====== 本周推荐 ====== ===== 陈铭煊 Max.D. ===== ==== 子集卷积 ==== === 简介 === 一般我们有如下一类的状压dp方程，如$dp[i]=\sum dp[j]*w[k]$ ($i,j,k$满足$j\lor k=i,j \land k=0$，这里符号表示按位与和按位或。 如果暴力枚举位的子集，那么效率是$3^n$的，难以承受。 实际上这个已经很接近一个FWT卷积的形式了，只不过是还要$j\land k=0$罢了。 我们改变这个条件为，$j$中1的个数+$k$中1的个数=$i$中1的个数，那么当我们为$dp$增加一个“1的个数”的维度时，问题迎刃而解： $$ dp[cnt_i][i]=\sum_{(j|k)==i}dp[cnt_j][j]*w[cnt_i-cnt_j][k] $$ 注意这里$cnt_i$表示1的个数，或者说子集中的物品数目。这里$cnt_i$和$i$的二进制1的个数如果不等，这个$dp$或者$w$值会置为0。此时只要我们从小到大枚举$cnt$来做FWT就可以得到答案了，实际操作过程中，所有的$dp$都是点值形式，因此得到新的$dp[cnt_i]$只需要做$cnt_i$次对位乘；最后，再将所有的$dp$逆FWT变换回原值。 虽然牺牲了一定空间，但是时间被优化到了$n$次FWT+$n^2$次对位乘法的复杂度：$O((2^n*n)*n+n^2*2^n)=O(n^2*2^n)$。 === 例题 === 模板题：https:%%//%%ac.nowcoder.com/acm/contest/5157/D 很容易从题目的形式看出来实际上就是对四个数列求三重卷积，第一重是$i|j$的子集卷积，第二重$(i|j)+k$的FFT/NTT，第三重是$((i|j)+k)\otimes h$的FWT的异或卷积。代码参考个人主页的子集卷积内容。 ===== 龙鹏宇 Hardict ===== ==== 总结 ==== - 多组数据多组询问尽可能考虑预处理,在单个数容斥中一般$\mu(i) \neq 0$才有贡献,可以预处理进行优化 - 计算几何处理相同点可以$\pm epsilon$ ==== 统计数列中上升子序列个数==== 对应数列$\{a_{i}\}_{i=1}^{n}$ 考虑一个dp转移:$f[n]=1+\sum_{1\leq i