====== Codeforces Round #654 (Div. 2) ======

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===== E2. Asterism (Hard Version) =====

==== 题意 ====

给定 $n$ 个正整数，代表 $n$ 个敌人，每个敌人有 $a_i$ 颗糖，再给定一个素数 $p(p \le n)$。

定义游戏规则为一开始玩家拥有若干颗糖，每次玩家可以选取一个未挑战且手上糖果数不大于玩家的敌人，打败他获得一颗糖果。

定义 $f(x)$ 为玩家一开始拥有 $x$ 颗糖时可以战胜所有敌人的方案数。

要求输出所有满足 $p\nmid f(x)$ 的 $x$。

==== 题解 $1$ ====

设 $b_i$ 为糖果数不大于 $i$ 的敌人个数，$C_i(x)=b_{x+i}-i$。

有 $f(x)=\prod_{i=0}^{n-1} C_i(x)$。

易知 $C_{n-1}(x)\le 1$ 且 $C_i(x)-C_{i-1}(x)=b_{x+i}-1\ge -1$。

所以 $p\nmid f(x)\iff \forall i(0\le i\lt n \longrightarrow C_i\lt p)$。

由于 $C_i(x)\le C_i(x+1)$，所以答案为一段区间。

考虑 $x$ 的可能范围，记 $A=\max a_i$。若 $x\le A-n$，则 $f(x)= 0$，有 $p\mid f(x)$。若 $x\ge A$，则 $f(x)= n!$，有 $p\mid f(x)$。

所以将区间左端点初值设为 $A-n+1$，右端点初值设为 $A$，暴力枚举 $i=0\sim n-1$ 的情况，维护一下即可，时间复杂度 $O(n)$。

<hidden 查看代码>
<code cpp>
const int MAXN=1e5+5;
int a[MAXN],b[MAXN<<1];
int main()
{
	int n=read_int(),p=read_int(),A=0;
	_for(i,0,n){
		a[i]=read_int();
		A=max(A,a[i]);
	}
	_for(i,0,n)
	b[max(0,a[i]-(A-n))]++;
	_for(i,1,n<<1)
	b[i]+=b[i-1];
	int st=1,en=n;
	_rep(i,1,n){
		while(b[st+(i-1)]<i)
		st++;
	}
	_for(i,0,n){
		while(b[en+i]-i>=p)
		en--;
	}
	st+=(A-n),en+=(A-n);
	if(st<=en){
		enter(en-st+1);
		_rep(i,st,en){
			if(i!=st)
			putchar(' ');
			write(i);
		}
	}
	else
	enter(0);
	return 0;
}
</code>
</hidden>

==== 题解 $2$ ====

$f(x)=\prod_{i=0}^{n-1} C_i(x)=\prod_{i=0}^{n-1} b_{x+i}-i=\prod_{i=x}^{x+n-1} b_{i}-i+x$。

所以 $p\nmid f(x)\iff$ 对所有 $x\le i\lt x+n$，有 $x$ 与 $i-b_{i}$ 不同余 $\iff$ $x-(A-n)$ 与 $i-(A-n)-b_{i}$ 不同余。

暴力枚举 $A-n\lt x\lt A$，考虑 $i-b_{i}$ 对于 $x$ 与 $x-1$ 的约束只用一项不同，所以可以用滑动窗口维护。

<hidden 查看代码>
<code cpp>
const int MAXN=1e5+5;
int a[MAXN],b[MAXN<<1],c[MAXN],ans[MAXN],cnt;
int mod(int a,int p){return (a%p+p)%p;}
int main()
{
	int n=read_int(),p=read_int(),A=0;
	_for(i,0,n){
		a[i]=read_int();
		A=max(A,a[i]);
	}
	_for(i,0,n)
	b[max(0,a[i]-(A-n))]++;
	_for(i,1,n<<1)
	b[i]+=b[i-1];
	_for(i,0,n)
	c[mod(i-b[i],p)]++;
	_for(i,1,n){
		c[mod(i-1-b[i-1],p)]--;
		c[mod(i+n-1-b[i+n-1],p)]++;
		if(!c[i%p])
		ans[cnt++]=i+A-n;
	}
	enter(cnt);
	_for(i,0,cnt){
		if(i)
		putchar(' ');
		write(ans[i]);
	}
	return 0;
}
</code>
</hidden>

===== F. Raging Thunder =====

==== 题意 ====

<del>题目太长了，所以省略了</del>

==== 题解 ====

序列操作，很明显用线段树维护。

每个区间考虑维护该区间的前缀和后缀以及非前后缀的最大答案。

同时每个区间还需要维护一个 $\text{type}$ 参数来区间是有前后缀的区间还是不分前后缀的区间。

关于区间合并，考虑将 '< >' 可作为串的划分标志，'<' 左边的串和 '>' 右边的串互不关联。

另外每个线段树结点需要同时维护两个区间，一个为正常区间，一个为 '<' 和 '>' 互换的区间，便于修改和查询操作。

还有关于 $\text{push_up}$ 操作要注意提前下放子节点的懒标记，否则会出错。

时间复杂度 $O(n+q\log n)$，细节见代码。

<hidden 查看代码>
<code cpp>
const int MAXN=5e5+5;
struct Node{
	int str[2][2],ans;
	bool type;
}node[MAXN<<2][2];
int lef[MAXN<<2],rig[MAXN<<2];
bool isleaf[MAXN<<2],lazy[MAXN<<2];
char buf[MAXN];
Node merge(const Node &lef,const Node &rig){
	Node temp;
	temp.ans=max(lef.ans,rig.ans);
	if(lef.type&&rig.type){
		temp.type=true;
		temp.str[0][0]=lef.str[0][0];
		temp.str[0][1]=lef.str[0][1];
		temp.str[1][0]=rig.str[1][0];
		temp.str[1][1]=rig.str[1][1];
		if(lef.str[1][1]&&rig.str[0][0])
		temp.ans=max(max(lef.str[1][0]+lef.str[1][1],rig.str[0][0]+rig.str[0][1]),temp.ans);
		else
		temp.ans=max(lef.str[1][0]+lef.str[1][1]+rig.str[0][0]+rig.str[0][1],temp.ans);
	}
	else if(lef.type){
		temp.type=true;
		temp.str[0][0]=lef.str[0][0];
		temp.str[0][1]=lef.str[0][1];
		if(lef.str[1][1]&&rig.str[0][0]){
			temp.ans=max(lef.str[1][0]+lef.str[1][1],temp.ans);
			temp.str[1][0]=rig.str[0][0];
			temp.str[1][1]=rig.str[0][1];
		}
		else{
			temp.str[1][0]=lef.str[1][0]+rig.str[0][0];
			temp.str[1][1]=lef.str[1][1]+rig.str[0][1];
		}
	}
	else if(rig.type){
		temp.type=true;
		temp.str[1][0]=rig.str[1][0];
		temp.str[1][1]=rig.str[1][1];
		if(lef.str[0][1]&&rig.str[0][0]){
			temp.ans=max(rig.str[0][0]+rig.str[0][1],temp.ans);
			temp.str[0][0]=lef.str[0][0];
			temp.str[0][1]=lef.str[0][1];
		}
		else{
			temp.str[0][0]=lef.str[0][0]+rig.str[0][0];
			temp.str[0][1]=lef.str[0][1]+rig.str[0][1];
		}
	}
	else{
		if(lef.str[0][1]&&rig.str[0][0]){
			temp.type=true;
			temp.str[0][0]=lef.str[0][0];
			temp.str[0][1]=lef.str[0][1];
			temp.str[1][0]=rig.str[0][0];
			temp.str[1][1]=rig.str[0][1];
		}
		else{
			temp.type=false;
			temp.str[0][0]=lef.str[0][0]+rig.str[0][0];
			temp.str[0][1]=lef.str[0][1]+rig.str[0][1];
			temp.str[1][0]=temp.str[1][1]=0;
		}
	}
	return temp;
}
void push_down(int k){
	if(lazy[k]){
		swap(node[k][0],node[k][1]);
		lazy[k]=false;
		if(!isleaf[k])
		lazy[k<<1]^=1,lazy[k<<1|1]^=1;
	}
}
void push_up(int k){
	push_down(k<<1);push_down(k<<1|1);
	node[k][0]=merge(node[k<<1][0],node[k<<1|1][0]);
	node[k][1]=merge(node[k<<1][1],node[k<<1|1][1]);
}
void build(int k,int L,int R){
	lef[k]=L,rig[k]=R;
	int M=L+R>>1;
	if(L==R){
		isleaf[k]=true;
		if(buf[M]=='<'){
			node[k][0].str[0][1]=1;
			node[k][1].str[0][0]=1;
		}
		else{
			node[k][0].str[0][0]=1;
			node[k][1].str[0][1]=1;
		}
		return;
	}
	build(k<<1,L,M);
	build(k<<1|1,M+1,R);
	push_up(k);
}
void update(int k,int L,int R){
	if(L<=lef[k]&&rig[k]<=R)
	return lazy[k]^=1,void();
	push_down(k);
	int mid=lef[k]+rig[k]>>1;
	if(mid<L)
	update(k<<1|1,L,R);
	else if(mid>=R)
	update(k<<1,L,R);
	else{
		update(k<<1,L,R);
		update(k<<1|1,L,R);
	}
	push_up(k);
}
Node query(int k,int L,int R){
	push_down(k);
	if(L<=lef[k]&&rig[k]<=R)
	return node[k][0];
	int mid=lef[k]+rig[k]>>1;
	if(mid<L)
	return query(k<<1|1,L,R);
	else if(mid>=R)
	return query(k<<1,L,R);
	else
	return merge(query(k<<1,L,R),query(k<<1|1,L,R));
}
int main()
{
	int n=read_int(),q=read_int(),l,r;
	Node temp;
	scanf("%s",buf+1);
	build(1,1,n);
	while(q--){
		l=read_int(),r=read_int();
		update(1,l,r);
		temp=query(1,l,r);
		enter(max(temp.ans,max(temp.str[0][0]+temp.str[0][1],temp.str[1][0]+temp.str[1][1])));
	}
	return 0;
}
</code>
</hidden>