这是本文档旧的修订版！
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线性规划
标准型
描述线性规划问题的常用和最直观形式是标准型。标准型包括以下三个部分：
- 一个需要极大 / 极小化的线性函数：
$$\sum_{i=1}^{n}x_ik_i$$
- 以下形式的问题约束：
$$\left\{\begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+&\cdots +a_{1n}x_n\le b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+&\cdots +a_{2n}x_n\le b_2\\ \ &\cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+&\cdots +a_{mn}x_n\le b_m\\ \end{aligned}\right. $$
- 和非负变量：
$$x_i\ge 0$$
费用流求解特殊的线性规划问题
先引入一些值恒正的松弛变量，将不等式组转化为等式组。
将每个等式看做一个点，当在特殊情况下如果能构造出“对于所有变量，在等式组中分别在左端和右端出现恰好一次，系数均为 $1$ ”的等式组，那么很容易对于每个变量 $x$ 在点（等式）之间进行连边：
例如，等式 $p$ 中，$x$ 出现在等式左端且系数为 $1$ ，等式 $q$ 中，$x$ 出现在等式右端且系数为 $1$ ，那么连边 $p\rightarrow q$ ，流量和费用具体题目进行分析。
另外按需连接源、汇、等式之间通过常数项的连边。最终让连边满足除了源汇，每个点的出流量等于入流量，这样就可以用费用流求出最小或最大费用，而同时这个边的流量便是这个变量的取值。
在特殊的题目中，我们可以加入两个 $0=0$ 的方程并在等式组之间差分，达到这样的要求。
模板题
练习题
NEERC 2016 D. Delight for a Cat
题意：
题解：先默认他一直睡觉，然后列出不等式组，加入松弛变量转化成等式组：
$$\left.\begin{aligned} 0&=0\\ y_1+x_1+x_2+\cdots +x_k&=k-m_e\\ x_1+x_2+\cdots +x_k &=m_s+z_1\\ y_2+x_2+x_3+\cdots +x_{k+1}&=k-m_e\\ x_2+x_3+\cdots +x_{k+1} &=m_s+z_2\\ \ \cdots\\ y_{n-k+1}+x_{n-k+1}+x_{n-k+2}+\cdots +x_n&=k-m_e\\ x_{n-k+1}+x_{n-k+2}+\cdots +x_n &=m_s+z_{n-k+1}\\ 0&=0 \end{aligned}\right. $$
差分：
$$\left.\begin{aligned} y_1+x_1+x_2+\cdots +x_k&=k-m_e\\ k-m_e-m_s &=y_1+z_1\\ x_{k+1}+z_1+y_2&=x_1+k-m_e-m_s\\ k-m_e-m_s &=y_2+z_2\\ \ \cdots\\ x_{n}+z_1+y_2&=x_{n-k}+k-m_e-m_s\\ k-m_e-m_s &=y_{n-k+1}+z_{n-k+1}\\ m_s+z_{n-k+1}&=x_{n-k+1}+x_{n-k+2}+\cdots +x_n\\ \end{aligned}\right. $$
连边跑一遍最小费用最大流即可。
