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====== A*算法 ======

A*算法是对BFS的一种改进，定义起点为 $s$ ，终点为 $t$ 。那么需要找到从起点开始到某一个点 $n$ 的估值函数 $g(n)$ 和从这个点到终点的估值函数 $h(n)$ ，然后定义函数 $f(n)=g(n)+h(n)$ ，用 $f(n)$ 重载运算符加入优先队列，然后和BFS相似的搜索方式。

===== 例题 =====

[[https://www.luogu.com.cn/problem/P1379|洛谷p1379]]

八数码问题

选取估值函数 $g(n)$ 为当前图案和最终图案有多少个方块不用。

代码

<code cpp>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <set>
using namespace std;
const int dx[4] = {1, -1, 0, 0}, dy[4] = {0, 0, 1, -1};
int fx, fy;
char ch;
struct matrix {
  int a[5][5];
  bool operator<(matrix x) const {
    for (int i = 1; i <= 3; i++)
      for (int j = 1; j <= 3; j++)
        if (a[i][j] != x.a[i][j]) return a[i][j] < x.a[i][j];
    return false;
  }
} f, st;
int h(matrix a) {
  int ret = 0;
  for (int i = 1; i <= 3; i++)
    for (int j = 1; j <= 3; j++)
      if (a.a[i][j] != st.a[i][j]) ret++;
  return ret;
}
struct node {
  matrix a;
  int t;
  bool operator<(node x) const { return t + h(a) > x.t + h(x.a); }
} x;
priority_queue<node> q;
set<matrix> s;
int main() {
  st.a[1][1] = 1;
  st.a[1][2] = 2;
  st.a[1][3] = 3;
  st.a[2][1] = 8;
  st.a[2][2] = 0;
  st.a[2][3] = 4;
  st.a[3][1] = 7;
  st.a[3][2] = 6;
  st.a[3][3] = 5;
  for (int i = 1; i <= 3; i++)
    for (int j = 1; j <= 3; j++) {
      scanf(" %c", &ch);
      f.a[i][j] = ch - '0';
    }
  q.push({f, 0});
  while (!q.empty()) {
    x = q.top();
    q.pop();
    if (!h(x.a)) {
      printf("%d\n", x.t);
      return 0;
    }
    for (int i = 1; i <= 3; i++)
      for (int j = 1; j <= 3; j++)
        if (!x.a.a[i][j]) fx = i, fy = j;
    for (int i = 0; i < 4; i++) {
      int xx = fx + dx[i], yy = fy + dy[i];
      if (1 <= xx && xx <= 3 && 1 <= yy && yy <= 3) {
        swap(x.a.a[fx][fy], x.a.a[xx][yy]);
        if (!s.count(x.a)) s.insert(x.a), q.push({x.a, x.t + 1});
        swap(x.a.a[fx][fy], x.a.a[xx][yy]);
      }
    }
  }
  return 0;
}
</code>
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