2020-2021:teams:namespace:裴蜀定理与一次不定方程
差别
这里会显示出您选择的修订版和当前版本之间的差别。
| 两侧同时换到之前的修订记录 前一修订版 后一修订版 | 前一修订版 | ||
|
2020-2021:teams:namespace:裴蜀定理与一次不定方程 [2020/05/11 22:51] great_designer [小于等于K 的能被表示的非负整数的数量] |
2020-2021:teams:namespace:裴蜀定理与一次不定方程 [2020/05/11 22:56] (当前版本) great_designer [著名结论] |
||
|---|---|---|---|
| 行 11: | 行 11: | ||
| 其中x和y为自然数。如果方程有解，称n可以被a、b表示。 | 其中x和y为自然数。如果方程有解，称n可以被a、b表示。 | ||
| - | 记A=ab-a-b。由a与b互素，A必然为奇数。则有结论： | + | 记C=ab-a-b。由a与b互素，C必然为奇数。则有结论： |
| - | **对任意的整数n，n与A-n中有且仅有一个可以被表示。** | + | **对任意的整数n，n与C-n中有且仅有一个可以被表示。** |
| - | 即：可表示的数与不可表示的数在区间[0,A]对称（关于A的一半对称）。0可被表示，A不可被表示；负数不可被表示，大于A的数可被表示。 | + | 即：可表示的数与不可表示的数在区间[0,C]对称（关于C的一半对称）。0可被表示，C不可被表示；负数不可被表示，大于C的数可被表示。 |
| 证明： | 证明： | ||
| 行 25: | 行 25: | ||
| 其中t为整数。取适当的t，使得y位于0到a-1之间。这只需在y0上加上或减去若干个a，即可得到这样的t。 | 其中t为整数。取适当的t，使得y位于0到a-1之间。这只需在y0上加上或减去若干个a，即可得到这样的t。 | ||
| - | 第一步：证明大于A的数都可以被表示。当n大于A时： | + | 第一步：证明大于C的数都可以被表示。当n大于C时： |
| - | $$ax=c-by>ab-a-b-by\geqslant ab-a-b-b(a-1)=-a$$ | + | $$ax=n-by>ab-a-b-by\geqslant ab-a-b-b(a-1)=-a$$ |
| 于是x也是非负整数。 | 于是x也是非负整数。 | ||
| - | 第二步：证明A不可被表示，进而n与A-n不可能都被表示。 | + | 第二步：证明C不可被表示，进而n与C-n不可能都被表示。 |
| 反证法。若ax+by=ab-a-b有非负整数解x、y，则： | 反证法。若ax+by=ab-a-b有非负整数解x、y，则： | ||
| 行 43: | 行 43: | ||
| 矛盾！第二步证完。 | 矛盾！第二步证完。 | ||
| - | 第三步：证明如果n不可被表示，则A-n可被表示。 | + | 第三步：证明如果n不可被表示，则C-n可被表示。 |
| 由上可知，若n不可被表示，由于上述方程中已规定y在0到a-1之间，则x为负。所以： | 由上可知，若n不可被表示，由于上述方程中已规定y在0到a-1之间，则x为负。所以： | ||
| 行 49: | 行 49: | ||
| $$ab-a-b-ax-by=a(-x-1)+b(a-1-y)$$ | $$ab-a-b-ax-by=a(-x-1)+b(a-1-y)$$ | ||
| - | 显然-x-1和a-1-y均非负，于是A-n可被表示。 | + | 显然-x-1和a-1-y均非负，于是C-n可被表示。 |
| =====几何意义===== | =====几何意义===== | ||
2020-2021/teams/namespace/裴蜀定理与一次不定方程.1589208697.txt.gz · 最后更改: 2020/05/11 22:51 由 great_designer
