2020-2021:teams:namespace:整数分拆问题
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2020-2021:teams:namespace:整数分拆问题 [2020/05/17 21:53] great_designer |
2020-2021:teams:namespace:整数分拆问题 [2020/05/17 22:12] (当前版本) great_designer [分拆数] |
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| 行 140: | 行 140: | ||
| $$pd(n,k)=pd(n-k,k-1)+pd(n-k,k)$$ | $$pd(n,k)=pd(n-k,k-1)+pd(n-k,k)$$ | ||
| - | 同样像组合数一样列出表格，每个格里的数，等于该格上一行左数，所在列数个格子中的数，加上该格向上方数，所在列数个格子中的数。 | + | 同样像组合数一样列出表格，每个格里的数，等于该格前一列上数，所在列数个格子中的数，加上该格向上方数，所在列数个格子中的数。 |
| | 下n右k || -1 || 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 | | | 下n右k || -1 || 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 | | ||
| 行 146: | 行 146: | ||
| | 0 || 0 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 | | | 0 || 0 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 | | ||
| | 1 || 0 || 0 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 | | | 1 || 0 || 0 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 | | ||
| - | | 2 || 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 | | + | | 2 || 0 || 0 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 | |
| - | | 3 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 | | + | | 3 || 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 | |
| - | | 4 || 0 || 0 || 1 || 2 || 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 | | + | | 4 || 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 | |
| - | | 5 || 0 || 0 || 1 || 2 || 2 || 1 || 1 || 0 || 0 || 0 | | + | | 5 || 0 || 0 || 1 || 2 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 | |
| - | | 6 || 0 || 0 || 1 || 3 || 3 || 2 || 1 || 1 || 0 || 0 | | + | | 6 || 0 || 0 || 1 || 2 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 | |
| - | | 7 || 0 || 0 || 1 || 3 || 4 || 3 || 2 || 1 || 1 || 0 | | + | | 7 || 0 || 0 || 1 || 3 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 | |
| - | | 8 || 0 || 0 || 1 || 4 || 5 || 5 || 3 || 2 || 1 || 1 | | + | | 8 || 0 || 0 || 1 || 3 || 2 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 | |
| 因此按列更新对于存储更有利。代码中将后一位缩减了空间，仅保留相邻两项。 | 因此按列更新对于存储更有利。代码中将后一位缩减了空间，仅保留相邻两项。 | ||
| - | <hidden k部互异分拆数 p(n,k)> | + | <hidden k部互异分拆数 pd(n,k)> |
| <code c> | <code c> | ||
| 行 193: | 行 193: | ||
| } | } | ||
| } | } | ||
| - | |||
| - | </hidden> | ||
| </code> | </code> | ||
| + | |||
| + | </hidden> | ||
| ===== 小结论三 ===== | ===== 小结论三 ===== | ||
| - | 奇分拆数：自然数n的各部分都是奇数的分拆方法数。 | + | 奇分拆数：pe_n。自然数n的各部分都是奇数的分拆方法数。 |
| 有一个显然的等式： | 有一个显然的等式： | ||
| 行 206: | 行 206: | ||
| $$∏_{i=1}^∞ (1+x^i ) =\frac{∏_{i=1}^∞ (1-x^{2i} ) }{∏_{i=1}^∞ (1-x^i ) }=∏_{i=1}^∞ \frac{1}{1-x^{2i-1} }$$ | $$∏_{i=1}^∞ (1+x^i ) =\frac{∏_{i=1}^∞ (1-x^{2i} ) }{∏_{i=1}^∞ (1-x^i ) }=∏_{i=1}^∞ \frac{1}{1-x^{2i-1} }$$ | ||
| - | 最左边是互异分拆数的生成函数，最右边是奇分拆数的生成函数。两者对应系数相同，因此，奇分拆数和互异分拆数相同，均为〖pd〗_n。 | + | 最左边是互异分拆数的生成函数，最右边是奇分拆数的生成函数。两者对应系数相同，因此，奇分拆数和互异分拆数相同： |
| + | |||
| + | $${pe}_n={pd}_n$$ | ||
| + | |||
| + | 但显然k部奇分拆数和k部互异分拆数不是一个概念，这里就不列出了。 | ||
| 再引入两个概念： | 再引入两个概念： | ||
| - | 互异偶部分拆数：〖pe〗_n。自然数n的部分数为偶数的互异分拆方法数。（Even） | + | 互异偶部分拆数：pde_n。自然数n的部分数为偶数的互异分拆方法数。（Even） |
| - | 互异奇部分拆数：〖po〗_n。自然数n的部分数为奇数的互异分拆方法数。（Odd） | + | 互异奇部分拆数：pdo_n。自然数n的部分数为奇数的互异分拆方法数。（Odd） |
| 因此有： | 因此有： | ||
| - | $${pd}_n={pe}_n+{po}_n$$ | + | $${pd}_n={pde}_n+{pdo}_n$$ |
| + | |||
| + | 同样也有相应的k部概念。由于过于复杂，不再列出。 | ||
| ===== 分拆数 ===== | ===== 分拆数 ===== | ||
| 行 230: | 行 236: | ||
| 具体地，互异偶部分拆在展开式中被正向计数，互异奇部分拆在展开式中被负向计数。因此展开式中各项系数为两方法数之差。即： | 具体地，互异偶部分拆在展开式中被正向计数，互异奇部分拆在展开式中被负向计数。因此展开式中各项系数为两方法数之差。即： | ||
| - | $$∑_{i=0}^∞ ({pe}_n-{po}_n ) x^n =∏_{i=1}^∞ (1-x^i ) $$ | + | $$∑_{i=0}^∞ ({pde}_n-{pdo}_n ) x^n =∏_{i=1}^∞ (1-x^i ) $$ |
| 接下来说明，多数情况下，上述两方法数相等，在展开式中系数为0；仅在少数位置，两方法数相差1或-1。 | 接下来说明，多数情况下，上述两方法数相等，在展开式中系数为0；仅在少数位置，两方法数相差1或-1。 | ||
2020-2021/teams/namespace/整数分拆问题.1589723638.txt.gz · 最后更改: 2020/05/17 21:53 由 great_designer
