====== $\text{dp}$ 套 $\text{dp}$ ======

===== 算法简介 =====

把 $\text{dp}$ 当作内层状态进行转移。

===== 算法例题 =====

==== 例题一 ====

[[https://acm.dingbacode.com/showproblem.php?pid=4899|HDU4899]]

=== 题意 ===

给定一个长度为 $n$ 的字符串 $S$。对 $i=0\sim n$，求有多少长度为 $m$ 的 $T$ 满足 $\text{LCS}(S,T)=i$。其中字符集为 
 $\text{ATGC}$。

=== 题解 ===

首先 $\text{LCS}$ 的经典算法，设 $\text{dp}(i,j)=\text{LCS}(T[1\sim i],S[1\sim j])$，于是有


$$
\text{dp}(i,j) =
\begin{cases}
\text{dp}(i-1,j-1)+1, & T[i] = S[j]  \\
\max(\text{dp}(i-1,j),\text{dp}(i,j-1)), & T[i]\neq S[j]
\end{cases}
$$

固定 $S$，不难发现 $\text{dp}(i,\ast)$ 的结果只与 $\text{dp}(i-1,\ast)$ 以及 $T[i]$ 相关。

不妨考虑状态表示 $\text{dp}(i,\ast)$ 数组。这是一个一维数组，且 $0\le \text{dp}(i,j)-\text{dp}(i,j-1)\le 1$，因此可以通过差分用一个二进制数表示状态。

考虑处理出 $\text{dp}(i-1,\ast)\to \text{dp}(i,\ast)$，其中转移边为 $T[i]=\text{ATGC}$，这是一个自动机。

设 $\text{f}(i,j)$ 表示所有长度为 $i$ 状态为 $j$ 的 $T$ 的数量，利用自动机进行状态转移即可。总时间复杂度 $O(|\sum|2^nm)$。

<hidden 查看代码>
<code cpp>
const int MAXB=15,MAXN=20,mod=1e9+7;
int a[MAXN],b[MAXN],c[MAXN],nxt[1<<MAXB][4],dp[2][1<<MAXB],ans[MAXN];
char s[MAXN];
void decode(int p,int n){
	_rep(i,1,n){
		b[i]=p&1;
		b[i]+=b[i-1];
		p>>=1;
	}
}
int encode(int n){
	int p=0;
	for(int i=n;i;i--){
		c[i]-=c[i-1];
		p<<=1;
		p+=c[i];
	}
	return p;
}
void add(int &a,int b){
	a+=b;
	a%=mod;
}
void solve(){
	scanf("%s",s+1);
	int n=strlen(s+1),m=read_int();
	_rep(i,1,n){
		if(s[i]=='A')
		a[i]=0;
		else if(s[i]=='G')
		a[i]=1;
		else if(s[i]=='T')
		a[i]=2;
		else
		a[i]=3;
	}
	int S=1<<n;
	_for(i,0,S){
		decode(i,n);
		_for(j,0,4){
			_rep(k,1,n){
				if(a[k]==j)
				c[k]=b[k-1]+1;
				else
				c[k]=max(c[k-1],b[k]);
			}
			nxt[i][j]=encode(n);
		}
	}
	int pos=0;
	mem(dp[pos],0);
	dp[pos][0]=1;
	_for(k,0,m){
		pos=!pos;
		mem(dp[pos],0);
		_for(i,0,S){
			_for(j,0,4)
			add(dp[pos][nxt[i][j]],dp[!pos][i]);
		}
	}
	mem(ans,0);
	_for(i,0,S){
		decode(i,n);
		add(ans[b[n]],dp[pos][i]);
	}
	_rep(i,0,n)
	enter(ans[i]);
}
int main()
{
	int T=read_int();
	while(T--)
	solve();
	return 0;
}
</code>
</hidden>


==== 例题二 ====

[[https://www.luogu.com.cn/problem/P4590|洛谷p4899]]

=== 题意 ===

给定一个长度为 $n$ 的字符串 $S$。对 $i=0\sim n$，求有多少长度为 $m$ 的 $T$ 满足 $\text{LCS}(S,T)=i$ 且 $T$ 不含 $\text{NOI}$ 子串。其中字符集为 $\text{NOI}$。

=== 题解 ===

模拟 $\text{KMP}$ 记录 $T$ 与 $\text{NOI}$ 的匹配情况即可，也是一个自动机，本题该状态可任意放在内/外层 $\text{dp}$ 维护。但是状态比较复杂时建议放在内层维护。