CVBB ACM Team

博弈论，两人轮流在树上跑，每次分别可以移动不超过 $da$ 和 $db$ 的距离，问先手能不能追到后手。

三种情况必胜：

• 两者距离不超过 $da$。
• $2 \times da \ge db$，以 $a$ 为根往下逼近即可。
• $2 \times da \ge \text{diameter}$，卡中点即可。

证明我吐了，有时间再来补。

给定一个序列 $a_i$，如果 $a_i = i$，那么你可以将它删掉，多次询问如果强制前 $x$ 个数和后 $y$ 个数都不能删，最多能删几个数。

发现问题的可二分性，巨佬题解。

设 $\text{lim}_i$ 表示如果禁止删除的长度 $\le \text{lim}_i$，那么该位置可以被删，否则不能被删。

考虑二分求解，对于我们正在二分的 $\text{mid}$，等价于求前面满足 $\text{lim}_j \ge \text{mid}$ 的有多少个，这个过程可以使用主席树优化到 $O(n \log n)$。

对于询问，直接询问 $[1,n-y]$ 中 $\text{lim}_i \ge x$ 的个数即可，主席树上查询即可。

交互题，给定 $1$ 到 $2n$ 共 $2n$ 个数，你可以选择当 A 或 B。

• A 要将 $2n$ 个数两两一组分为 $n$ 个。
• B 要在上述 $n$ 组中每组选一个使得选择数之和是 $2n$ 的倍数。

你需要选择一个角色扮演并获胜。

• $n$ 为偶数，根据奇偶分析可以得到 $$\frac{n(n+1)}{2} \equiv \frac{n}{2} \pmod n$$ 只要按照 $(i, i + n)$ 的方式分，就可以保证结果在模 $n$ 意义下不为 $0$，那么在模 $2n$ 意义下更不可能为 $0$，因此选 A 必胜。
• $n$ 为奇数，对于 A 给出的一种方案，我们将每组之间的两点连红边，在 $(i, i + n)$ 之间连蓝边，如下图所示，那么我们黑白染色后选黑点，可以发现选的所有点在模 $n$ 意义下两两不同，根据奇偶分析，有 $$\frac{n(n+1)}{2} \equiv 0 \pmod n$$ 因此选 A 必胜。

给定一个 $n \times m$ 的方格图，分黑白格，要求用 $1 \times x$ 和 $x \times 1$ 的砖块铺满所有黑格，白格不能放砖，且所有砖不能重叠，问最少需要多少砖。

考虑一开始一个黑格放一个砖块，然后进行合并，砖块不能拐弯合并等价于求如下二分图的最大独立集。

给定一个序列 $a_i$，将其拆分成两个序列 $b_i$ 和 $c_i$，要求满足 $a_i=b_i+c_i$，且 $b_i$ 递增，$c_i$ 递减。求 $\max(b_i,c_i)$ 的最小值。多组询问，每次对 $a_i$ 进行区间加。

$\max(b_i,c_i)$ 等价于 $\max(b_n,c_1)$，在 $b_1$ 和 $c_1$ 固定时，$b_i$ 的增量越少越好，所以如果 $a_i > a_{i-1}$，那么将多的部分加到$b_i$ 上面，否则将多的部分减到 $c_i$ 上面。因此答案为 $$\max(b_n,c_1)=\max(x+\sum_{i=2}^n\max(0,a_i-a_{i-1}),a_1-x)$$ 设 $y=\sum_{i=2}^n\max(0,a_i-a_{i-1})$，则答案为 $\max(x+y, a_1-x)$，直接取 $x=\lfloor \frac{a_1+y}{2} \rfloor$ 即可。

修改时，区间加只会改变两个点的差分值，因此可以 $O(1)$ 维护。

有 $n$ 个怪，每个怪物有一个攻击力 $d$。有 $m$ 个武器。每个武器有两个属性，耐久度 $a$ 和 防御值 $b$。对于一个打怪顺序，按顺序处理每一个怪：

• 如果当前耐久度为 $0$，那么会受到 $d$ 点伤害。
• 如果当前耐久度不为 $0$，如果 $d \ge b$，那么令 $a$ 减少一，否则无事发生。

对于每个武器，所有 $n!$ 种打怪顺序出现概率相等，求期望收到的伤害。

考虑先把所有怪按攻击力排序，那么对于一个武器，设 $d \ge b$ 的怪物有 $x$ 个。那么对于这 $x$ 个怪物，他能造成伤害当且仅当他前面至少有 $b$ 个怪物属于这 $x$ 个怪物，概率为 $\frac{x-b}{x}$；对于剩下 $n - x$ 个怪物，他和上述 $x$ 个怪物的相对顺序相当于插空，他能造成伤害当且仅当上述 $x$ 个怪物至少有 $b$ 个在它前面，概率为 $\frac{x+1-b}{x+1}$。

期望还需要乘以怪物他们自己的攻击力，上述 $x$ 个怪物和 $n-x$ 个怪物分别是一个后缀和前缀，因此求个前缀和乘上即可。