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--- 2020-2021:teams:namespace:裴蜀定理与一次不定方程 [2020/05/11 21:22]
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great_designer [著名结论]
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+定理本身不讲了。直接上结论：
+=====著名结论=====
+设自然数a、b和整数n。a与b互素。考察不定方程：
+$$ax+by=n$$
+其中x和y为自然数。如果方程有解，称n可以被a、b表示。
+记C=ab-a-b。由a与b互素，C必然为奇数。则有结论：
+**对任意的整数n，n与C-n中有且仅有一个可以被表示。**
+即：可表示的数与不可表示的数在区间[0,C]对称（关于C的一半对称）。0可被表示，C不可被表示；负数不可被表示，大于C的数可被表示。
+证明：
+由于a、b互素，因此原方程有整数解。设解为：
+$$\begin{cases}x=x_0+bt\\y=y_0-at\end{cases}$$
+其中t为整数。取适当的t，使得y位于0到a-1之间。这只需在y0上加上或减去若干个a，即可得到这样的t。
+第一步：证明大于C的数都可以被表示。当n大于C时：
+$$ax=n-by>ab-a-b-by\geqslant ab-a-b-b(a-1)=-a$$
+于是x也是非负整数。
+第二步：证明C不可被表示，进而n与C-n不可能都被表示。
+反证法。若ax+by=ab-a-b有非负整数解x、y，则：
+$$ab=a(x+1)+b(y+1)$$
+由于a与b互素，所以a整除y+1，b整除x+1，a不超过y+1，b不超过x+1。于是有：
+$$ab=a(x+1)+b(y+1)\geqslant ab+ab=2ab$$
+矛盾！第二步证完。
+第三步：证明如果n不可被表示，则C-n可被表示。
+由上可知，若n不可被表示，由于上述方程中已规定y在0到a-1之间，则x为负。所以：
+$$ab-a-b-ax-by=a(-x-1)+b(a-1-y)$$
+显然-x-1和a-1-y均非负，于是C-n可被表示。
+=====几何意义=====
+重新观察方程ax+by=n，将它看成一条直线。直线与两坐标轴在第一象限围成三角形。
+当n小于ab的时候，这个直线在第一象限，至多只能通过一个整点。
+根据上述讨论：当n可以被表示的时候，直线恰好经过一个整点；当n不可以被表示的时候，直线不经过整点（在第一象限）。
+这结论也可以理解为：作三角形(0,0)(b,0)(0,a)。随着n从0不断增加，直线向右上方平移，整点会一个一个地通过直线，直到最后才撞上两个整点。
+因此，小于等于n的能被表示的非负整数的数量，恰好就是直线ax+by=n（含）与两坐标轴（含）在第一象限围成三角形覆盖的整点个数。
+（另一种解释）
+考虑模b意义下每个剩余系中最小能被表示的值是多少——大于他们的可以通过增加若干个b得到。
+观察原方程，a的若干倍数0, a, · · · , (b − 1)a 在mod b 意义下互不相同。这些数恰好是这些最小值。那么当n<ab时，小于等于n的能被表示的非负整数的数量是：
+$$ \sum\limits_{i=0}^{\left[\frac{n}{a}\right]}\left[\frac{n − ia}{b}\right]$$
+这是一个非常经典的直线下整点问题，恰好是这条直线：
+$$y=-\frac{a}{b}x+\frac{n}{b}$$
+即ax+by=n。
+（解释完）
+使用类欧几里得算法可以在O(log max(a,b)) 的时间内求解。因此我们得到了计算小于等于n的能被表示的非负整数的数量的工具。
+<del>但是直线下整点（类欧几里得）不会。只能等待大佬来完善了。</del>
 以下是例题。
-====题目====
+=====题目=====
 双城是一个一切都是双胞胎的地方，除了他们的硬币。他们使用两种硬币，其价值相当于A和B克黄金。那里的人很了解欧几里德算法，所以我们保证A和B的最大公约数是1。他们会告诉你为什么硬币系统是有效的：通过求解线性不定方程Ax+by=C，每一个可能的整数C都会有一个结果。
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 对于每个测试用例，在单独的一行上打印一个表示第K个最小不公平价格的整数。
-====样例====
+=====样例=====
 输入
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 123570404
-====题解====
+=====题解=====
-本题找到了“逆变换”结论：给定值，判断是第几个。因此最终就是一个二分查找。
-考虑mod B = 0 · · ·B − 1 的最小能被表示的值是多少——大于他们的可以通过+kB 得到。假设这样的最小值分别为m0,m1, · · · ,mB−1，那么小于等于K 的能被表示的非负整数的数量是：
-$$Σ^{B−1}_{i=0}⌊\frac{max(K − mi + B, 0)}{B}⌋$$
-考虑如何求mi。由反证法可知0, A, · · · , (B − 1)A 在mod B 意义下必然互不相同，而这些数就枚举了mi。因此，当K < AB 时，上式化为：
-$$ Σ_{i=0}^{⌊\frac{K}{A}⌋}⌊\frac{K − iA}{B}⌋$$
-这是一个非常经典的直线下整点问题，使用类欧几里得算法可以在O(log max(A,B)) 的时间内求解。因此我们得到了计算小于等于K 的能被表示的非负整数的数量的工具，再二分一下就能解决原问题了。时间复杂度O(T log max(A,B) log min(K,AB))，可以通过A,B ≤ 1018, T ≤ 1000 的数据，也即本题原本的数据范围。
+本题利用了上述结论：给定值，判断是第几个。因此最终就是一个二分查找。二分一下就能解决原问题了。时间复杂度O(T log max(A,B) log min(K,AB))，可以通过A,B ≤ 1018, T ≤ 1000 的数据，也即本题原本的数据范围。
 考虑到直线下整点是一个掏板子工作，因此放过了暴力。暴力可以这么写：假设A < B，我们尝试计算[kB, (k + 1)B) 这一段里有多少可以被表达出来的，那其实就是{(iA mod B) + kB|iA < (k + 1)B}的集合大小，枚举iA 计算确定答案在哪一段后，再在段内确定就好了——而段内有多少能被表达的已经被枚举了，打好标记for 一下就行了。时间复杂度O(T max(A,B))。

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