====== 回文树 ======

===== 结构 =====

回文树大概长这样：

{{https://oi-wiki.org/string/images/pam1.png| img}}

===== 功能 =====

假设我们有一个串 $S$，$S$ 下标从 $0$ 开始，则回文树能做到如下几点：

  - 求串 $S$ 前缀 $0\sim i$ 内本质不同回文串的个数（两个串长度不同或者长度相同且至少有一个字符不同便是本质不同）。
  - 求串 $S$ 内每一个本质不同回文串出现的次数。
  - 求串 $S$ 内回文串的个数（其实就是 $1$ 和 $2$ 结合起来）。
  - 求以下标 $i$ 结尾的回文串的个数。

===== 模板 =====

<hidden>
<code cpp>
const int MAXN = 100005 ;  
const int N = 26 ;  

struct Palindromic_Tree {  
    //cnt最后count一下之后是那个节点代表的回文串出现的次数
    int next[MAXN][N] ;//next指针，next指针和字典树类似，指向的串为当前串两端加上同一个字符构成  
    int fail[MAXN] ;//fail指针，失配后跳转到fail指针指向的节点  
    int cnt[MAXN] ; //表示节点i表示的本质不同的串的个数（建树时求出的不是完全的，最后count()函数跑一遍以后才是正确的） 
    int num[MAXN] ; //表示以节点i表示的最长回文串的最右端点为回文串结尾的回文串个数
    int len[MAXN] ;//len[i]表示节点i表示的回文串的长度（一个节点表示一个回文串）
    int S[MAXN] ;//存放添加的字符  
    int last ;//指向新添加一个字母后所形成的最长回文串表示的节点。
    int n ;//表示添加的字符个数。
    int p ;//表示添加的节点个数。

    int newnode ( int l ) {//新建节点  
        for ( int i = 0 ; i < N ; ++ i ) next[p][i] = 0 ;  
        cnt[p] = 0 ;  
        num[p] = 0 ;  
        len[p] = l ;  
        return p ++ ;  
    }  

    void init () {//初始化  
        p = 0 ;  
        newnode (  0 ) ;  
        newnode ( -1 ) ;  
        last = 0 ;  
        n = 0 ;  
        S[n] = -1 ;//开头放一个字符集中没有的字符，减少特判  
        fail[0] = 1 ;  
    }  

    int get_fail ( int x ) {//和KMP一样，失配后找一个尽量最长的  
        while ( S[n - len[x] - 1] != S[n] ) x = fail[x] ;  
        return x ;  
    }  

    void add ( int c ) {  
        c -= 'a' ;  
        S[++ n] = c ;  
        int cur = get_fail ( last ) ;//通过上一个回文串找这个回文串的匹配位置  
        if ( !next[cur][c] ) {//如果这个回文串没有出现过，说明出现了一个新的本质不同的回文串  
            int now = newnode ( len[cur] + 2 ) ;//新建节点  
            fail[now] = next[get_fail ( fail[cur] )][c] ;//和AC自动机一样建立fail指针，以便失配后跳转  
            next[cur][c] = now ;  
            num[now] = num[fail[now]] + 1 ;  
        }  
        last = next[cur][c] ;  
        cnt[last] ++ ;  
    }  

    void count () {  
        for ( int i = p - 1 ; i >= 0 ; -- i ) cnt[fail[i]] += cnt[i] ;  
        //父亲累加儿子的cnt，因为如果fail[v]=u，则u一定是v的子回文串！  
    }  
} ;
</code>
</hidden>

===== 例题 =====

[[https://www.luogu.com.cn/problem/P5496|P5496 【模板】回文自动机 (PAM)]]

**题意**：给定一个字符串 $s$。保证每个字符为小写字母。对于 $s$ 的每个位置，请求出以该位置结尾的回文子串个数。

**题解**：理解好模板中的 $last$ 和 $num[]$ 的意义即可做。

**评价**：实现了 **功能 4**。

**代码**：

<hidden>
<code cpp>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+5;
struct Palindromic_Tree{
    int nxt[N][26],fail[N],cnt[N],num[N],len[N],S[N],last,n,p;
    int newnode(int l){
        memset(nxt[p],0,sizeof(nxt[p]));
        cnt[p]=num[p]=0;
        len[p]=l;
        return p++;
    }
    void init(){
        p=0;
        newnode(0);
        newnode(-1);
        last=0;
        n=0;
        S[n]=-1;
        fail[0]=1;
    }
    int get_fail(int x){
        while(S[n-len[x]-1]!=S[n]) x=fail[x];
        return x;
    }
    void add(int c){
        c-='a';
        S[++n]=c;
        int cur=get_fail(last);
        if(!nxt[cur][c]){
            int now=newnode(len[cur]+2);
            fail[now]=nxt[get_fail(fail[cur])][c];
            nxt[cur][c]=now;
            num[now]=num[fail[now]]+1;
        }
        last=nxt[cur][c];
        cnt[last]++;
    }
    void count(){
        for(int i=p-1;i>=0;i--) cnt[fail[i]]+=cnt[i];
    }
}P;
char s[N];
int main(){
    scanf("%s",s);
    int len=strlen(s);
    P.init();
    P.add(s[0]);
    int k=P.num[P.last];
    printf("%d",k);
    for(int i=1;i<len;i++){
        P.add((s[i]-97+k)%26+97);
        k=P.num[P.last];
        printf(" %d",k);
    }
    return 0;
}
</code>
</hidden>

[[https://www.luogu.com.cn/problem/P3649|P3649 [APIO2014]回文串]]

**题意**：给你一个由小写拉丁字母组成的字符串 $s$。我们定义 $s$ 的一个子串的存在值为这个子串在 $s$ 中出现的次数乘以这个子串的长度。对于给你的这个字符串 $s$，求所有回文子串中的最大存在值。

**题解**：利用模板中的 $len[]$ 和 $cnt[]$ 即可。

**评价**：利用了 **功能 2**。

**代码**：

<hidden>
<code cpp>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=3e5+5;
struct Palindromic_Tree{
    int nxt[N][26],fail[N],cnt[N],num[N],len[N],S[N],last,n,p;
    int newnode(int l){
        memset(nxt[p],0,sizeof(nxt[p]));
        cnt[p]=num[p]=0;
        len[p]=l;
        return p++;
    }
    void init(){
        p=0;
        newnode(0);
        newnode(-1);
        last=0;
        n=0;
        S[n]=-1;
        fail[0]=1;
    }
    int get_fail(int x){
        while(S[n-len[x]-1]!=S[n]) x=fail[x];
        return x;
    }
    void add(int c){
        c-='a';
        S[++n]=c;
        int cur=get_fail(last);
        if(!nxt[cur][c]){
            int now=newnode(len[cur]+2);
            fail[now]=nxt[get_fail(fail[cur])][c];
            nxt[cur][c]=now;
            num[now]=num[fail[now]]+1;
        }
        last=nxt[cur][c];
        cnt[last]++;
    }
    void count(){
        for(int i=p-1;i>=0;i--) cnt[fail[i]]+=cnt[i];
    }
}P;
char s[N];
int main(){
    P.init();
    scanf("%s",s);
    int len=strlen(s);
    for(int i=0;i<len;i++) P.add(s[i]);
    P.count();
    long long maxx=0;
    for(int i=0;i<P.p;i++){
        maxx=max(maxx,1ll*P.len[i]*P.cnt[i]);
    }
    printf("%lld",maxx);
    return 0;
}
</code>
</hidden>

[[https://www.luogu.com.cn/problem/P1659|P1659 [国家集训队]拉拉队排练]]

**题意**：连续的一段奇回文串被称作和谐小群体，找出所有和谐小群体并按长度降序排列后，求前 $K$ 个的长度之积并取模。

**题解**：利用模板的 $cnt[]$ 和 $len[]$ 数组来处理。

**代码**：

<hidden>
<code cpp>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5,mod=19930726;
typedef long long ll;
ll fastpow(int x,int y){
    ll ret=1;
    for(;y;y>>=1,x=1ll*x*x%mod)
        if(y&1) ret=1ll*ret*x%mod;
    return ret;
}
struct Palindromic_Tree{
    int nxt[N][26],fail[N],cnt[N],len[N],S[N],last,n,p;
    int newnode(int l){
        memset(nxt[p],0,sizeof(nxt[p]));
        cnt[p]=0;
        len[p]=l;
        return p++;
    }
    void init(){
        p=0;
        newnode(0);
        newnode(-1);
        last=0;
        n=0;
        S[n]=-1;
        fail[0]=1;
    }
    int get_fail(int x){
        while(S[n-len[x]-1]!=S[n]) x=fail[x];
        return x;
    }
    void add(int c){
        c-='a';
        S[++n]=c;
        int cur=get_fail(last);
        if(!nxt[cur][c]){
            int now=newnode(len[cur]+2);
            fail[now]=nxt[get_fail(fail[cur])][c];
            nxt[cur][c]=now;
        }
        last=nxt[cur][c];
        cnt[last]++;
    }
    void count(){
        for(int i=p-1;i>=0;i--) cnt[fail[i]]+=cnt[i];
    }
}P;

char s[N];
bool cmp(const pair<int,int>&a,const pair<int,int>&b){
    return a.first>b.first;
}
int main(){
    P.init();
    ll n,k;
    scanf("%lld %lld",&n,&k);
    scanf("%s",s);
    int len=strlen(s);
    for(int i=0;i<len;i++) P.add(s[i]);
    P.count();
    ll K=0;
    vector<pair<int,int>>v;
    for(int i=0;i<P.p;i++)
        if(P.len[i]>0&&(P.len[i]&1))
            K+=P.cnt[i],v.push_back(make_pair(P.len[i],P.cnt[i]));
    if(K<k){
        printf("-1");return 0;
    }
    sort(v.begin(),v.end(),cmp);
    ll ans=1;
    for(int i=0;i<v.size();i++){
        if(k<=0) break;
        if(k>=v[i].second){
            ans=(ans*1ll*fastpow(v[i].first,v[i].second))%mod;
            k-=v[i].second;
        }
        else{
            ans=(ans*1ll*fastpow(v[i].first,k))%mod;
            break;
        }
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}
</code>
</hidden>

[[https://www.luogu.com.cn/problem/P4287|P4287 [SHOI2011]双倍回文]]

**题意**：记字符串 $w$ 的倒置为 $w^R$。如果 $x$ 能够写成 $ww^Rww^R$ 的形式，则称它是一个“双倍回文”。给定字符串，计算它的最长双倍回文子串的长度。

**题解**：利用好 $trans$ 指针的性质即可。

**代码**：

<hidden>
<code cpp>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+5;
struct Palindromic_Tree{
    int nxt[N][26],fail[N],cnt[N],num[N],len[N],S[N],last,n,p;
    int trans[N];
    int newnode(int l){
        memset(nxt[p],0,sizeof(nxt[p]));
        cnt[p]=num[p]=0;
        len[p]=l;
        return p++;
    }
    void init(){
        p=0;
        newnode(0);
        newnode(-1);
        last=0;
        n=0;
        S[n]=-1;
        fail[0]=1;
    }
    int get_fail(int x){
        while(S[n-len[x]-1]!=S[n]) x=fail[x];
        return x;
    }
    void add(int c){
        c-='a';
        S[++n]=c;
        int cur=get_fail(last);
        if(!nxt[cur][c]){
            int now=newnode(len[cur]+2);
            fail[now]=nxt[get_fail(fail[cur])][c];
            nxt[cur][c]=now;
            num[now]=num[fail[now]]+1;
            if(len[now]<=2) trans[now]=fail[now];
            else{
                int tmp=trans[cur];
                while(S[n-len[tmp]-1]!=S[n]||((len[tmp]+2)<<1)>len[now]) tmp=fail[tmp];
                trans[now]=nxt[tmp][c];
            }
        }
        last=nxt[cur][c];
        cnt[last]++;
    }
    void count(){
        for(int i=p-1;i>=0;i--) cnt[fail[i]]+=cnt[i];
    }
}P;
char s[N];
int len[N]; 
int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    scanf("%s",s);
    P.init();
    int ans=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        P.add(s[i]);
    }
    for(int i=1;i<P.p;i++){
        if((P.len[P.trans[i]]<<1)==P.len[i]&&P.len[P.trans[i]]%2==0)
            ans=max(ans,P.len[i]);
    }
    printf("%d",ans);
    
    return 0;
}
</code>
</hidden>

[[https://ac.nowcoder.com/acm/contest/7817/A|2020牛客国庆集训派对day1 A]]

**题意**：在给定字符串末尾添加尽可能少的字符使其成为回文串。

**题解**：该等价于求解以原字符串末尾字符结尾的最长回文子串，直接用回文自动机秒杀。

**代码**：

<hidden>
<code cpp>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=4e5+5;
struct Palindromic_Tree{
    int nxt[N][26],fail[N],len[N],S[N],last,n,p;
    int newnode(int l){
        memset(nxt[p],0,sizeof(nxt[p]));
        len[p]=l;
        return p++;
    }
    void init(){
        p=0;
        newnode(0);
        newnode(-1);
        last=0;
        n=0;
        S[n]=-1;
        fail[0]=1;
    }
    int get_fail(int x){
        while(S[n-len[x]-1]!=S[n]) x=fail[x];
        return x;
    }
    void add(int c){
        c-='a';
        S[++n]=c;
        int cur=get_fail(last);
        if(!nxt[cur][c]){
            int now=newnode(len[cur]+2);
            fail[now]=nxt[get_fail(fail[cur])][c];
            nxt[cur][c]=now;
        }
        last=nxt[cur][c];
    }
}P;
char s[N];
int main(){
    P.init();
    int n;
    scanf("%d",&n);
    scanf("%s",s);
    for(int i=0;i<n;i++){
        P.add(s[i]);
    }
    printf("%d",n-P.len[P.last]);
    return 0;
}
</code>
</hidden>

===== 参考链接 =====

[[https://oi-wiki.org/string/pam/|OI Wiki 回文树]]

[[https://www.cnblogs.com/DWVictor/p/11324247.html|回文树总结]]