2020-2021:teams:no_morning_training:shaco:知识点:数论:生成函数
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2020-2021:teams:no_morning_training:shaco:知识点:数论:生成函数 [2020/05/28 08:29] shaco |
2020-2021:teams:no_morning_training:shaco:知识点:数论:生成函数 [2020/05/28 08:34] (当前版本) shaco |
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| 行 10: | 行 10: | ||
| \[\sum_{i=0}^{\infty}{C_{i+k-1}^{k-1}}{x^i}=\frac{1}{(1-x)^k}\] | \[\sum_{i=0}^{\infty}{C_{i+k-1}^{k-1}}{x^i}=\frac{1}{(1-x)^k}\] | ||
| ====== 解决问题 ===== | ====== 解决问题 ===== | ||
| - | 将取不同物品的方案的生成函数相乘，得到的函数中$x^i$的系数即是共取i个物品的方案数。 | + | 将取不同物品的方案的生成函数相乘，得到的函数中$x^i$的系数即是共取i个物品的方案数。\\ |
| + | 通常通过化简约分的方式得到一个形状比较好的化简的生成函数，再将其还原为数列的表达方式，通过组合数学的方法计算系数。 | ||
| 看一个例子 | 看一个例子 | ||
| 我们要从苹果、香蕉、橘子和梨中拿一些水果出来，要求苹果只能拿偶数个，香蕉的个数要是5的倍数，橘子最多拿4个，梨要么不拿，要么只能拿一个。问按这样的要求拿n个水果的方案数。 | 我们要从苹果、香蕉、橘子和梨中拿一些水果出来，要求苹果只能拿偶数个，香蕉的个数要是5的倍数，橘子最多拿4个，梨要么不拿，要么只能拿一个。问按这样的要求拿n个水果的方案数。 | ||
| - | 苹果的生成函数是$\frac{1}{1-x^2}$，香蕉的生成函数是$\frac{1}{1-x^5}$，橘子的生成函数是$\frac{1-x^5}{1-x}，梨的生成函数是$(1+x)$。\\ | + | 苹果的生成函数是$\frac{1}{1-x^2}$，香蕉的生成函数是$\frac{1}{1-x^5}$，橘子的生成函数是$\frac{1-x^5}{1-x}$，梨的生成函数是$(1+x)$。\\ |
| - | 将它们相乘得到$\frac{1}{(1-x)^2}$，即为$1+2x+3x^2+···$，于是取''n''种水果就有''n+1''种方案。 | + | 将它们相乘得到$\frac{1}{(1-x)^2}$，即为$1+2x+3x^2+···$，因此取''n''个水果的方案数就是''n+1''。 |
| ====== 例题 ===== | ====== 例题 ===== | ||
| 先贴一个吧 | 先贴一个吧 | ||
| [[https://www.luogu.com.cn/problem/P2000|洛谷p2000 拯救世界]] | [[https://www.luogu.com.cn/problem/P2000|洛谷p2000 拯救世界]] | ||
2020-2021/teams/no_morning_training/shaco/知识点/数论/生成函数.1590625743.txt.gz · 最后更改: 2020/05/28 08:29 由 shaco
