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====== Summer Tranning Week 5 ======
===== 比赛简记 =====
===== Max.D. =====
==== 专题 ====
本周暂无
==== 比赛 ====
百度之星复赛（凉凉，只写了两题没拿到衣服）
一场cf div2，rating小涨
==== 题目 ====
暂无
===== Hardict =====
==== 专题 ====
无
==== 比赛 ====
百度之星一场
==== 题目 ====
暂无
===== MountVoom =====
==== 专题 ====
无
==== 比赛 ====
求求来点正常cf div1
遇见类似原题的题不要被轻易影响
==== 题目 ====
无
====== 个人总结 ======
===== 陈铭煊 Max.D. =====
补题+学习
===== 龙鹏宇 Hardict =====
补题+整理板子
===== 肖思炀 MountVoom =====
该补点难题了
====== 本周推荐 ======
===== 陈铭煊 Max.D. =====
===来源：===
[[https://ac.nowcoder.com/acm/contest/5674/C|牛客2020多校训练第九场 C Groundhog and Gaming Time]]
===标签：===
区间，动态规划，线段树
===题意：===
给出$n$个区间$[L_i,R_i]$，等概率取其中一个子集$a$，得到的贡献为$|[L_{a_1},R_{a_1}]\cap[L_{a_2},R_{a_2}]\cap...\cap[L_{a_m},R_{a_m}]|^2$，求贡献的期望值（模$998244353$意义下）。
$1\le n\le 5\times 10^5,0\le L_i\le R_i\le 10^9$
===题解：===
这里给出两个方法，一种是大家用的比较多的方法；另一种是$dp$通解，也就是不仅可以做平方贡献，随便和区间有关的贡献都可以。
问题首先转化为所有子集的贡献和。
将区间交的平方，看作是区间交里面元素两两配对的个数，进一步，是左点。那么问题就是每一对元素，要求出其被区间交覆盖的总次数。我们将所有区间按左端点从小到大排序，按顺序加入区间$i$，这样我们看每个离散化后的原子区间，被区间覆盖的次数，就是左到右不递增了。那么必包含区间$i$时，每个原子区间的每个配对右点在区间交中带来的贡献数的和，就是$（原子区间长度乘以左边的点的个数的和的两倍+原子区间长度平方）\times（2^{覆盖数}-1）$。
这些信息，包括次数和乘积等，可以用线段树加以维护，每一次区间更新，然后区间查询即可。
第二种方法是题解的方法：
- 线段的交取决于最大的左端点以及最小的右端点，同时维护两个东西比较困难。
- 所以我们先按照线段左端点从大到小排序，那么排序后的线段的交取决于最小的右端点，以及第一个被选 择的线段的左端点。
- 考虑到直接维护右端点比较麻烦，所以考虑在一开始就钦定一个点 X 作为最小的右端点。
- 所有右端点大于等于 X 的线段都可以选择，反之不能选择。
- 其次被选择的线段中至少有一个线段的右端点等于 X 那么这个方案就是合法的。
所以可以写出一个$O(n^2)$的$dp$：
- $dp[i][j][0/1]$代表前$i$个线段中钦定的$X$为$j$，是/否有一个线段的右端点为$X$
- $dp[i][j][0/1]=dp[i-1][j][0/1]\ (jR[i])$
- $dp[i][j][0]=dp[i-1][j][0]\times 2+(j-L[i])^2,dp[i][j][1]=dp[i-1][j][1]\times 2\ (L[i]\le j