====== 万能欧几里得算法 ======
===== 算法简介 =====
一种 $O(\log n)$ 计算形如 $f(n)=\sum_{i=1}^n \lfloor \frac {ai+b}c \rfloor$ 的函数的算法。
===== 算法原理 =====
不妨考虑待计算函数就是 $f(n)=\sum_{i=1}^n \lfloor \frac {ai+b}c\rfloor$，同时假设 $b\lt c$，考虑按如下过程计算 $f(n)$。
考虑在 $(0,n]$ 范围内逐渐增加 $x$，当 $y=\frac {ax+b}c$ 恰好等于某个整数时 $y\gets y+1$，称为 $U$ 操作。
当 $x$ 恰好等于某个整数时有 $\text{ans}\gets \text{ans}+y$，称为 $R$ 操作。如果遇到整点，先进行 $U$ 操作再进行 $R$ 操作。
于是计算 $f(n)$ 等价于处理由 $y=\frac {ax+b}c(x\in (0,n])$ 产生的操作序列 $S$。
先考虑如何得到这个操作序列，设 $g(a,b,c,n,U,R)$ 表示由 $y=\frac {ax+b}c(x\in (0,n])$ 产生的操作序列 $S$。
定义字符串幂操作 $S^k=S^{k-1}S$。
如果 $a\ge c$，显然 $R$ 操作前面至少有 $\lfloor \frac ac\rfloor$ 个 $U$ 操作。将这 $\lfloor \frac ac\rfloor$ 个 $U$ 操作和一个 $R$ 操作视为一个整体，于是有
$$
g(a,b,c,n,U,R)=g(a\bmod c,b,c,n,U,U^{\lfloor \frac ac\rfloor}R)
$$
如果 $b\ge c$，显然有
$$
g(a,b,c,n,U,R)=U^{\lfloor \frac bc\rfloor}g(a,b\bmod c,c,n,U,R)
$$
最后，如果 $c\gt \max (a,b)$，则考虑构造 $y=\frac {ax+b}c$ 按 $y=x$ 做对称变换得到的直线 $y=\frac {cx-b}a$。
不难发现，$y=\frac {cx-b}a$ 产生的序列和 $y=\frac{ax+b}c$ 产生的序列大致是互补的，即 $U/R$ 互补。
但要处理遇到整点的情况，此时两条直线都是先 $U$ 再 $R$ 不满足互补关系，考虑将 $y=\frac {cx-b}a$ 整体向下偏移得到 $y=\frac {cx-b-1}a$。
这样原先在 $y=\frac {cx-b}a$ 先 $U$ 再 $R$ 的整点等价于 $y=\frac {cx-b-1}a$ 先 $R$ 在 $U$。于是整点也满足了互补性质。
但偏移也导致 $y=\frac {cx-b-1}a$ 的边界发生了变化，考虑暴力处理边界，设 $m=\frac {an+b}c$，于是有
$$
g(a,b,c,n,U,R)=R^{\lfloor \cfrac{c-b-1}{a}\rfloor}Ug(c,(c-b-1)\bmod a,a,m-1,R,U)R^{n-\lfloor \cfrac{cm-b-1}{a}\rfloor}
$$
边界条件为 $m=0$，此时说明只有 $R$ 操作，于是 $g(a,b,c,n,U,R)=R^n$。
假如不考虑字符串拼接等操作的复杂度，上述式子可以 $O(\log n)$ 计算。
接下来考虑如何通过得到的字符串即操作序列来计算答案。事实上可以在拼接字符串时维护答案。
设 $h(S)$ 表示字符串 $S$ 对应的答案，两个串分别为 $S1,S2$，$dx=\text{cntR}(S1),dy=\text{cntU}(S1),n=\text{cntR}(S2)$。
$$
h(S1S2)=h(S1)+\sum_{i=1}^n (\lfloor \frac {ai+b}c\rfloor+dy)=h(S1)+\sum_{i=1}^n (\lfloor \frac {ai+b}c\rfloor)+n\times dy=h(S1)+h(S2)+n\times dy
$$
至于 $S^k$ 可以利用快速幂计算。整体操作复杂度为 $T(a,c)=T(c\bmod a,a)+O(\log \frac ca)$。
$T(a,c)$ 产生的 $O(\log c)-O(\log a)$ 可以和随后 $T(c\bmod a,a)$ 产生的 $O(\log a)-O(\log (c\bmod a))$ 部分抵消。
最终 $T(a,c)=O(\log c)-O(\log\gcd (a,c))\sim O(\log c)$。
===== 算法例题 =====
==== 例题一 ====
[[https://www.luogu.com.cn/problem/P5170|洛谷p5170]]
=== 题意 ===
求
$$
f(n)=\sum_{i=0}^n \lfloor \frac {ai+b}c\rfloor\\
g(n)=\sum_{i=0}^n (\lfloor \frac {ai+b}c\rfloor)^2\\
h(n)=\sum_{i=0}^n i\lfloor \frac {ai+b}c\rfloor
$$
=== 题解 ===
设 $F,G,H$ 分别表示序列 $S$ 对应 $f,g,h$ 的答案，于是有
$$
\begin{equation}\begin{split}
F(S1S2)&=F(S1)+\sum_{i=1}^n (\lfloor \frac {ai+b}c\rfloor+dy)=F(S1)+F(S2)+n\times dy\\
G(S1S2)&=G(S1)+\sum_{i=1}^n (\lfloor \frac {ai+b}c\rfloor+dy)^2 \\
&=G(S1)+\sum_{i=1}^n (\lfloor \frac {ai+b}c\rfloor)^2+
2dy\sum_{i=1}^n \lfloor \frac {ai+b}c\rfloor+dy+\sum_{i=1}^n (dy)^2\\
&=G(S1)+G(S2)+2dyF(S2)+n\times (dy)^2\\
H(S1S2)&=H(S1)+\sum_{i=1}^n (i+dx)(\lfloor \frac {ai+b}c\rfloor+dy) \\
&=H(S1)+\sum_{i=1}^n \left(i(\lfloor \frac {ai+b}c\rfloor)+i\times dy+dx(\lfloor \frac {ai+b}c\rfloor)+dxdy\right)\\
&=H(S1)+H(S2)+\frac {n(n+1)}2dy+dxF(S1)+n\times dxdy
\end{split}\end{equation}
$$
最后这题的 $i$ 是从 $0$ 开始的，万能欧几里得算法的 $i$ 是从 $1$ 开始的，注意补上 $i=0$ 的贡献。
const int mod=998244353;
struct Node{
LL cntr,cntu,f,g,h;
Node operator * (const Node &b)const{
Node c;
LL n=b.cntr,dx=cntr,dy=cntu;
c.cntr=(cntr+b.cntr)%mod;
c.cntu=(cntu+b.cntu)%mod;
c.f=(f+b.f+dy*n)%mod;
c.g=(g+b.g+dy*b.f*2+dy*dy%mod*n)%mod;
c.h=(h+b.h+n*(n+1)/2%mod*dy+dx*b.f+dx*dy%mod*n)%mod;
return c;
}
};
Node quick_pow(Node n,int k){
Node ans=Node{0,0,0,0,0};
while(k){
if(k&1)ans=ans*n;
n=n*n;
k>>=1;
}
return ans;
}
Node asgcd(int a,int b,int c,int n,Node su,Node sr){
if(a>=c)
return asgcd(a%c,b,c,n,su,quick_pow(su,a/c)*sr);
int m=(1LL*a*n+b)/c;
if(!m)
return quick_pow(sr,n);
else
return quick_pow(sr,(c-b-1)/a)*su*asgcd(c,(c-b-1)%a,a,m-1,sr,su)*quick_pow(sr,n-(1LL*c*m-b-1)/a);
}
Node cal(int a,int b,int c,int n){
Node su=Node{0,1,0,0,0},sr=Node{1,0,0,0,0};
return quick_pow(su,b/c)*asgcd(a,b%c,c,n,su,sr);
}
int main()
{
int T=read_int();
while(T--){
int n=read_int(),a=read_int(),b=read_int(),c=read_int();
Node ans=cal(a,b,c,n);
ans.f=(ans.f+b/c)%mod;
ans.g=(ans.g+1LL*(b/c)*(b/c))%mod;
space(ans.f);space(ans.g);enter(ans.h);
}
return 0;
}
==== 例题二 ====
[[https://loj.ac/p/138|LOJ#138]]
=== 题意 ===
求
$$
f(n)=\sum_{i=0}^n i^{k_1}(\lfloor \frac {ai+b}c\rfloor)^{k_2}
$$
=== 题解 ===
设 $F(S,k_1,k_2)$ 表示 $f(n)=\sum_{i=1}^n i^{k_1}(\lfloor \frac {ai+b}c\rfloor)^{k_2}$ 关于 $S$ 操作序列的答案。
\begin{equation}\begin{split}
F(S1S2,k_1,k_2)&=F(S1,k_1,k_2)+\sum_{i=1}^n (i^{k_1}+dx)^{k_1}(\lfloor \frac {ai+b}c\rfloor+dy)^{k_2}\\
&=F(S1,k_1,k_2)+\sum_{i=1}^n\sum_{t_1=0}^{k_1}\sum_{t_2=0}^{k_2}{k_1\choose t_1}{k_2\choose t_2}dx^{k_1-t_1}dy^{k_2-t_2}i^{t_1}(\lfloor \frac {ai+b}c\rfloor+dy)^{t_2}\\
&=F(S1,k_1,k_2)+\sum_{t_1=0}^{k_1}\sum_{t_2=0}^{k_2}{k_1\choose t_1}{k_2\choose t_2}dx^{k_1-t_1}dy^{k_2-t_2}F(S2,t_1,t_2)
\end{split}\end{equation}
对每个 $S$，维护矩阵 $F(S,i,j)(0\le i\le k_1,0\le j\le k_2)$，于是可以实现 $O\left(k_1^2k_2^2\right)$ 信息合并。
边界 $F(L,i,j)=0,F(R,i,j)=[j==0](0\le i\le k_1,0\le j\le k_2)$，另外注意对答案补上 $i=0$ 的贡献。时间复杂度 $O\left(k_1^2k_2^2\log c\right)$。
const int mod=1e9+7,MAXK=11;
int C[MAXK][MAXK],k1,k2;
struct Node{
int cntr,cntu,f[MAXK][MAXK];
Node(int cntr=0,int cntu=0){
this->cntr=cntr;
this->cntu=cntu;
mem(f,0);
}
Node operator * (const Node &b)const{
static int px[MAXK],py[MAXK];
Node c;
int dx=cntr,dy=cntu;
px[0]=py[0]=1;
_rep(i,1,k1)
px[i]=1LL*px[i-1]*dx%mod;
_rep(i,1,k2)
py[i]=1LL*py[i-1]*dy%mod;
c.cntr=(cntr+b.cntr)%mod;
c.cntu=(cntu+b.cntu)%mod;
_rep(i,0,k1)_rep(j,0,k2){
c.f[i][j]=f[i][j];
_rep(i2,0,i)_rep(j2,0,j)
c.f[i][j]=(c.f[i][j]+1LL*b.f[i2][j2]*C[i][i2]%mod*C[j][j2]%mod*px[i-i2]%mod*py[j-j2])%mod;
}
return c;
}
};
Node quick_pow(Node n,int k){
Node ans=Node(0,0);
while(k){
if(k&1)ans=ans*n;
n=n*n;
k>>=1;
}
return ans;
}
Node asgcd(int a,int b,int c,int n,Node su,Node sr){
if(a>=c)
return asgcd(a%c,b,c,n,su,quick_pow(su,a/c)*sr);
int m=(1LL*a*n+b)/c;
if(!m)
return quick_pow(sr,n);
else
return quick_pow(sr,(c-b-1)/a)*su*asgcd(c,(c-b-1)%a,a,m-1,sr,su)*quick_pow(sr,n-(1LL*c*m-b-1)/a);
}
Node cal(int a,int b,int c,int n){
Node su=Node(0,1),sr=Node(1,0);
_rep(i,0,k1)
sr.f[i][0]=1;
return quick_pow(su,b/c)*asgcd(a,b%c,c,n,su,sr);
}
int main()
{
C[0][0]=1;
_for(i,1,MAXK){
C[i][0]=1;
_rep(j,1,i)
C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
}
int T=read_int();
while(T--){
int n=read_int(),a=read_int(),b=read_int(),c=read_int();
k1=read_int(),k2=read_int();
Node ans=cal(a,b,c,n);
int base=1;
_rep(i,0,k2){
ans.f[0][i]=(ans.f[0][i]+base)%mod;
base=1LL*base*(b/c)%mod;
}
enter(ans.f[k1][k2]);
}
return 0;
}
int C[MAXK][MAXK];
struct Node{
int cntr,cntu,f[MAXK][MAXK];
Node(int cntr=0,int cntu=0){
this->cntr=cntr;
this->cntu=cntu;
mem(f,0);
}
Node operator * (const Node &b)const{
static int px[MAXK],py[MAXK];
static int b1[MAXK][MAXK],b2[MAXK][MAXK];
Node c;
int dx=cntr,dy=cntu;
px[0]=py[0]=1;
_for(i,1,MAXK)
px[i]=1LL*px[i-1]*dx%mod;
_for(i,1,MAXK)
py[i]=1LL*py[i-1]*dy%mod;
_for(i,0,MAXK)_rep(j,0,i){
b1[i][j]=1LL*C[i][j]*px[i-j]%mod;
b2[i][j]=1LL*C[i][j]*py[i-j]%mod;
}
c.cntr=(cntr+b.cntr)%mod;
c.cntu=(cntu+b.cntu)%mod;
_for(i,0,MAXK)_for(j,0,MAXK){
c.f[i][j]=f[i][j];
_rep(i2,0,i)_rep(j2,0,j)
c.f[i][j]=(c.f[i][j]+1LL*b.f[i2][j2]*b1[i][i2]%mod*b2[j][j2])%mod;
}
return c;
}
};
Node quick_pow(Node n,int k){
Node ans=Node(0,0);
while(k){
if(k&1)ans=ans*n;
k>>=1;
if(k)n=n*n;
}
return ans;
}
==== 例题三 ====
[[https://loj.ac/p/6440|LOJ#6440]]
=== 题意 ===
求
$$
\sum_{i=1}^n A^iB^{\lfloor \cfrac {ai+b}c\rfloor}
$$
其中，$A,B$ 为 $k\times k$ 的矩阵。
=== 题解 ===
$$
\begin{equation}\begin{split}
F(S1S2)&=F(S1)+\sum_{i=1}^n A^{i+dx}B^{\lfloor \cfrac {ai+b}c\rfloor+dy}\\
&=F(S1)+A^{dx}\left(\sum_{i=1}^n B^{\lfloor \cfrac {ai+b}c\rfloor}\right)B^{dy}
&=F(S1)+A^{dx}F(S2)B^{dy}
\end{split}\end{equation}
$$
于是可以令 $F(S)$ 维护 $(A^{cntR},B^{cntU},\text{ans})$，设 $E$ 表示单位矩阵，$Z$ 表示全 $0$ 矩阵。
边界条件 $F(U)=(E,B,Z),F(R)=(A,E,A),F()=(E,E,Z)$。时间复杂度 $O\left(k^3\log c\right)$。
const int mod=998244353,MAXN=21;
const __int128 One=1;
int sz;
struct Matrix{
int a[MAXN][MAXN];
Matrix(int type=0){
mem(a,0);
if(type){
_for(i,0,MAXN)
a[i][i]=1;
}
}
Matrix operator + (const Matrix &b)const{
Matrix c;
_for(i,0,sz)_for(j,0,sz)
c.a[i][j]=(a[i][j]+b.a[i][j])%mod;
return c;
}
Matrix operator * (const Matrix &b)const{
Matrix c;
_for(i,0,sz)_for(j,0,sz)_for(k,0,sz)
c.a[i][j]=(c.a[i][j]+1LL*a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
return c;
}
};
struct Node{
Matrix A,B,f;
Node operator * (const Node &b)const{
Node c;
c.A=A*b.A;
c.B=B*b.B;
c.f=f+A*b.f*B;
return c;
}
};
Node quick_pow(Node n,LL k){
Node ans;
ans.A=Matrix(1);
ans.B=Matrix(1);
while(k){
if(k&1)ans=ans*n;
n=n*n;
k>>=1;
}
return ans;
}
Node asgcd(LL a,LL b,LL c,LL n,Node su,Node sr){
if(a>=c)
return asgcd(a%c,b,c,n,su,quick_pow(su,a/c)*sr);
LL m=(One*a*n+b)/c;
if(!m)
return quick_pow(sr,n);
else
return quick_pow(sr,(c-b-1)/a)*su*asgcd(c,(c-b-1)%a,a,m-1,sr,su)*quick_pow(sr,n-(One*c*m-b-1)/a);
}
Matrix A,B;
Node cal(LL a,LL b,LL c,LL n){
Node su,sr;
su.A=Matrix(1);
su.B=B;
sr.A=A;
sr.B=Matrix(1);
sr.f=A;
return quick_pow(su,b/c)*asgcd(a,b%c,c,n,su,sr);
}
int main()
{
LL a=read_LL(),c=read_LL(),b=read_LL(),n=read_LL();
sz=read_int();
_for(i,0,sz)_for(j,0,sz)
A.a[i][j]=read_int();
_for(i,0,sz)_for(j,0,sz)
B.a[i][j]=read_int();
Node ans=cal(a,b,c,n);
_for(i,0,sz){
_for(j,0,sz)
space(ans.f.a[i][j]);
putchar('\n');
}
return 0;
}
===== 参考资料 =====
这两篇还有配图，方便理解。
[[https://www.luogu.com.cn/blog/ILikeDuck/mo-neng-ou-ji-li-dei-suan-fa|C3H5ClO的博客]]
[[https://www.luogu.com.cn/blog/ix-35/solution-p5170|ix35_ 的博客]]