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====== Codeforces Round #705 (Div. 2) ======

[[https://codeforces.com/contest/1493|比赛链接]]

===== E. Enormous XOR =====

==== 题意 ====

定义 $F(l,r)$ 表示 $l\oplus l+1\oplus\cdots \oplus r$，求 $\max_{L\le l\le r\le R}F(l,r)$。

==== 题解 ====

设 $R$ 的长度为 $n$，从低位到高位依次编号 $0,1,2\cdots n-1$。若 $L$ 的第 $n-1$ 位为 $0$，取 $l=2^{n-1}-1,r=2^{n-1}$，得 $F(l,r)=2^n-1$。

若 $L$ 的第 $n-1$ 位为 $1$，下面证明若 $R$ 为偶数且 $R-L\ge 2$ 时答案为 $R+1$，否则答案为 $R$。

首先考虑 $R-L\gt 2$ 的情况，不难发现答案一定是 $R$。

接下来考虑 $R$ 是奇数的情况，考虑数学归纳法。

对固定的 $L$，$[L,L]$ 答案为 $L$，$[L,L+1]$ 答案为 $L+1$，同时 $L,L+1$ 其中一定有一个为奇数，满足数学归纳法边界条件。

假设 $[L,R]$ 答案为 $R'$，考虑 $[L,R+2]$ 的答案，对 $r\le R$，根据归纳法有 $F(l,r)\le R$。

对 $F(l,R+1)$，假设有 $F(l,R+1)\gt R+2$，不妨假设 $F(l,R+1)$ 从高到低首个与 $R+2$ 不同的位为 $k$。

此时有 $F(l,R+1)$ 第 $k$ 位为 $1$，$R+2$ 第 $k$ 位为 $0$，由于 $R+2$ 是奇数，所以 $k\gt 0$。

不妨假设 $[l,R+1]$ 中最大的且第 $k$ 位为 $1$ 的数是 $t$。

于是有 $[t+1,R+1]$ 第 $k$ 位为 $0$，$[t-2^k+1,t]$ 第 $k$ 位为 $1$，$[t-2^{k+1}+1,t-2^k]$ 第 $k$ 位为 $0\cdots$

由于 $t$ 的末尾一定是 $111\cdots 1$，于是 $t$ 一定是奇数，于是 $[t+1,R+1]$ 长度为 $R-t+1$ 为奇数。

于是 $[l,R+1]$ 中有奇数个数第 $k$ 位为 $1$ 和 $[l,R+1]$ 中有奇数个数不能同时满足，即 $F(l,R+1)$ 第 $k$ 位和第 $n-1$ 位不能同时为 $1$，矛盾。

对 $F(l,R+2)$，有 $F(l,R+2)=F(l,R)\oplus 1\le R+1$。

综上，$R$ 为奇数时，答案不超过 $R$，同时 $F(R,R)$ 取到上界。

$R$ 为偶数时，区间 $[L,R]$ 的答案一定不超过 $[L,R+1]$ 的答案。

由于 $R+1$ 是奇数，所以$[L,R+1]$ 答案为 $R+1$，于是 $R+1$ 是 $[L,R]$ 的答案上界，同时 $F(R-2,R)=R+1$ 取到上界。

<hidden 查看代码>
<code cpp>
const int MAXN=1e6+5;
int n;
char L[MAXN],R[MAXN];
void add(char *s){
	int pos=n-1;
	while(s[pos]=='1')s[pos]='0',pos--;
	s[pos]='1';
}
int main()
{
	n=read_int();
	scanf("%s%s",L,R);
	if(L[0]!=R[0]){
		_for(i,0,n)
		putchar('1');
	}
	else if(strcmp(L,R)==0||R[n-1]=='1')
	puts(R);
	else{
		add(L);
		if(strcmp(L,R)==0)
		puts(R);
		else{
			add(R);
			puts(R);
		}
	}
	return 0;
}
</code>
</hidden>
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