{3}i}{2}$的每个素数的每个相伴数恰好落入其中一类。注意，这与通常的3的剩余类不同。艾森斯坦整数中3的全部剩余类有9个，而缩系中有6个。 | ||
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| + | 对于$\frac{3+\sqrt{3}i}{2}$与它的相伴数，可以指定$\frac{3+\sqrt{3}i}{2}$是本原素数。 | ||
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| + | 艾森斯坦整数可以解决下面形式的方程的解： | ||
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| + | $$x^2+3y^2=z^2$$ | ||
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| + | 或者： | ||
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| + | $$x^2-xy+y^2=z^2$$ | ||
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| + | 或者： | ||
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| + | $$x^2+xy+y^2=z^2$$ | ||
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| + | 后两个在整数范畴是等价的。这里的求解完全仿照勾股方程即可，不再赘述。 | ||
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| + | 艾森斯坦整数同样能证明相应的三次形式无解。即： | ||
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| + | $$x^3+y^3=z^3$$ | ||
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| + | 这是因为立方和公式拆分后，左边会多出艾森斯坦整数范数的一项。 | ||
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| + | 利用艾森斯坦整数的唯一分解，可以解决一种椭圆上整点问题。即给定范数为n的条件下，有多少个艾森斯坦整数满足这个范数n。三种形式为： | ||
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| + | $$x^2+3y^2=n$$ | ||
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| + | 或者： | ||
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| + | $$x^2-xy+y^2=n$$ | ||
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| + | 或者： | ||
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| + | $$x^2+xy+y^2=n$$ | ||
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| + | 方法仍旧完全一样，不再赘述。 | ||
| =====实二次域===== | =====实二次域===== | ||
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