这是本文档旧的修订版！

回文树

结构

回文树大概长这样：

功能

假设我们有一个串 $S$，$S$ 下标从 $0$ 开始，则回文树能做到如下几点：

求串 $S$ 前缀 $0\sim i$ 内本质不同回文串的个数（两个串长度不同或者长度相同且至少有一个字符不同便是本质不同）。
求串 $S$ 内每一个本质不同回文串出现的次数。
求串 $S$ 内回文串的个数（其实就是 $1$ 和 $2$ 结合起来）。
求以下标 $i$ 结尾的回文串的个数。

模板

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const int MAXN = 100005 ;  
const int N = 26 ;  
 
struct Palindromic_Tree {  
    //cnt最后count一下之后是那个节点代表的回文串出现的次数
    int next[MAXN][N] ;//next指针，next指针和字典树类似，指向的串为当前串两端加上同一个字符构成  
    int fail[MAXN] ;//fail指针，失配后跳转到fail指针指向的节点  
    int cnt[MAXN] ; //表示节点i表示的本质不同的串的个数（建树时求出的不是完全的，最后count()函数跑一遍以后才是正确的） 
    int num[MAXN] ; //表示以节点i表示的最长回文串的最右端点为回文串结尾的回文串个数
    int len[MAXN] ;//len[i]表示节点i表示的回文串的长度（一个节点表示一个回文串）
    int S[MAXN] ;//存放添加的字符  
    int last ;//指向新添加一个字母后所形成的最长回文串表示的节点。
    int n ;//表示添加的字符个数。
    int p ;//表示添加的节点个数。
 
    int newnode ( int l ) {//新建节点  
        for ( int i = 0 ; i < N ; ++ i ) next[p][i] = 0 ;  
        cnt[p] = 0 ;  
        num[p] = 0 ;  
        len[p] = l ;  
        return p ++ ;  
    }  
 
    void init () {//初始化  
        p = 0 ;  
        newnode (  0 ) ;  
        newnode ( -1 ) ;  
        last = 0 ;  
        n = 0 ;  
        S[n] = -1 ;//开头放一个字符集中没有的字符，减少特判  
        fail[0] = 1 ;  
    }  
 
    int get_fail ( int x ) {//和KMP一样，失配后找一个尽量最长的  
        while ( S[n - len[x] - 1] != S[n] ) x = fail[x] ;  
        return x ;  
    }  
 
    void add ( int c ) {  
        c -= 'a' ;  
        S[++ n] = c ;  
        int cur = get_fail ( last ) ;//通过上一个回文串找这个回文串的匹配位置  
        if ( !next[cur][c] ) {//如果这个回文串没有出现过，说明出现了一个新的本质不同的回文串  
            int now = newnode ( len[cur] + 2 ) ;//新建节点  
            fail[now] = next[get_fail ( fail[cur] )][c] ;//和AC自动机一样建立fail指针，以便失配后跳转  
            next[cur][c] = now ;  
            num[now] = num[fail[now]] + 1 ;  
        }  
        last = next[cur][c] ;  
        cnt[last] ++ ;  
    }  
 
    void count () {  
        for ( int i = p - 1 ; i >= 0 ; -- i ) cnt[fail[i]] += cnt[i] ;  
        //父亲累加儿子的cnt，因为如果fail[v]=u，则u一定是v的子回文串！  
    }  
} ;

例题

P5496 【模板】回文自动机 (PAM)

题意：给定一个字符串 $s$。保证每个字符为小写字母。对于 $s$ 的每个位置，请求出以该位置结尾的回文子串个数。

题解：理解好模板中的 $last$ 和 $num[]$ 的意义即可做。

评价：实现了 功能 4。

代码：

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+5;
struct Palindromic_Tree{
    int nxt[N][26],fail[N],cnt[N],num[N],len[N],S[N],last,n,p;
    int newnode(int l){
        memset(nxt[p],0,sizeof(nxt[p]));
        cnt[p]=num[p]=0;
        len[p]=l;
        return p++;
    }
    void init(){
        p=0;
        newnode(0);
        newnode(-1);
        last=0;
        n=0;
        S[n]=-1;
        fail[0]=1;
    }
    int get_fail(int x){
        while(S[n-len[x]-1]!=S[n]) x=fail[x];
        return x;
    }
    void add(int c){
        c-='a';
        S[++n]=c;
        int cur=get_fail(last);
        if(!nxt[cur][c]){
            int now=newnode(len[cur]+2);
            fail[now]=nxt[get_fail(fail[cur])][c];
            nxt[cur][c]=now;
            num[now]=num[fail[now]]+1;
        }
        last=nxt[cur][c];
        cnt[last]++;
    }
    void count(){
        for(int i=p-1;i>=0;i--) cnt[fail[i]]+=cnt[i];
    }
}P;
char s[N];
int main(){
    scanf("%s",s);
    int len=strlen(s);
    P.init();
    P.add(s[0]);
    int k=P.num[P.last];
    printf("%d",k);
    for(int i=1;i<len;i++){
        P.add((s[i]-97+k)%26+97);
        k=P.num[P.last];
        printf(" %d",k);
    }
    return 0;
}

P3649 [APIO2014]回文串

题意：给你一个由小写拉丁字母组成的字符串 $s$。我们定义 $s$ 的一个子串的存在值为这个子串在 $s$ 中出现的次数乘以这个子串的长度。对于给你的这个字符串 $s$，求所有回文子串中的最大存在值。

题解：利用模板中的 $len[]$ 和 $cnt[]$ 即可。

评价：利用了 功能 2。

代码：

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=3e5+5;
struct Palindromic_Tree{
    int nxt[N][26],fail[N],cnt[N],num[N],len[N],S[N],last,n,p;
    int newnode(int l){
        memset(nxt[p],0,sizeof(nxt[p]));
        cnt[p]=num[p]=0;
        len[p]=l;
        return p++;
    }
    void init(){
        p=0;
        newnode(0);
        newnode(-1);
        last=0;
        n=0;
        S[n]=-1;
        fail[0]=1;
    }
    int get_fail(int x){
        while(S[n-len[x]-1]!=S[n]) x=fail[x];
        return x;
    }
    void add(int c){
        c-='a';
        S[++n]=c;
        int cur=get_fail(last);
        if(!nxt[cur][c]){
            int now=newnode(len[cur]+2);
            fail[now]=nxt[get_fail(fail[cur])][c];
            nxt[cur][c]=now;
            num[now]=num[fail[now]]+1;
        }
        last=nxt[cur][c];
        cnt[last]++;
    }
    void count(){
        for(int i=p-1;i>=0;i--) cnt[fail[i]]+=cnt[i];
    }
}P;
char s[N];
int main(){
    P.init();
    scanf("%s",s);
    int len=strlen(s);
    for(int i=0;i<len;i++) P.add(s[i]);
    P.count();
    long long maxx=0;
    for(int i=0;i<P.p;i++){
        maxx=max(maxx,1ll*P.len[i]*P.cnt[i]);
    }
    printf("%lld",maxx);
    return 0;
}

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