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<br />
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<br />
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<br />
<b>Warning</b>:  Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /data/wiki/inc/init.php:239) in <b>/data/wiki/inc/Action/Export.php</b> on line <b>103</b><br />
[[https://acm.dingbacode.com/contests/contest_show.php?cid=1035|比赛链接]]

====== 补题情况 =====

^  题目  ^  蒋贤蒙  ^  王赵安  ^  王智彪  ^
|  B  |  0  |  0  |  0  | 
|  F  |  0  |  0  |  0  |  
|  G  |  2  |  0  |  0  |  
|  H  |  0  |  0  |  0  |  
|  L  |  0  |  0  |  0  | 

====== 题解 ===== 

===== G. Ball =====

==== 题意 ====

给定一个斜坡，有 $n$ 个洞。再给定 $m$ 个球，依次抛球，每次抛球可以决定球的初始下落位置，然后球从斜坡向下运动。

如果球遇到空洞则将该洞填补，否则向下一个洞运动。如果球没有遇到任何空洞，则出界。问恰好出界 $k$ 个球的方案数。

==== 题解 ====

设 $f(i,j)$ 表示 $i$ 个洞投 $j$ 个球且没有球出界的方案数。$g(i,j)$ 表示 $i$ 个洞投 $j$ 个球且所有洞都被填满的方案数。

枚举终态时从斜坡自下向上第一个空洞的位置 $i$，于是斜坡被分成两段，上段斜坡 $[i+1,n]$ 所有球一定不能出界，否则位置 $i$ 将不是空洞。

下段斜坡 $[1,i-1]$ 一定全部被填满，且为保证有 $k$ 个球出界，一定恰好有 $i-1+k$ 个球投向下段斜坡。

$$
\text{ans}\gets \sum_{i=1}^{n} g(i-1,i-1+k)f(n-i,m-i-k+1){m\choose i-1+k}
$$

还要考虑终态没有空洞的情况

$$
\text{ans}\gets [m=n+k]g(n,m)
$$

接下来考虑计算 $f(i,j),g(i,j)$。对 $f(i,j)(i\ge j)$，可以枚举有 $k$ 个球被抛向位置 $i$，不难发现剩下 $j-k$ 个球对应方案 $f(i-1,j-k)$。 

证明：不难发现交换投球顺序不影响终态，于是不妨假设这 $k$ 个球是最后投的。

由于前 $j-k$ 个球投完剩下 $i-j+k\ge k$ 个洞，于是 $k$ 个球可以全部进洞，证毕。最终有

$$
f(i,j)=\sum_{k=0}^j f(i-1,j-k){j\choose k}
$$

对 $g(i,j)(i\le j)$，可以枚举最后一个球的进洞位置，同样可以把斜坡分两段，顺便考虑一下最后一个球出界的情况，于是有

$$
g(i,j)=\sum_{k=0}^{i-1}\left(f(k,k)g(i-k-1,j-k-1){j-1\choose k}(k+1)\right)+g(i,j-1)i
$$

于是可以 $O\left(n^2m\right)$ 预处理，$O(n)$ 处理每个询问。

<hidden 查看代码>
<code cpp>
const int MAXN=505,MAXM=1e3+5,mod=998244353;
int f[MAXN][MAXM],g[MAXN][MAXM],C[MAXM][MAXM];
void Init(){
	C[0][0]=1;
	_for(i,1,MAXM){
		C[i][0]=1;
		_rep(j,1,i)
		C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
	}
	f[0][0]=g[0][0]=1;
	_for(i,1,MAXN){
		f[i][0]=1;
		_rep(j,1,i){
			_rep(k,0,j)
			f[i][j]=(f[i][j]+1LL*C[j][k]*f[i-1][j-k])%mod;
		}
		_for(j,i,MAXM){
			_for(k,0,i)
			g[i][j]=(g[i][j]+1LL*f[k][k]*g[i-k-1][j-k-1]%mod*C[j-1][k]%mod*(k+1))%mod;
			g[i][j]=(g[i][j]+1LL*g[i][j-1]*i)%mod;
		}
	}
}
int main(){
	Init();
	int T=read_int();
	while(T--){
		int n=read_int(),m=read_int(),k=read_int(),ans=0;
		for(int i=0,t=min(n,m-k+1);i<t;i++)
		ans=(ans+1LL*g[i][i+k]*f[n-i-1][m-i-k]%mod*C[m][i+k])%mod;
		if(m==n+k)
		ans=(ans+g[n][m])%mod;
		enter(ans);
	}
	return 0;
}
</code>
</hidden>

====== 赛后总结 =====

jxm：比赛打了两个多小时就跑了...

$A$ 暴力 $O(Tn^2)$ 的 $\text{dp}$ 卡过去了，正解是分解每个 $i=1\sim n$ 的贡献，然后 $O(Tn)$ 计算，下次应该尝试从这方面考虑。