2020-2021:teams:namespace:二次域及有理逼近相关问题
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2020-2021:teams:namespace:二次域及有理逼近相关问题 [2020/06/15 16:53] great_designer [Eisenstein整数] |
2020-2021:teams:namespace:二次域及有理逼近相关问题 [2020/06/15 17:09] (当前版本) great_designer [三种整环] |
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| 在虚二次域中，只有-1、-2、-3、-7和-11对应的虚二次整环是Euclid整环，其余均不满足辗转相除法。 | 在虚二次域中，只有-1、-2、-3、-7和-11对应的虚二次整环是Euclid整环，其余均不满足辗转相除法。 | ||
| - | 在实二次域中，只有2、3、5、7、11、13、17、19、21、29、33、37、41、57和73，共15个整环是Euclid整环。 | + | 在实二次域中，只有2、3、5、6、7、11、13、17、19、21、29、33、37、41、57和73，共16个整环是Euclid整环。 |
| 对于二次域，有很重要的概念叫类数。理想的全体除以理想构成的群，得到商群的大小就称为类数。类数为1，说明相应的整环是主理想整环。 | 对于二次域，有很重要的概念叫类数。理想的全体除以理想构成的群，得到商群的大小就称为类数。类数为1，说明相应的整环是主理想整环。 | ||
| 行 110: | 行 110: | ||
| 好在之前的嵌套关系成立。我们只需知道高斯整环（-1）和艾森斯坦整环（-3）都是Euclid整环，满足辗转相除法和唯一分解定理就够了。 | 好在之前的嵌套关系成立。我们只需知道高斯整环（-1）和艾森斯坦整环（-3）都是Euclid整环，满足辗转相除法和唯一分解定理就够了。 | ||
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| + | 参见OEIS： | ||
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| + | [[http://oeis.org/A048981|A048981 Squarefree values of n for which the quadratic field Q(sqrt(n)) is norm-Euclidean]] | ||
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| + | [[http://oeis.org/A003172|A003172 Q(sqrt(n)) is a unique factorization domain (or simple quadratic field)]] | ||
| ====相伴与唯一分解==== | ====相伴与唯一分解==== | ||
| 行 131: | 行 137: | ||
| 一般将$Q(i)$称为高斯域，相应的$Z(i)$为高斯整环，高斯整环中的每个元素为高斯整数，即复平面上正方形格点。 | 一般将$Q(i)$称为高斯域，相应的$Z(i)$为高斯整环，高斯整环中的每个元素为高斯整数，即复平面上正方形格点。 | ||
| - | 高斯域恰好是四次分圆域，因此常用来解决四次互反律问题。 | + | 高斯域恰好是四次分圆域，因此常用来解决**四次互反律**问题。 |
| 高斯整数中，一个数有四个相伴数（含本身）。 | 高斯整数中，一个数有四个相伴数（含本身）。 | ||
| 行 203: | 行 209: | ||
| 一般将$Q(\sqrt{3}i)$称为艾森斯坦域，相应的$Z(\sqrt{3}i)$为艾森斯坦整环，艾森斯坦整环中的每个元素为艾森斯坦整数，即复平面上正六边形格点。 | 一般将$Q(\sqrt{3}i)$称为艾森斯坦域，相应的$Z(\sqrt{3}i)$为艾森斯坦整环，艾森斯坦整环中的每个元素为艾森斯坦整数，即复平面上正六边形格点。 | ||
| - | 艾森斯坦域恰好是三次分圆域，也是六次分圆域，因此常用来解决三次互反律问题。结合已经解决的二次互反律，就能给出六次剩余的手动计算。同样，如果结合高斯域中的四次互反律，就能解决十二次剩余的手动计算。 | + | 艾森斯坦域恰好是三次分圆域，也是六次分圆域，因此常用来解决**三次互反律**问题。结合已经解决的二次互反律，就能给出六次剩余的手动计算。同样，如果结合高斯域中的四次互反律，就能解决十二次剩余的手动计算。 |
| 艾森斯坦整数中，一个数有六个相伴数（含本身）。 | 艾森斯坦整数中，一个数有六个相伴数（含本身）。 | ||
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