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====== Atcoder Rugular Contest 107 ======

[[https://atcoder.jp/contests/arc107|比赛链接]]

===== D - Number of Multisets =====

==== 题意 ====

给定 $N,K$。要求将 $K$ 分解为 $N$ 个数，每个数均为 $1,\frac 12,\frac 14\cdots \frac 1{2^i}\cdots$询问分解方案数。

==== 题解 ====

设 $\text{dp}(i,j)$ 表示需要将当前值分解为 $i$ 个数，且如果使用当前可以用的最大的数分解需要 $j$ 个的方案数。

于是假如使用一个当前可以用的最大的数，则有 $\text{dp}(i,j)\gets \text{dp}(i-1,j-1)$ 表示使用一个当前可以用的最大的数。

$\text{dp}(i,j)\gets \text{dp}(i,j<<1)$ 表示禁止使用当前可以用的最大的数。于是可以 $O(nk)$ 完成转移。

<hidden 查看代码>
<code cpp>
const int MAXN=3005,Mod=998244353;
int dp[MAXN][MAXN];
int dfs(int n,int k){
	if(k>n)return 0;
	if(n==0||k==0)return n==0&&k==0;
	if(~dp[n][k])return dp[n][k];
	return dp[n][k]=(dfs(n-1,k-1)+dfs(n,k<<1))%Mod;
}
int main()
{
	int n=read_int(),k=read_int();
	mem(dp,-1);
	enter(dfs(n,k));
	return 0;
}
</code>
</hidden>

===== F - Sum of Abs =====

==== 题意 ====

给定 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图。图中每个点有两个权值 $a_i,b_i$。

要求选择若干点并进行删除(可以不选)，费用为所有选择的点的 $a_i$ 之和。然后收益为剩下图中每个连通块的 $b_i$ 之和的绝对值之和。

要求输出最大的收益 $-$ 费用。

==== 题解 ====

对于剩下图的一个连通块的收益，要么为 $\sum b_i$，要么均为 $\sum -b_i$。

于是对于一个点，它的收益为 $-a_i,-b_i,b_i$ 三者中的一种。

同时对于原图中一条边对应的两个点 $u,v$，要满足约束不出现者两个点贡献为 $-b_u,b_v$ 或 $b_u,-b_v$ 的情况。

然后开始建图，需要最大化收益，则不妨将所有收益取相反数，然后跑最小割模型。

将一个点 $i$ 拆为 $x_i$ 和 $y_i$，然后源点 $s\to x_i$ 连一条容量为 $-b_i$ 的边，$x_i\to y_i$ 连一条容量为 $a_i$ 的边，$y_i\to t$ 连一条容量为 $b_i$ 的边。

于是这样就可以表示一个点需要从三个收益中选择一个，接下来是对约束的控制，不妨设原图中 $u,v$ 之间有一条连边。

于是 $y_v\to x_u$ 和 $y_u\to x_v$ 之间连一条权值为 $\infty$ 的边，这样就可以禁止只选择 $s\to x_u,y_v\to t$ 和 $s\to x_v,y_u\to t$ 的情况。

最后由于最小割模型不能处理负容量的边，于是考虑为原图中每个点对应的三条边加上 $|b_i|$ 的偏移量，总时间复杂度 $O(n^2(n+m))$。

<hidden 查看代码>
<code cpp>
const int MAXN=305*2,MAXM=305*5,Inf=0x7fffffff;
struct Edge{
	int to,cap,next;
	Edge(int to=0,int cap=0,int next=0){
		this->to=to;
		this->cap=cap;
		this->next=next;
	}
}edge[MAXM<<1];
int head[MAXN],edge_cnt;
void Clear(){mem(head,-1);edge_cnt=0;}
void Insert(int u,int v,int c){
	edge[edge_cnt]=Edge(v,c,head[u]);
	head[u]=edge_cnt++;
	edge[edge_cnt]=Edge(u,0,head[v]);
	head[v]=edge_cnt++;
}
struct Dinic{
	int s,t;
	int pos[MAXN],vis[MAXN],dis[MAXN];
	bool bfs(int k){
		queue<int>q;
		q.push(s);
		vis[s]=k,dis[s]=0,pos[s]=head[s];
		while(!q.empty()){
			int u=q.front();q.pop();
			for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){
				int v=edge[i].to;
				if(vis[v]!=k&&edge[i].cap){
					vis[v]=k,dis[v]=dis[u]+1,pos[v]=head[v];
					q.push(v);
					if(v==t)
					return true;
				}
			}
		}
		return false;
	}
	int dfs(int u,int max_flow){
		if(u==t||!max_flow)
		return max_flow;
		int flow=0,temp_flow;
		for(int &i=pos[u];~i;i=edge[i].next){
			int v=edge[i].to;
			if(dis[u]+1==dis[v]&&(temp_flow=dfs(v,min(max_flow,edge[i].cap)))){
				edge[i].cap-=temp_flow;
				edge[i^1].cap+=temp_flow;
				flow+=temp_flow;
				max_flow-=temp_flow;
				if(!max_flow)
				break;
			}
		}
		return flow;
	}
	int Maxflow(int s,int t){
		this->s=s;this->t=t;
		int ans=0,k=0;
		mem(vis,0);
		while(bfs(++k))
		ans+=dfs(s,Inf);
		return ans;
	}
}solver;
int a[MAXN],b[MAXN];
int main()
{
	Clear();
	int n=read_int(),m=read_int(),s=2*n+1,t=2*n+2,ans=0;
	_rep(i,1,n)a[i]=read_int();
	_rep(i,1,n)b[i]=read_int(),ans+=abs(b[i]);
	_rep(i,1,n){
		Insert(s,i,-b[i]+abs(b[i]));
		Insert(i,i+n,a[i]+abs(b[i]));
		Insert(i+n,t,b[i]+abs(b[i]));
	}
	while(m--){
		int u=read_int(),v=read_int();
		Insert(u+n,v,Inf);
		Insert(v+n,u,Inf);
	}
	enter(ans-solver.Maxflow(s,t));
	return 0;
}
</code>
</hidden>
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