====== 可持久化字典树 ======

===== 算法简介 =====

一种可以维护历史版本的字典树，实现方面与可持久化线段树类似，主要用于维护区间异或和。

时间复杂度和空间复杂度均为 $O\left(m\log n\right)$。

===== 算法例题 =====

[[https://www.luogu.com.cn/problem/P4735|洛谷p4735]]

==== 题意 ====

给定序列 $a_1,a_2\cdots a_n$，支持下述操作：

  - 在序列末尾添加一个数 $x$
  - 给定 $l,r,x$，询问 $\max_{l \le p\le r} x\oplus(a_p\oplus a_{p+1}\oplus \cdots \oplus a_N)$，其中 $N$ 表示当前序列长度

==== 题解 ====

设 $S_i=a_1\oplus a_2\oplus \cdots \oplus a_i$，于是询问操作变为 $\max_{l-1\le p\le r-1} x\oplus S_N\oplus S_p$。

考虑对序列 ${S_0,S_1,S_2\cdots S_n}$ 建立可持久化字典树，修改操作等价于在最后版本基础上插入新元素。

查询操作用类似主席树的方法查询区间中每个数与 $x\oplus S_N$ 异或的最大值即可。

<hidden 查看代码>
<code cpp>
const int MAXN=3e5+5,MAXM=24;
int root[MAXN<<1],ch[MAXN*50][2],val[MAXN*50],cnt;
void Insert(int &k,int p,int pos,int v){
	k=++cnt;
	val[k]=val[p]+1;
	if(pos<0)return;
	int dir=(v>>pos)&1;
	ch[k][!dir]=ch[p][!dir];
	Insert(ch[k][dir],ch[p][dir],pos-1,v);
}
int query(int k1,int k2,int v){
	int ans=0,pos=MAXM-1;
	while(~pos){
		int dir=(v>>pos)&1;
		if(val[ch[k2][!dir]]-val[ch[k1][!dir]])
		ans|=(1<<pos),k1=ch[k1][!dir],k2=ch[k2][!dir];
		else
		k1=ch[k1][dir],k2=ch[k2][dir];
		pos--;
	}
	return ans;
}
int s[MAXN];
int main()
{
	int n=read_int(),m=read_int(),pre=0;
	Insert(root[1],root[0],MAXM-1,0);
	n++;
	_rep(i,2,n){
		pre=pre^read_int();
		Insert(root[i],root[i-1],MAXM-1,pre);
	}
	char opt;
	int l,r,x;
	while(m--){
		opt=get_char();
		if(opt=='A'){
			pre=pre^read_int();
			Insert(root[n+1],root[n],MAXM-1,pre);
			n++;
		}
		else{
			l=read_int(),r=read_int(),x=read_int();
			enter(query(root[l-1],root[r],pre^x));
		}
	}
	return 0;
}
</code>
</hidden>

===== 算法练习 =====

==== 习题一 ====

[[https://www.luogu.com.cn/problem/P4098|洛谷p4098]]

=== 题意 ===

给定 $n$ 个互异的数。求 $a_i\oplus a_j$ 的最大值，其中 $i,j\in [l,r]$ 且 $a_i$ 为 $a_l,a_{l+1}\cdots a_r$ 的次大值。

=== 题解 ===

枚举每个次大值，显然次大值确定时区间尽可能向两边拓展可以取到最优解。

考虑对 $a_i$ 进行排序，然后通过双向链表确定最优区间(至多存在两个)。区间查询通过可持久化字典即可完成。

时空间复杂度 $O(n\log v)$。

<hidden 查看代码>
<code cpp>
const int MAXN=5e4+5,MAXM=30;
int root[MAXN],ch[MAXN*32][2],val[MAXN*32],cnt;
void Insert(int &k,int p,int pos,int v){
	k=++cnt;
	val[k]=val[p]+1;
	if(pos<0)return;
	int dir=(v>>pos)&1;
	ch[k][!dir]=ch[p][!dir];
	Insert(ch[k][dir],ch[p][dir],pos-1,v);
}
int query(int lef,int rig,int v){
	int ans=0,pos=MAXM-1,k1=root[lef-1],k2=root[rig];
	while(~pos){
		int dir=(v>>pos)&1;
		if(val[ch[k2][!dir]]-val[ch[k1][!dir]])
		ans|=(1<<pos),k1=ch[k1][!dir],k2=ch[k2][!dir];
		else
		k1=ch[k1][dir],k2=ch[k2][dir];
		pos--;
	}
	return ans;
}
int pre[MAXN],nxt[MAXN];
pair<int,int> a[MAXN];
int main()
{
	int n=read_int(),head=0,tail=n+1;
	nxt[head]=1,pre[tail]=n;
	_rep(i,1,n){
		nxt[i]=i+1,pre[i]=i-1;
		a[i]=make_pair(read_int(),i);
		Insert(root[i],root[i-1],MAXM-1,a[i].first);
	}
	sort(a+1,a+n+1);
	int ans=0;
	_rep(i,1,n){
		int l=pre[a[i].second],r=nxt[a[i].second];
		nxt[l]=r,pre[r]=l;
		if(l!=head)ans=max(ans,query(pre[l]+1,r-1,a[i].first));
		if(r!=tail)ans=max(ans,query(l+1,nxt[r]-1,a[i].first));
	}
	enter(ans);
	return 0;
}
</code>
</hidden>

==== 习题二 ====

[[https://www.luogu.com.cn/problem/P5283|洛谷p5283]]

=== 题意 ===

给定 $n$ 个互异的数，求前 $k$ 大的区间异或和。

=== 题解 ===

前缀异或和处理，问题转化为求前 $k$ 大的点对异或和。

考虑用优先队列维护每个固定点 $i$ 对配对区间 $[0,i-1]$ 的最佳答案，设 $i$ 的最大答案位置为 $k_i$。则全局最大答案一定为某个 $(k_i,i)$。

弹出全局最大答案，固定点 $i$ 的第二大答案位置一定在区间 $[0,k_i-1]$ 和 $[k_i+1,i-1]$，将其加入优先队列。

重复 $k$ 次即可得到全局前 $k$ 大答案。

<hidden 查看代码>
<code cpp>
const int MAXN=5e5+5,MAXM=32;
int root[MAXN],ch[MAXN*35][2],val[MAXN*35],idx[MAXN*35],cnt;
void Insert(int &k,int p,int id,LL v,int pos){
	k=++cnt;
	val[k]=val[p]+1;
	if(pos<0){
		idx[k]=id;
		return;
	}
	int dir=(v>>pos)&1;
	ch[k][!dir]=ch[p][!dir];
	Insert(ch[k][dir],ch[p][dir],id,v,pos-1);
}
int query(int lef,int rig,LL v){
	int pos=MAXM-1,k1=lef?root[lef-1]:0,k2=root[rig];
	while(~pos){
		int dir=(v>>pos)&1;
		if(val[ch[k2][!dir]]-val[ch[k1][!dir]])
		k1=ch[k1][!dir],k2=ch[k2][!dir];
		else
		k1=ch[k1][dir],k2=ch[k2][dir];
		pos--;
	}
	return idx[k2];
}
LL a[MAXN];
struct Node{
	int ql,qr,x,nxt;
	LL v;
	bool operator < (const Node &b)const{
		return v<b.v;
	}
	Node(int ql=0,int qr=0,int x=0){
		this->ql=ql,this->qr=qr,this->x=x;
		nxt=query(ql,qr,a[x]);
		v=a[x]^a[nxt];
	}
};
priority_queue<Node> q;
int main()
{
	int n=read_int(),k=read_int();
	Insert(root[0],root[0],0,0,MAXM-1);
	_rep(i,1,n)a[i]=read_LL()^a[i-1],Insert(root[i],root[i-1],i,a[i],MAXM-1);
	_rep(i,1,n)q.push(Node(0,i-1,i));
	LL ans=0;
	while(k--){
		Node temp=q.top();q.pop();
		ans+=temp.v;
		if(temp.nxt>temp.ql)q.push(Node(temp.ql,temp.nxt-1,temp.x));
		if(temp.nxt<temp.qr)q.push(Node(temp.nxt+1,temp.qr,temp.x));
	}
	enter(ans);
	return 0;
}
</code>
</hidden>

==== 习题三 ====

[[https://www.luogu.com.cn/problem/P5795|洛谷p5795]]

=== 题意 ===

给定一个长度为 $n$ 的序列 $X$ 和长度为 $m$ 的序列 $Y$，定义矩阵元素 $A_{i,j}=X_i\oplus Y_j$，接下来 $q$ 个询问。

每次询问 $A_{i,j}(l_1\le i\le r_1,l_2\le j\le r_2)$ 第 $k$ 大。数据保证 $n\le 1000,m\le 300000,q\le 500$。

=== 题解 ===

对序列 $Y$ 建字典树，差分维护区间结点个数。每次询问时同时对序列 $X_i(l_1\le r_1)$ 跳字典树。

考虑按位贪心，先查询异或结果为 $1$ 的结点个数，根据结点个数考虑跳边方向。时间复杂度 $O((nq+m)\log v)$。

<hidden 查看代码>
<code cpp>
const int MAXN=1e3+5,MAXM=3e5+5,MAXL=31;
struct Node{
	int ch[2],sz;
}node[MAXM*40];
int root[MAXM],node_cnt;
void Insert(int &k,int p,int v){
	int pos=k=++node_cnt;
	for(int i=MAXL-1;~i;i--){
		int dir=(v>>i)&1;
		node[pos].ch[!dir]=node[p].ch[!dir];
		node[pos].ch[dir]=++node_cnt;
		pos=node[pos].ch[dir];
		p=node[p].ch[dir];
		node[pos].sz=node[p].sz+1;
	}
}
int x[MAXN],y[MAXM],cur_pos[MAXN][2];
int query(int l1,int r1,int l2,int r2,int rk){
	int ans=0;
	_rep(i,l1,r1){
		cur_pos[i][0]=root[r2];
		cur_pos[i][1]=root[l2-1];
	}
	for(int i=MAXL-1;~i;i--){
		int cnt=0;
		_rep(j,l1,r1){
			int dir=((x[j]>>i)&1)^1;
			cnt+=node[node[cur_pos[j][0]].ch[dir]].sz-node[node[cur_pos[j][1]].ch[dir]].sz;
		}
		int flag=cnt>=rk;
		if(flag)
		ans|=1<<i;
		else
		rk-=cnt;
		_rep(j,l1,r1){
			int dir=((x[j]>>i)&1)^flag;
			cur_pos[j][0]=node[cur_pos[j][0]].ch[dir];
			cur_pos[j][1]=node[cur_pos[j][1]].ch[dir];
		}
	}
	return ans;
}
int main()
{
	int n=read_int(),m=read_int();
	_rep(i,1,n)x[i]=read_int();
	_rep(i,1,m){
		y[i]=read_int();
		Insert(root[i],root[i-1],y[i]);
	}
	int q=read_int();
	while(q--){
		int l1=read_int(),r1=read_int(),l2=read_int(),r2=read_int();
		enter(query(l1,r1,l2,r2,read_int()));
	}
	return 0;
}
</code>
</hidden>