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===== 比赛 =====

本周冯如杯，没有打比赛。

===== 学习总结 =====

==== 容斥原理 ====

容斥的一些理解：

我们能快速知道的是至少满足性质集合 $S$ 的个数 $f(S)$，而很多情况下 $f(S)$ 对相同的 $|S|$ 是相同的，这个时候计算贡献就需要乘上组合数，因为统计的是所有 $|S|$ 相同的贡献 $f(S)$，自然要从所有属性里选择 $|S|$ 种出来枚举。

如果要求的是没有任何性质 $S$ 的个数，则为

$$
\sum _{i=0}^n (-1)^i \binom ni f(i)
$$

如果要求的是有至少一个性质 $S$ 的个数，则为

$$
\sum _{i=1}^n (-1)^{i+1} \binom ni f(i)
$$

显然，这两种之和应该为 $f(0)$，也就是所有性质的集合 $S$。同时不难通过贡献计算得到，第一个式子中只有 $|S| = 0$ 的 $S$ 被计算 $1$ 次，其余都计算了 $0$ 次；第二个式子中只有 $|S| = 0$ 的 $S$ 被计算 $0$ 次，其余都计算了 $1$ 次。


==== 图论 ====

平面图的一些相关结论：

若一个图 $E > 3V-6$，则这个图一定不是平面图。反过来说，如果保证了图是平面图，那么它的边数也不会很多。

一个图是平面图，当且仅当不存在 $K_5$ 和 $K_{3, 3}$，即五阶完全图与三阶完全二分图。