=====问题概述=====

拓扑排序是一种一般在有向无环图(DAG)上实现的算法，其主要目的是把这一有向无环图的顶点排列成一个线性的序列，并且对于图中的任意一条单向边$\langle u,v \rangle$，点$u$在点$v$之前。

=====算法实现=====

拓扑排序的流程如下。

我们准备一个空的队列Q，首先我们把所有入度为0的点放入队列，然后我们一次处理队列中的点。每处理一个点，我们把这个点能够到达的所有点的入度减少一，如果经过这一处理后又有点的入度变为0，那么我们就把它放入队列。这样一来，我们从队列中取出点的序列就是问题概述中所要求得的序列。

=====正确性分析=====

对于正确定，我们发现由于拓扑排序在DAG上运行，所以一定不会有环，这也就保证了一定能够得到一个答案。而算法的操作保证了如果图中存在边$<u,v>$，点$u$一定比点$v$先进入队列，又因为队列先进先出的特性，我们可以知道算法得到的答案一定是正确的。

=====延申=====

实际上，拓扑排序不一定要在DAG上运行，在有环的有向图中，拓扑排序也可以正常运行到结束。只不过，在这种情况下，当算法结束时，图中的环以及从环上出来的链无法被处理。当然，在特定情况下，这样的结果反而是一种优势。

=====复杂度分析及算法应用=====

很容易发现，第一步将所有点遍历找出入度为0的点的复杂度是$O(n)$，随后的操作中，每个点最多入队一次，出对一次，所以复杂度也是$O(n)$，因此拓扑排序的总时间复杂度就是$O(n)$。

拓扑排序的一个显然的应用就是对有约束的一系列事件进行排序，而当情况变得更复杂的时候，比如图中出现环等情况，也可以在拓扑排序的基础上加以调整，使算法适合特殊的情况。

=====例题=====

====Uva10305——Ordering Tasks====

===题目大意===

经典拓扑排序题目。

===解题思路===

按照标准实现方法即可。

===代码实现===
<code cpp>
#include <cstring>
#include <deque>
#include <iostream>

using namespace std;

bool go[105][105], flag[105];
int went[105], a, b;
int a1, b1;
deque<int> he;

int main()
{
	int i;
	
	while(true)
	{
		cin>>a>>b;
		if(a == 0 && b == 0)
			break;
		memset(go, 0, sizeof(go));
		memset(went, 0, sizeof(went));
		memset(flag, 0, sizeof(flag));
		for(i = 0;i < b;i++)
		{
			cin>>a1>>b1;
			go[a1][b1] = 1;
			went[b1]++;
		}
		for(i = 1;i <= a;i++)
			flag[i] = 1;
		int sum = a;
		while(sum)
		{
			for(i = 1;i <= a;i++)
			{
				if(went[i] == 0 && flag[i] == 1)
				{
					he.push_back(i);
					flag[i] = 0;
				}
			}
			while(!he.empty())
			{
				int c = he.front();
				for(i = 1;i <= a;i++)
				{
					if(go[c][i] == 1)
						went[i]--;
				}
				cout<<he.front()<<" ";
				he.pop_front();
				sum--;
			}
		}
		cout<<endl;
	}
	return 0;
}
</code>


**by MisakaTao 2020.5.6**