=====问题概述=====

生成树问题是指在一个连通图中选择若干条边，是这些选择的边和所有图中的点组成一棵树的问题。而如果这个连通图是带权连通图，那么最小生成树指的就是所有生成树中边权之和最小的生成树。

=====Prim算法=====

Prim算法可以理解为“加点法”。算法的流程是，随意选择一个起始点$s$，把图$G=\langle E,V \rangle$的点集$V$分为两个部分$S,T$，即$S \cup T = V$且$S \cap T = \emptyset$。初始情况下，$S={s}$，$T$即是剩下的点的集合。每次操作，我们选择连接两个集合的边中最短的那个边，将其加入我们选择的生成树，并把这条边所连接的那个不在$S$中的点从$T$中移动到$S$中。当我们选择了$n-1$条边后就得到了最小生成树。

我们会发现，Prim算法的流程于Dijkstra算法的流程十分相似，事实上，朴素Prim算法的时间复杂度也是$O(V^2)$，并且它也可以用二叉堆来优化，优化后的时间复杂度为$O(E \log V)$。此外，Prim算法还可以用斐波那契堆来优化，优化后的时间复杂度为$O(E+V \log V)$。

=====Kruskal算法=====

Kruskal算法可以理解为“加边法”。先将图中所有的边从小到大排序，然后从小往大尝试添加，如果一条边的两端不在同一个集合就将其加入，这一过程需要使用到并查集，当加入$n-1$条边后就得到了原图的最小生成树。

显然，Kruskal算法的时间复杂度为$O(E \log E)$。

=====分析及证明=====

两种最小生成树算法都运用了贪心的策略，但是贪心策略不同，时间复杂度也有区别。朴素Prim算法更适合点相对于边来说较少的图，例如边数接近完全图的连通图。优化后的Prim算法和Kruskal算法都更适合稀疏图，即边没有比点多很多的图。

两种算法的严格证明都略为复杂，可以在**算法导论**的第23章找到，简略的证明可以看[[https://www.cnblogs.com/randy-lo/p/12561884.html|这篇博客]]。

=====例题=====

====洛谷P3366——最小生成树模板题====

===题目大意===

就是个模板题

===解题思路===

两种算法均可，但是就这道题的数据来说Kruskal更优

===代码实现===

<code cpp>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

struct edge{
	int f, t, w;
}E[200010];
bool vis[5010];
int father[5010], level[5010];
int n, m, ans = 0;

inline int read()
{
	char ch;
	int a = 0;
	bool flag = 0;
	while(!(((ch = getchar()) >= '0' && ch <= '9') || (ch == '-')));
	if(ch == '-')
		flag = 1;
	else
	{
		a = a * 10;
		a += ch - '0';
	}
	while(((ch = getchar()) >= '0' && ch <= '9'))
	{
		a = a * 10;
		a += ch - '0';
	}
	if(flag == 1)
		a = -a;
	return a;
}

inline bool cmp(edge a, edge b)
{
	return a.w < b.w;
}

inline int find(int x)
{
	if(father[x] != x)
		father[x] = find(father[x]);
	return father[x];
}

inline bool Union(int x, int y)
{
	int fx = find(x), fy = find(y);
	if(fx == fy) return 0;
	if(level[fx] > level[fy])
		father[fy] = fx;
	else
	{
		father[fx] = fy;
		if(level[fx] == level[fy])
			level[fy]++;
	}
	return 1;
}

inline void init()
{
	for(int i = 1;i <= n;++i)
		father[i] = i;
}

int main()
{
	n = read();m = read();
	for(int i = 0;i < m;++i)
	{
		E[i].f = read();
		E[i].t = read();
		E[i].w = read();
	}
	init();
	sort(E, E + m, cmp);
	int flag = 0;
	for(int i = 0;i < m;++i)
	{
		if(Union(E[i].f, E[i].t) == 1)
		{
			ans += E[i].w;
			flag++;
		}
		if(flag == n - 1)
			break;
	}
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
	
}
</code>

====Codeforces597Div2-D====

===题目大意===

给出$n$个二维平面上的城市，现在需要给所有城市通电，在城市$i$建立发电站需要花费代价$c_i$，在城市$i,j$之间连接电缆需要花费代价$(k_i + k_j) \times d$，其中$d$为两个城市间的曼哈顿距离，最小化花费。

===解题思路===

先连边，然后建立超级源点和每个城市连权值为$c_i$的边，求最小生成树。

===代码实现===

<code cpp>

#include <map>
#include <set>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring> 
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
 
const int maxn = 2100;
 
int n, tot = 0;
int fa[maxn];
long long x[maxn], y[maxn];
long long c[maxn], k[maxn], out = 0, num = 0;
struct Edge{
	long long s, t, w;
}e[maxn * maxn];
vector<int> tc;
vector<Edge> tk;
 
inline long long dis(int i, int j)
{
	return abs(x[i] - x[j]) + abs(y[i] - y[j]);
}
 
inline Edge form(int a, int b, long long c)
{
	Edge ret;
	ret.s = a;
	ret.t = b;
	ret.w = c;
	return ret;
}
 
inline void init()
{
	for(int i = 1;i <= n;++i)
		fa[i] = i;
}
 
inline int find(int a)
{
	if(fa[a] == a)
		return a;
	return fa[a] = find(fa[a]);
}
 
inline bool cmp(Edge a, Edge b)
{
	return a.w < b.w;
}
 
int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 1;i <= n;++i)
		scanf("%lld%lld", &x[i], &y[i]);
	for(int i = 1;i <= n;++i)
		scanf("%lld", &c[i]);
	for(int i = 1;i <= n;++i)
		scanf("%lld", &k[i]);
 
	for(int i = 1;i <= n;++i)
		for(int j = 1;j <= i - 1;++j)
			e[++tot] = form(i, j, dis(i, j) * (k[i] + k[j]));
 
	for(int i = 1;i <= n;++i)
		e[++tot] = form(n + 1, i, c[i]);
 
	sort(e + 1, e + tot + 1, cmp);
 
	init();
	for(int i = 1;i <= tot;++i)
	{
		int fs = find(e[i].s), ft = find(e[i].t);
		if(fs == ft)
			continue;
		fa[ft] = fs;
		if(e[i].s == n + 1)
			tc.push_back(e[i].t);
		else
			tk.push_back(e[i]);
		out += e[i].w;
		++num;
		if(num == n)
			break;
	}
 
	int C = tc.size(), K = tk.size();
	printf("%lld\n", out);
	printf("%d\n", C);
	for(int i = 0;i < C;++i)
		printf("%d ", tc[i]);
	printf("\n");
	printf("%d\n", K);
	for(int i = 0;i < K;++i)
		printf("%lld %lld\n", tk[i].s, tk[i].t);
 
	return 0;
}
</code>

**by MisakaTao 2020.5.2**