===== H. travel =====

==== 题意 ====

给定一棵点权树，从树上选三条不相交的路径，每条路径的权值定义为路径上的点权和，要求最大化三条路径权值和。

==== 题解 ====

设 $\text{dp}(u,0/1/2,i)$ 表示只考虑 $u$ 的子树，结点 $u$ 的状态为 $0/1/2$ 时，已经选中了 $i$ 条链此时的最大路径权值和。

我们需要维护一条正在生成的链，这条链不包含在已经选中的 $i$ 条链当中，如果 $u$ 状态为 $0$ 表示 $u$ 不在生成链中。

如果 $u$ 状态为 $1$ 表示 $u$ 在生成链中且 $u$ 只有一个儿子在生成链中， $u$ 状态为 $2$ 表示 $u$ 在生成链中且 $u$ 有两个儿子在生成链中。

考虑状态转移，利用生成链的合并，不难有

$$
\text{dp}(u,0,i+j)\gets \text{dp}(u,0,i)+\text{dp}(v,0,j)\\
\text{dp}(u,1,i+j)\gets \text{dp}(u,0,i)+\text{dp}(v,1,j)+a_u\\
\text{dp}(u,1,i+j)\gets \text{dp}(u,1,i)+\text{dp}(v,0,j)\\
\text{dp}(u,2,i+j)\gets \text{dp}(u,1,i)+\text{dp}(v,1,j)\\
\text{dp}(u,2,i+j)\gets \text{dp}(u,2,i)+\text{dp}(v,0,j)
$$

注意上式的 $\gets$ 表示取最大值，另外为了防止选中复数条从 $v$ 生成的链，需要开一个临时数组存储中间量。

初始状态为 $\text{dp}(u,1,0)=a_u$，最后转移完要考虑将正在生成的链转化为已经选中的链，于是有 

$$
\text{dp}(u,0,i)\gets \max(\text{dp}(u,1,i-1),\text{dp}(u,2,i-1))
$$

最终答案为 $\text{dp}(1,0,3)$，时间复杂度 $O(nk^2)$，其中 $k$ 表示最多能选中的链的个数。

[[http://tokitsukaze.live/2018/07/24/2018niuke2.H/|参考资料]]

<hidden 查看代码>
<code cpp>
const int MAXN=4e5+5,MAXK=4;
struct Edge{
	int to,next;
}edge[MAXN<<1];
int a[MAXN],head[MAXN],edge_cnt;
LL dp[MAXN][3][MAXK],tmp[3][MAXK];
void Insert(int u,int v){
	edge[++edge_cnt]=Edge{v,head[u]};
	head[u]=edge_cnt;
}
void Max(LL &a,LL b){
	if(b>a)
	a=b;
}
void dfs(int u,int fa){
	dp[u][1][0]=a[u];
	for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
		int v=edge[i].to;
		if(v==fa)continue;
		dfs(v,u);
		_for(i,0,3)_for(j,0,MAXK)
		tmp[i][j]=dp[u][i][j];
		_for(i,0,MAXK)_for(j,0,MAXK-i){
			Max(tmp[0][i+j],dp[u][0][i]+dp[v][0][j]);
			Max(tmp[1][i+j],dp[u][0][i]+dp[v][1][j]+a[u]);
			Max(tmp[1][i+j],dp[u][1][i]+dp[v][0][j]);
			Max(tmp[2][i+j],dp[u][1][i]+dp[v][1][j]);
			Max(tmp[2][i+j],dp[u][2][i]+dp[v][0][j]);
		}
		_for(i,0,3)_for(j,0,MAXK)
		dp[u][i][j]=tmp[i][j];
	}
	_for(i,1,MAXK)
	Max(dp[u][0][i],max(dp[u][1][i-1],dp[u][2][i-1]));
}
int main()
{
	int n=read_int();
	_rep(i,1,n)
	a[i]=read_int();
	_for(i,1,n){
		int u=read_int(),v=read_int();
		Insert(u,v);
		Insert(v,u);
	}
	dfs(1,0);
	enter(dp[1][0][3]);
	return 0;
}
</code>
</hidden>