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====== 前缀和 ======

一些情况下，对数组的子区间和进行多次询问，遍历是一个费时的行为，前缀和在这里就很有用。

===== 多维前缀和 =====

{{:2020-2021:teams:no_morning_training:1.png?400|}}\\
在一个二维数组中要求一个方形区域的和。这里同样可以运用前缀和。\\
例如这张图，求绿色部分，就可以用整个减去横侧和纵侧的条，再加上被减两次的块。\\
三维数组中同理，只是算式略不同。就是容斥定理的应用。\\
但是随着维度t变高，计算前缀和的容斥的复杂度是 $2^t$ ，总复杂度达到了 $O(n^t\times2^t)$ 。

以三维为例：

<code cpp>
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        for(int k=1;k<=p;k++)
            b[i][j][k]=b[i-1][j][k]+b[i][j-1][k]+b[i][j][k-1]
                 -b[i-1][j-1][k]-b[i-1][j][k-1]-b[i][j-1][j-1]
                     +b[i-1][j-1][k-1]+a[i][j][k];
</code>

我们其实有个更好的办法

<code cpp>
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        for(int k=1;k<=p;k++)
        a[i][j][k]+=a[i-1][j][k];
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        for(int k=1;k<=p;k++)
        a[i][j][k]+=a[i][j-1][k];
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        for(int k=1;k<=p;k++)
        a[i][j][k]+=a[i][j][k-1];
</code>            

$$a_1[i][j][k]=\sum_{l=1}^i {a[l][j][k]}$$
$$a_2[i][j][k]=\sum_{l=1}^j {a_1[i][l][k]}$$
$$a_3[i][j][k]=\sum_{l=1}^k {a_2[i][j][l]}$$
a3数组即为所求，更高维度同理\\
就是说按维每一维加一遍。这样做可以将复杂度降至$O(n^t\times t)$。维数较高的情况下会节省一些时间。

==== 例子 ====
=== 1. ===
数字列表项目给定一个 $n\times n$ 的矩阵，找一个最大的子矩阵，使得这个子矩阵里面的元素和最大。

最朴素的想法是枚举左下角、右上角并在内部枚举每个元素，复杂度 $O(n^6)$ ，利用前缀和降至 $O(n^4)$ 。\\
好一点的想法是枚举上下边，中间的矩阵就成了一维数列，变成求最大区间和的问题，达到 $O(n^3)$ 。

=== 2. === 
输入一个长度为n的数组a[i]，下标从0开始（0到n-1）。保证n是2的整数次幂，对于每个 $i(0\le i<n)$ 求所有满足 ''i&j=j'' 的a[j]之和。$n\le2^{20}$ 。
 
例如 $n=2^{10}$ ，就可以将每一个i根据2进制形式视作具有10维，所求即为其前缀和。利用上面所说的方法容易实现。

（这里让我说一下不定维数的前缀和，不过我在网上没有搜到相关内容，就说一说我的理解。就如同这个题，数据确定维数，那么就不用拘泥于正常的数组的方式，用自己所理解的方式明确数组的下标，进行前缀和的计算即可。）
[[https://ac.nowcoder.com/acm/contest/167/C?&headNav=acm|链接]]

<hidden 代码>
<code cpp>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=(1<<21);
ll a[N];
int n;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++) 
        scanf("%lld",&a[i]);
    for(int i=1,p=0;i<n;i<<=1)
    {
        p++;
        for(int j=0;j<n;j++)
            if((j&(1<<p-1))) 
                a[j]+=a[(j^(1<<p-1))];
    }
    for(int i=0;i<n;i++) 
        printf("%lld\n",a[i]);
    return 0;
}
</code>
</hidden>
----
===== 总结 =====
一个基础技巧。

===== 参考 =====
[[https://www.cnblogs.com/mrclr/p/8423136.html]]\\
[[https://www.cnblogs.com/Miracevin/p/9778266.html]]
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