字符串 3
后缀数组
算法简介
后缀树的一种替代品，可以用于解决各种字符串问题。
算法实现
后缀数组的核心为 $sa$ 数组，$rk$ 数组以及 $\text{height}_i$ 数组。
其中 $sa_i$ 表示排名为 $i$ 的后缀的起始位置，$rk_i$ 表示起始位置为 $i$ 的后缀的排名。
$sa$ 数组可以通过倍增法和基数排序求解，时间复杂度 $O(n\log n)$，根据 $rk_{sa_i}=i$ 可以 $O(n)$ 求解 $rk$ 数组。
$\text{height}_i$ 表示 $\text{LCP}(S[sa_i,n],S[sa_{i-1},n])$ 的长度，给出引理
$$\text{height}_{rk_i}\ge \text{height}_{rk_{i-1}}-1$$
显然 $\text{height}_{rk_i}=\text{LCA}(S[i,n],S[sa_{rk_i-1},n]),\text{height}_{rk_{i-1}}=\text{LCP}(S[i-1,n],S[sa_{rk_{i-1}-1},n])$。
假设 $S[i-1,i-1+k]=S[j,j+k]$，显然有 $S[i,i-1+k]=S[j+1,j+k]$，于是上述引理得证。
根据引理，可以 $O(n)$ 求解 $\text{height}_i$ 数组。
同时有引理
$$\text{LCP}(S[sa_i,n],S[sa_j,n])=\min_{i\lt k\le j} \text{height}_k$$
可以感性理解为 $k$ 指针从 $i+1$ 滑到 $j$，期间 $\text{LCP}$ 不增且总是取最小，于是上述结论成立。
根据该结论建立 $\text{ST}$ 表即可 $O(1)$ 求解每个后缀 $\text{LCP}$ 的询问。
接下来考虑任意两个子串 $S_1=S[a,b],S_2=S[c,d]$ 的大小。
若 $\text{LCP}(S[a,n],S[b,n])\ge \min(S_1,S_2)$，显然只需要比较 $|S_1|,|S_2|$；否则比较 $rk_a,rk_c$ 即可。
namespace SA{ int sa[MAXN],rk[MAXN],height[MAXN],x[MAXN],y[MAXN],c[MAXN]; void get_sa(char *s,int n,int m){//s下标从1开始 _rep(i,0,m)c[i]=0; _rep(i,1,n)c[x[i]=s[i]]++; _rep(i,1,m)c[i]+=c[i-1]; for(int i=n;i;i--)sa[c[x[i]]--]=i; for(int k=1;k<n;k<<=1){ int pos=0; _rep(i,n-k+1,n)y[++pos]=i; _rep(i,1,n)if(sa[i]>k)y[++pos]=sa[i]-k; _rep(i,0,m)c[i]=0; _rep(i,1,n)c[x[i]]++; _rep(i,1,m)c[i]+=c[i-1]; for(int i=n;i;i--)sa[c[x[y[i]]]--]=y[i],y[i]=0; swap(x,y); pos=0,y[n+1]=0; _rep(i,1,n)x[sa[i]]=(y[sa[i]]==y[sa[i-1]]&&y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k])?pos:++pos; if(pos==n)break; m=pos; } _rep(i,1,n)rk[sa[i]]=i; } void get_height(char *s,int n){//必须先得到sa数组和rk数组 for(int i=1,k=0;i<=n;i++){ if(k)k--; while(s[i+k]==s[sa[rk[i]-1]+k])k++; height[rk[i]]=k; } } }
算法例题
例题一
题意
给定字符串 $S=s_1s_2\cdots s_n$，将其视为一个环，任意选择环的起点，可以得到 $n$ 个新字符串 $T_k=s_ks_{k+1}\cdots s_{k-1}$。
询问将所有 $T_i$ 按字典序从小到大排序后依次取每个 $T_i$ 的最后一个字母构成的字符串。
题解
考虑将 $S$ 倍长为 $SS$，求 $SS$ 每个后缀的排名，即可得到每个字符串 $T_i$ 的排名。
关于正确性，考虑字符串 $abc$，于是 $T_2$ 代表的字符串 $bca$ 变为 $bcabc$，实际上这相当于 $T_2$ 再与 $T_2$ 的前缀拼接而成，不影响排序结果。
时间复杂度 $O(n\log n)$。
例题二
题意
给定一个字符串 $S$ 和一个空串 $T$，每个可以选择 $S$ 的首字符或末字符，将其删去后加入到 $T$ 末尾。
问所有可能的 $T$ 中字典序最小的。
题解
考虑贪心，假设现在字符串为 $s_{L}s_{L+1}\cdots s_{R-1}s_R$，显然选取 $s_L,s_R$ 中字典序最小的最优。
如果 $s_L=s_R$，接下来考虑选择 $s_{L+1},s_{R-1}$ 中字典序最小的，直到比较到端点为止。
上述操作等价于比较 $S[L,n]$ 和 $S[1,R]$ 的字典序。考虑构造字符串 $s_1s_2\cdots s_n+\text{\0}+s_n\cdots s_2s_1$。
于是可以通过后缀数组得到 $S[L,n]$ 和 $S[1,R]$ 的排名，时间复杂度 $O(n\log n)$。
例题三
题意
给定一个字符串 $S$，求本质不同的子串个数。
题解
子串相当于某个后缀的前缀，于是考虑依次枚举 $sa_i$ 代表的后缀，加上新增的本质不同的前缀。
根据 $LCP$ 性质不难得到属于 $sa_i$ 后缀的新增的本质不同于 $sa_1\cdots sa_{i-1}$ 的所有前缀的子串数为 $n+1-sa_i-\text{height}_i$。
于是最终答案为 $\sum_{i=1}^n n+1-sa_i-\text{height}_i=\frac {n(n+1)}2-\sum_{i=1}^n\text{height}_i=\frac {n(n+1)}2-\sum_{i=2}^n\text{height}_i$。
例题四
题意
给定一个字符串 $S$，求至少出现 $k$ 次的最长子串的长度。
题解
考虑至少出现 $k$ 次的子串，他一定是至少连续 $k-1$ 个 $\text{height}$ 数组代表的 $k$ 个后缀的公共前缀。
于是求出 $\text{height}$ 数组后单调队列维护每个长度为 $k-1$ 的连续区间的 $\text{height}$ 数组的最小值的最大值即可。
时间复杂度 $O(n\log n)$。
